微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 也是非奇异的故正(a)实现(a∩UB∩∑)同(Ua∩UB∩E)之间的微分同胚.显见 x(Za)为oa(Ua∩UBn∑)CIm上的单射 Rm+1中m维光滑曲面作为流形及其坐标卡,如图4所示 分流形/Ua元a Xm+1∑ a+1) Rm+1中方块Im+1 Rm+中方块 Im ( Ua nUn∑) φaoa( x日 图4:Rm+1中m维光滑曲面作为流形及其坐标卡示意 定义22(Rm+1中m维光滑曲面(基于列满秩映照).对∑CRm+,如果存在一组映照 {a(x)∈(Im;Rm+1)}△=1,满足: 1.a(xa)为Im上的单射 2. rank Da(aa)=m, Vaa E Im 且有∪o(Lm)=∑,则称∑为Rm+1中m维光滑曲面 定理2.1.Rm艹中m维光滑曲面的微分同胚定义2.1同列满秩映照定义2.2等价 证明基于局部微分同胚存在性定理,证明等价性 1.首先考虑微分同胚定义21,亦即存在{a(xa)∈省(m+1;a(Im+1)}=1作 φa(a)=φ 0)∈Rmn 显然有 (a)oa(za)为Im上的单射;微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 也是非奇异的. 故 xβ(xα) 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) 之间的微分同胚. 显见 xβ(xα) 为 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) ⊂ Im 上的单射. R m+1 中 m 维光滑曲面作为流形及其坐标卡, 如图4所示. X1 Xm Xm+1 O 微分流形 Σ Uα ∩ Σ Uβ ∩ Σ Uα ∩ Uβ ∩ Σ Uα = ϕα(Im+1) Uβ = ϕβ(Im+1) x 1 α xm α xm+1 α ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) R m+1中方块 Im+1 O x 1 β xm β xm+1 β ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) R m+1 中方块 Im+1 O   x 1 β . . . xm β 0   = ϕ −1 β ◦ ϕα(   x 1 α . . . xm α 0   ) 图 4: R m+1 中 m 维光滑曲面作为流形及其坐标卡示意 定义 2.2 (R m+1 中 m 维光滑曲面 (基于列满秩映照)). 对 Σ ⊂ R m+1 , 如果存在一组映照 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; R m+1)} N α=1, 满足: 1. ϕα(xα) 为 Im 上的单射; 2. rankDϕα(xα) = m, ∀ xα ∈ Im, 且有 ∪ N α=1 ϕα(Im) = Σ, 则称 Σ 为 R m+1 中 m 维光滑曲面. 定理 2.1. R m+1 中 m 维光滑曲面的微分同胚定义2.1同列满秩映照定义2.2等价. 证明 基于局部微分同胚存在性定理, 证明等价性. 1. 首先考虑微分同胚定义2.1, 亦即存在 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1; ϕα(Im+1))} N α=1. 作 ϕα(xα) = ϕα(   x 1 α . . . x m α   ) , ϕα(   x 1 α . . . x m α   , 0) ∈ R m+1 , 显然有 (a) ϕα(xα) 为 Im 上的单射; 6