教案 函数的极限 教学内容 极限理论是微积分学的基础,极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之 中,是研究函数变化特征的一个重要工具。对于自变量的变化过程中相应函数值 变化趋势的讨论,引出了函数极限的概念。由于自变量变化过程不同,函数的极 限表现为不同的形式,而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无 穷大时的极限。在这节中主要讲解以下几方面的内容 (1)自变量分别趋于有限值和趋于无限时,函数的极限的概念。单侧极限 的概念 (2)函数极限的性质,函数极限的计算; (3)函数极限与数列极限的关系; (4)两个重要极限:msmx=1和lm1+1 教学思路和要求 (1)极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点,学生们往往对极 限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从,更谈不 上如何去灵活运用。继数列极限之后,这部分内容还是要进一步引导 学生理解极限概念的深刻含义,看清它的本质,掌握运用他们处理问 题的能力 (2)极限的概念、极限的性质、函数极限与数列极限的关系以及两个重要 极限是本节内容的重点 (3)要使学生理解函数极限与数列极限的关系,并能运用它说明某些函数 极限不存在 (4)运用极限的性质,计算一些函数的极限,加深对这些性质的理解; (5)利用两个重要极限Imsx=1和lm1+=c来处理其他相关极 限的技巧也是一个必须要掌握的内容 教学安排 自变量趋于有限值时函数的极限 首先考虑自变量x趋向x0的过程中函数值的变化趋势。设函数∫在x附近 有定义,如果在x趋于x0的过程中,函数值f(x)无限地接近于常数A,即f(x)-A 趋于0,就称A是∫(x)当x→>x时的极限,它的精确数学描述如以下定义。 定义1.3.1如果对任意给定的E>0,总存在δ>0,使得0x-x0k<δ时 成立 lf(x)-A卜 则称∫(x)在x→x时以A为极限,记作 lim f(x)=A教 案 函数的极限 教学内容 极限理论是微积分学的基础，极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之 中，是研究函数变化特征的一个重要工具。对于自变量的变化过程中相应函数值 变化趋势的讨论，引出了函数极限的概念。由于自变量变化过程不同，函数的极 限表现为不同的形式，而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无 穷大时的极限。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 自变量分别趋于有限值和趋于无限时，函数的极限的概念。单侧极限 的概念； （2） 函数极限的性质，函数极限的计算； （3） 函数极限与数列极限的关系； （4） 两个重要极限： 0 lim x 1 sin  x x 和 e x x x          1 lim 1 。 教学思路和要求 （1） 极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点，学生们往往对极 限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从，更谈不 上如何去灵活运用。继数列极限之后，这部分内容还是要进一步引导 学生理解极限概念的深刻含义，看清它的本质，掌握运用他们处理问 题的能力； （2） 极限的概念、极限的性质、函数极限与数列极限的关系以及两个重要 极限是本节内容的重点； （3） 要使学生理解函数极限与数列极限的关系，并能运用它说明某些函数 极限不存在； （4） 运用极限的性质，计算一些函数的极限，加深对这些性质的理解； （5） 利用两个重要极限 0 lim x 1 sin  x x 和 e x x x          1 lim 1 来处理其他相关极 限的技巧也是一个必须要掌握的内容。 教学安排 一．自变量趋于有限值时函数的极限 首先考虑自变量 x 趋向 0 x 的过程中函数值的变化趋势。设函数 f 在 0 x 附近 有定义，如果在 x 趋于 0 x 的过程中，函数值 f (x) 无限地接近于常数 A，即 f (x)  A 趋于 0，就称 A 是 f (x) 当 0 x  x 时的极限，它的精确数学描述如以下定义。 定义 1.3.1 如果对任意给定的   0，总存在   0 ，使得 0 | x  x0 |  时 成立 | f (x)  A|  ， 则称 f (x) 在 0 x  x 时以 A 为极限，记作 0 lim xx f (x)  A