446 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 (m12,n12)上(根据M-N分解的定义,易知这是可以实现的).取结点(m1;,n1;),显然这 个点与X1,X2构成的矢量的M-N分解满足(3)式且在X1X2所在的直线上.又因为满足 (3)式的点到X1X2两点的距离确定,所以这个结点就是x 【必要性】如果有n个共线的点X1,X2,…,Xn在网格结点上,显然有(3)式成立 引理若一个点X1到三个不共线三点X2,X3,X4的距离确定,则X1的相对位置唯 证明如果存在不同于X1的点X1使得1X1X(=1X1X1,则点X2,X3,X在线段 X1X1的中垂线上与X2,X3,X4不共线的假设相矛盾 命题2-4设有n个点X(i=1,2,…,n)不共线,且X1,X2,X3为不共线的点,则这 n个点都在某网格坐标系的结点上的充分必要条件是满足 0 Jn12+ n2:+n4=0 (4) 0 n2+n3;+nn2=0的回一 (其中ma,n的意义同命题2-3中m,n) 证明【充分性 1.n=3时即为命题2-2,显然成立 2.设n=k-1时成立,三 3.当n=k时,考虑: m12+m2k+m1=0 0 m23+m3k+mk2=0 n23+n3k+n2=0 根据上一步假设k-1个点时成立,即在某网格坐标G下k-1个点都在某格节点上, 在该网格坐标系G中,作X1X=m1k·i+m1·j(m1=-m1,n1k=-n1,,意义 同前)连接线段x2X,X3X,根据(5)式和矢量的性质可知X2x=m2·i+n2 m3k·i+n3k·J XIXI=l X,X I,I XXI=I X2XE 1, I X2X l=l X2Xr I 又X1,X2,X3不共线 平根据引理可知X4与X4重合,X在网格节点上 1篇∵,n=k时成立个三 【必要性】设X(i=1,2,…,n)在网格坐标系G下都是结点,对X(i≥3)进行分析 当i=3时,设x1x2,X2X3,X3x1在G下的分量分别为(m12,n12),(m2,n23),(m3 n31)根据命题2-2,(4)式前两个等式成立 当i>3时,由于X1,X2,X3,X4都在网格结点上,根据命题2-2可知(4)式前两个等 式和后两个等式分别成立 证毕 易知:命题2-3的条件包含在命题2-4的条件中,所以满足命题2-4的条件自然满 足命题2-3的条件,坐