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微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 (b)rank Dpa=rank a% (a,0)=m,Vxa∈Im 2.现考虑列满秩映照定义2.2,亦即存在{oa(xa)∈6∞(1m;Rm+1)}a=1,而且 aX aX rankDoa(aa)=rank axm axm (ta)=m ax aRmy 0 drm axl 不妨设 (xa)∈Rmxm非奇异,按逆映照定理,有 OXm :|(xa)∈6(B(xa),:|(xa) Xm 由此,可取曲面∑的局部 Monge型表示,亦即 Xm (B(xa))3 )会E(za( ) Xm+(a ∈Rm+1 X)微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 (b) rankDϕα = rank   ∂ϕ 1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ 1 α ∂xm α . . . . . . ∂ϕ m α ∂x1 α · · · ∂ϕ m α ∂xm α ∂ϕ m+1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ m+1 α ∂xm α   (xα, 0) = m, ∀ xα ∈ Im. 2. 现考虑列满秩映照定义2.2, 亦即存在 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; R m+1)} N α=1, 而且 rankDϕα(xα) = rank   ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α ∂Xm+1 α ∂x1 α · · · ∂Xm+1 α ∂xm α   (xα) = m. 不妨设   ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α   (xα) ∈ R m×m 非奇异, 按逆映照定理, 有   X1 . . . Xm   (xα) ∈ C ∞(Bλ(xα),   X1 . . . Xm   (xα)). 由此, 可取曲面 Σ 的局部 Monge 型表示, 亦即   X1 . . . Xm   (Bλ(xα)) ∋   X1 . . . Xm   7→ Σ(   X1 . . . Xm   ) , Σ(xα(   X1 . . . Xm   )) =     X1 . . . Xm   (xα   X1 . . . Xm   ) Xm+1(xα(   X1 . . . Xm   ))   =   X1 . . . Xm Xm+1(X1 , · · · , Xm)   ∈ R m+1 , 7
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