9.设f(x)在(0,+∞)上连续,且满足∫(x2)=f(x),x∈(0,+∞),证明f(x)在(0,+∞)上 为常数函数 习题3.3 1.确定a与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于(~)ax (1)ux)=x3-3x4+2x3,(x-0,x→∞) (2)减x)=3x+-x(x-0,x (3)(x)=√x3+ (x→0+x→+∞); (4)(x)=Vx+√x+√x(x→0+x→+∞) (5)a(x)=√1+3x-1+2x(x-0x→+∞ (6)x)=√x2+1-x(x→+∞) (7)(x)=√x3+xx2(x→0+) (8)a(x)= (x→0+); (9)u(x)=In cos x-arc tan x(x-O) (10)(x)=√1+tanx-√1-sinx(x→0) 2.(1)当x→+∞时,下列变量都是无穷大量,将它们从低阶到高阶进行排列,并说明理由 a(a>1),x2,x“(a>0),ln"x(k>0),[x]; (2)当x→0+时,下列变量都是无穷小量,将它们从高阶到低阶进行排列,并说明理由 (a>0) In (k>0) 3.计算下列极限 √+x-1 1)lim (2) lim ln(1+3x) cOSt (3)lim(x+√x+√x√x) ()lim(√1+x+x2.1-x+ (6)lim (a>0) (7) lim x(In(1+x)-Inx) In x-In (9) lim(x+e (0 lim cos x aD limn(vx-1)(x>0) ④ 2 lim n2(vx-"x)(x>0)。 习题3.4 1.证明:设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数),则f(x)在[a,+∞) 有界 2.证明:若函数f(x)在开区间(a,b)上连续,且fa+)和fb-)存在,则它可取到介于fa+)9．设 f (x) 在(0,+∞) 上连续，且满足 ( ) ( ) ， 2 f x = f x x ∈ (0,+∞) ，证明 在 上 为常数函数。 f (x) (0,+∞) 习 题 3.3 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞）； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+,x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+,x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0,x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e (x→0+)； 2x (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α ＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由 xα (α ＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 3. 计算下列极限： ⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ →0+ lim x 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x a ln x a − − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 习 题 3.4 1．证明：设函数 在 上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 f x( ) [a,+∞) lim x→+∞ f (x) f x( ) [a,+∞) 2．证明：若函数 f x( ) 在开区间(a,b)上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则它可取到介于 f(a+) 4