x (9) y= arc cos 1+x2 y=x cos--e 1 1 (11)y=x2 xe3r-vx'+x (12)y=x|xe 9.(1)设0<x1<,xn1= sInx,(n=1,2,…),证明 3 (i limx =0: (i)xn~-(n→∞)。 (2)设y1>0,ynt=ln(1+yn)(n=1,2,…),证明 () lim, =0 (i)yn~-(n→>∞)。 (提示:分别对极限m1和m1应用So定理) 10.设函数f(x)在[0,1上二阶可导,且满足|∫"(x)1,f(x)在区间(01)内取到最大 值。证明:|f(0)+|f(1)≤1。 1l.设∫(x)在[0,1上二阶可导,且在[0,1上成立 f(x)1,|∫"(x)2。 证明在[0,上成立f(x)|≤3。 12.设函数f(x)在[O,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=-1。证明 maxf"(x)≥8 13.设∫(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0,证明 max f(x)s-(b-a)max If"(x) 习题5.5 1.求下列函数的极值点,并确定它们的单调区间: (1)y=2x3-3x2-12x+1 (2)y=x+sin x; /x In (4)y=x (n∈N+)⑺ y = x + arccot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 ; ⑽ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 2 1 5 1 cos x e x y x ; (11) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 3 3 2 3 1 2 y x xe x x x ; (12) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ y = x xe − x + x 2x 2 1 2 . 9． ⑴ 设0 2 < x1 < π ， x x n n +1 = sin （n = 1 2, ,"），证明： (i) lim ； (ii) n n x →∞ = 0 x n n n 2 3 ~ ( → ∞) 。 ⑵ 设 y1 > 0 ， y y n n +1 = ln(1+ ) （n = 1 2, ,"），证明： (i) lim ； (ii) n n y →∞ = 0 y n n n ~ ( 2 → ∞) 。 （提示：分别对极限 lim n n n x →∞ 1 2 和 limn n n y →∞ 1 应用 Stolz 定理） 10．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且满足| f ′′(x) |≤ 1， 在区间 内取到最大 值 f (x) (0,1) 4 1 。证明：| f (0) | + | f (1) |≤ 1。 11．设 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立 | f (x) |≤ 1，| f ′′(x) |≤ 2 。 证明在[0,1]上成立| f ′(x) |≤ 3。 12．设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f (0) = f (1) = 0， min ( ) 1。证明： 0 1 = − ≤ ≤ f x x max ( ) 8 0 1 ′′ ≥ ≤ ≤ f x x 。 13．设 f (x) 在[a,b]上二阶可导， f (a) = f (b) = 0 ，证明 ( ) max | ( ) | 8 1 max | ( ) | 2 f x b a f x a x b a x b ≤ − ′′ ≤ ≤ ≤ ≤ 。 习 题 5.5 ⒈ 求下列函数的极值点，并确定它们的单调区间： ⑴ y x = − 2 3x −12x + 3 2 1; ⑵ y x = + sin x ; ⑶ y x = ln x ; ⑷ y x n x = − e （ ）; + n∈ N 8