注意,这个定义中对x的要求是04x-x0kd,其中x-x00表示研究 x→x0时f(x)的极限与函数f在x=x0处的状况无关。因为我们关心的是x无限 地趋于x0时∫(x)的变化趋势,这个趋势与函数∫在x点有无定义毫无关系。例 如,f(x)=x-1在x=1处无定义,而gx)=x+1与(x)仅在x=1处不相等。 显然,当x→1时函数∫与g的变化趋势是相 同的,它们都以2为极限 imf(x)=A有十分直观的几何解释:对 A+ε上--- 任意给定的正数E,作一个介于直线y=A+EA 与y=A-之间的条形区域。相应于这个区4- 域,存在以x为中心的区间(x。-6,x0+δ), 函数f的图象上,横坐标位于该区间但又非x X0-8x0x+6 的点,将落在上述条形区域中(见图1.3.1) 图13.1 讨论与极限有关的问题时,还经常使用 “邻域”的术语。设E>0,称以a为中心的开区间(a-E,a+E)为a的E邻域, 记作O(a,E) 这样,imf(x)=A可叙述为:对A的任何E邻域,存在x的某δ邻域,当 x属于该邻域且非x时,f(x)落在A的E邻域中,亦即对任意给定的E>0,存 在δ>0,当x∈O(x0,)且x≠x0时,f(x)∈O(A,E)。 例1.3.1验证 lim xsin-=0(图1.32)。 证对于任意给定的E>0,为使 只要取δ=E,则当04x-0k<δ时,便成立 =xIsinsIxk8 因此, lim xs 图1.3.2 图1.33注意，这个定义中对 x 的要求是 0 | x  x0 |  ，其中 | x  x0 | 0 表示研究 0 x  x 时 f (x) 的极限与函数 f 在 0 x  x 处的状况无关。因为我们关心的是 x 无限 地趋于 0 x 时 f (x) 的变化趋势，这个趋势与函数 f 在 0 x 点有无定义毫无关系。例 如， 1 1 ( ) 2    x x f x 在 x = 1 处无定义，而 g(x) = x+1 与 f (x) 仅在 x = 1 处不相等。 显然，当 x 1 时函数 f 与 g 的变化趋势是相 同的，它们都以 2 为极限。 0 lim xx f (x)  A 有十分直观的几何解释：对 任意给定的正数  ，作一个介于直线 y  A  与 y  A 之间的条形区域。相应于这个区 域，存在以 0 x 为中心的区间 (x0  , x0   ）， 函数 f 的图象上，横坐标位于该区间但又非 0 x 的点，将落在上述条形区域中（见图 1.3.1）。 讨论与极限有关的问题时，还经常使用 “邻域”的术语。设   0，称以 a 为中心的开区间（ a , a  ) 为 a 的  邻域， 记作 O(a,) 。 这样， 0 lim xx f (x)  A 可叙述为：对 A 的任何  邻域，存在 0 x 的某  邻域，当 x 属于该邻域且非 0 x 时， f (x) 落在 A 的  邻域中，亦即对任意给定的   0 ，存 在   0 ，当 ( , ) x O x0  且 x  0 x 时， f (x)O(A,) 。 例 1.3.1 验证 0 lim x 0 1 sin  x x （图 1.3.2）。 证 对于任意给定的   0 ，为使  0   1 sin x x ， 只要取    ，则当 0 | x  0 |  时，便成立    x x x x 1 0 | | sin 1 sin | x |    。 因此， 0 lim x 0 1 sin  x x 。 图 1.3.2 图 1.3.3