62 Legendre多项式 第5页 16.2 Legendre多项式 球形区域内x2+y2+22<a2的 Laplace方程边值问题 us=f(2) 其中∑代表球面x2+y2+2=a2上的变点 考虑到现在所讨论的空间区域的具体形状,自然会采用球坐标系来求解这个定解问题, 而且会把坐标原点放置在球心,如果边界条件具有绕某一个(通过球心的)固定轴旋转不变的对 称性,那么,当然也就应当把这个对称轴的方向取为极轴的方向 这样选择了坐标系后,所要求的未知函数u当然就与d无关 容易写出定解问题在球坐标系下的具体形式.但是,需要注意 ★ Laplace方程在θ=0和6=丌方向上不成立,在这些点上充其量只存在u(r,0)对的单侧 导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,必须补充上u(r,θ)在θ= 0和=丌方向上的有界条件 ★ Laplace方程在坐标原点r=0也不成立,在该点充其量只存在a(r,)对r的单侧导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,还必须补充上u(r,0)在 坐标原点r=0处的有界条件 定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是 10 r2 dr( ar u=有界 有界 u-=有界, u=f(0) 分离变量.令 u(r,6)=f(r)e(6) 代入方程和有界条件,就能够分离变量而得到 de(6) sIn d6)+X6( (0)有界, O(丌)有界, d(2dR() aR(r=0,16.2 Legendreõ‘ª 1 5  16.2 Legendreõ‘ª ¥/«Sx 2 + y 2 + z 2 < a2Laplace§>Š¯K ∇ 2 u = 0, u ¯ ¯ Σ = f(Σ), Ù¥ΣL¥¡x 2 + y 2 + z 2 = a 2þC:© Äy3¤?Øm«äN/G§g,¬æ^¥‹IX 5¦)ù‡½)¯K§ …¬r‹I:3¥%©XJ>.^‡äk7,‡(ÏL¥%)½¶^=ØCé ¡5§@o§,ÒArù‡é¡¶•4¶•© ùÀJ ‹IX￾§¤‡¦™¼êu,҆φÃ'§ u = u(r, θ). N´ѽ)¯K3¥‹IXeäN/ª©´§I‡5¿µ F Laplace §3θ = 0Úθ = π•þؤá§3ù :þ¿Ùþ3u(r, θ)éθüý ê© rLaplace§U¥‹IXž§ ±½)¯Kd5§7LÖ¿þu(r, θ)3θ = 0Úθ = π•þk.^‡© F Laplace §3‹I:r = 0Ø¤á§3T:¿Ùþ3u(r, θ) érüýê© rLaplace§U¥‹IXž§ ±½)¯Kd5§„7LÖ¿þu(r, θ)3 ‹I:r = 0?k.^‡© ½)¯K3¥‹IXeLˆ/ªAT´ 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ = 0, u ¯ ¯ θ=0k.§ u ¯ ¯ θ=πk.§ u ¯ ¯ r=0k.§ u ¯ ¯ r=a = f(θ). ©lCþ©- u(r, θ) = R(r)Θ(θ), \§Úk.^‡§ÒU ©lCþ  1 sin θ d dθ µ sin θ dΘ(θ) dθ ¶ + λΘ(θ) = 0, Θ(0)k.§ Θ(π) k., Ú d dr µ r 2 dR(r) dr ¶ − λR(r) = 0,