《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证： 0<<号时，有m<m<m,采用例4中的记号我们可得 Imd<I, 2[ (2m(2n-10川π，(2n-2 所以 (comm coin ≤卿号-0. 三、泰勒公式的积分型余项 设函数f(x)在点x。的某邻域U(x,)内有n+1阶连续导数，令x∈U(x),则 (xdt=[x-1)+nxt+ +0.f(t)dt =nlf(x)-m[f(xo)+f(xoXx-x)+. +(x-r]=R,(国. 其中R()即为f)的素勒公式的n阶余项。由此可得R,()=了Ox-)d, 即为泰勒公式的积分型余项。 由于∫)连续，(x-)”在[x,)(或[x,x])上保持同号，故若应用推广的第一积分中 值定理于积分型余项，可知，5=x。+(x-x),0≤0≤1，使得 R(=/ex-少-n+了5X- 即为拉格朗日型余项。 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 R倒=n(5x-5rex-), 其中5=0+x-x),0≤0≤1。《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 7 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! lim 2  = +       → n − n n n 证： 2 0   x  时，有 x x x 2n 1 2n 2n 1 sin sin sin + −   ， 采用例 4 中的记号我们可得 2n+1  2n  n−1 I I I ， (2 1)!! (2 2)!! (2 )!! 2 (2 1)!! (2 1)!! (2 )!! − −  −  + n n n n n n  ， n n n n n n 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 1 2 1 (2 1)!! (2 )!! 2 2       −   +       −  所以 (2 )(2 1) 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim 2 1 1 2 1 2 (2 1)!! (2 )!! lim +       − =                 + −       → − → n n n n n n n n n n 0。 2 2 1  lim  = →  n n 三、 泰勒公式的积分型余项 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有 n +1 阶连续导数，令 ( ) 0 x U x ，则  − = + x x n n x t f t dt 0 ( ) ( ) ( 1) x x n n n n x t f t n x t f t n f t 0 [( ) ( ) ( ) ( ) ! ( )] ( ) 1 ( 1) − + − + + − −   +  x x f t dt 0 0 ( ) = n! f (x) − n![ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + ( ) ] ! ( ) ! ( ) 0 ( ) x x n R x n f x n n n + − = 。 其中 R (x) n 即为 f (x) 的泰勒公式的 n 阶余项。由此可得 R (x) n  = − + x x n n f t x t dt n 0 ( )( ) ! 1 ( 1) ， 即为泰勒公式的积分型余项。 由于 ( ) ( 1) f t n+ 连续， n (x − t) 在 [ , ] 0 x x （或 [ , ] 0 x x ）上保持同号，故若应用推广的第一积分中 值定理于积分型余项，可知， ( ) 0 0  = x + x − x ，0  1 ，使得 R (x) n 1 0 ( 1) ( 1) ( )( ) ( 1)! 1 ( ) ( ) ! 1 0 + + + − + = − =  n n x x n n f x x n f x t dt n   。 即为拉格朗日型余项。 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 R (x) n ( )( ) ( ) ! 1 0 ( 1) f x x x n n n = − − +   ， 其中 ( ) 0 0  = x + x − x ，0  1