第26讲线性相关性概念的进一步讨论(2) 151 第26讲线性相关性概念的 进一步讨论(2) 命题1向量组中向量的个数大于向量的维数,则此向量组线性相关 例1(是非题)下面结论是否正确?n维的向量组a1,…,ax线性无关的充分条件是a1 ,a,中任意两个向量的分量不成比例 解当s=2时,由上一讲命题4知:结论正确;当s≥3时,结论一般来说是不对的.比 如a1=(1,1),a2=(1,2),a3=(2,1).其中任意两个向量不成比例,但由命题1知a1,a2 a3线性相关,总之,就整体考虑而言,所给结论不正确 命题2两个等价的线性无关组所含向量的个数相等 命题3两个等价向量组的秩相等 例2设向量组(I):a1,a2,…,axn的秩为r(r>1),求向量组(Ⅱ):阝1,B2,…,B的 秩,其中B1=a2+a3+…+am,B2=a1+a3+…+am,…,Bm=a1+a2+…+am1 分析证明两个向量组的秩相同,只要证明这两个向量组等价,即他们可互相线性表 出,由已知B1,B2,…,Bn可由a1,a2,…,am线性表出,只要设法把a1,a2,…,am中的各向 量用B1,B2,…,B。线性表出就可以了 解显然,向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示.另一方面,向量组(I)也可由向量组 (Ⅱ)线性表示事实上,将1,B2,…,B的表示式相加,得 B1+阝2+…+Bn=(m-1)(a1+a2+…+an), 从而有 a1+a2+…+an=m-1(B1+B2+…+B) 进而知 阝1+阝2+…+Bn)-B1 a2=m1(B+B+…+.)-具 (B1+B2+…+Bn)-B 所以两向量组等价由命题3知:向量组(Ⅱ)的秩也为r, 例3证明下列两个向量组(I)与(Ⅱ)是等价的: (I):a1=(1,2,3,4),a2=(-1,0,1,8),a3=(2,1,0,-10); (Ⅱ):B1=(2,0,-2,-16),B2=(1,1,1,-2)