微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 (b)rank Dpa=rank a% (a,0)=m,Vxa∈Im 2.现考虑列满秩映照定义2.2,亦即存在{oa(xa)∈6∞(1m;Rm+1)}a=1,而且 aX aX rankDoa(aa)=rank axm axm (ta)=m ax aRmy 0 drm axl 不妨设 (xa)∈Rmxm非奇异,按逆映照定理,有 OXm :|(xa)∈6(B(xa),:|(xa) Xm 由此,可取曲面∑的局部 Monge型表示,亦即 Xm (B(xa))3 )会E(za( ) Xm+(a ∈Rm+1 X)微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 (b) rankDϕα = rank ∂ϕ 1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ 1 α ∂xm α . . . . . . ∂ϕ m α ∂x1 α · · · ∂ϕ m α ∂xm α ∂ϕ m+1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ m+1 α ∂xm α (xα, 0) = m, ∀ xα ∈ Im. 2. 现考虑列满秩映照定义2.2, 亦即存在 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; R m+1)} N α=1, 而且 rankDϕα(xα) = rank ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α ∂Xm+1 α ∂x1 α · · · ∂Xm+1 α ∂xm α (xα) = m. 不妨设 ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α (xα) ∈ R m×m 非奇异, 按逆映照定理, 有 X1 . . . Xm (xα) ∈ C ∞(Bλ(xα), X1 . . . Xm (xα)). 由此, 可取曲面 Σ 的局部 Monge 型表示, 亦即 X1 . . . Xm (Bλ(xα)) ∋ X1 . . . Xm 7→ Σ( X1 . . . Xm ) , Σ(xα( X1 . . . Xm )) = X1 . . . Xm (xα X1 . . . Xm ) Xm+1(xα( X1 . . . Xm )) = X1 . . . Xm Xm+1(X1 , · · · , Xm) ∈ R m+1 , 7