函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述 定理1.3.1lmf(x)=A的充分必要条件是对任何收敛于x的数列{xn}, 其中xn≠x0(n=1,2,…),均有lmf(xn)=A。 这个定理的证明从略。 例1.3.2证明x→0时sm-无极限(图132)。 证取数列 2 (n丌) 显然,xn≠0,yn≠0,且 imxn=imyn=0。 但是 lmsn=1, lim sin=0。 由上一定理可知,如果x→0时si-存在极限,则上述两个极限应该相等,所以 x→0时sm-并无极限。 证毕 极限的性质 关于函数极限,也有类似于数列极限的四则运算法则。 定理1.3.2若lmf(x)与lmg(x)均存在,则 f(x)±g(x)=imf(x)±lmg(x); lim [f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x) f(x) m f(x) 最后一个关系式要求lmg(x)≠0。 x→>0 证设A=lmf(x),B=lmg(x)。由定理1.3.1,对任何收敛于x0的数列 {xn},xn≠x0(n=1,2…),均有mnf(xn)=A,limg(xn)=B。利用数列极限 的性质,得到 xn)=lmf(xn)±lmg(xn)=A±B 再次利用定理1.3.1,可知m[f(x)±g(x)存在,且等于A±B,即lmf(x)± 类似地可以证得另外两式 证毕 特别地,在定理1.3.2的条件下,对任意的实数a,B,均有函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述。 定理 1.3.1 0 lim xx f (x)  A 的充分必要条件是对任何收敛于 0 x 的数列 { }n x ， 其中 0 x x n  （n = 1,2,„)，均有 n lim ( ) n f x = A。 这个定理的证明从略。 例 1.3.2 证明 x  0 时 x 1 sin 无极限（图 1.3.2）。 证 取数列 1 2 2           xn n ， 1 ( )  yn  n ， n = 1,2„。 显然， xn  0， yn  0 ，且 lim  lim  0   n n n n x y 。 但是 n lim 1 1 sin  n x ， n lim 0 1 sin  n y 。 由上一定理可知，如果 x  0 时 x 1 sin 存在极限，则上述两个极限应该相等，所以 x  0 时 x 1 sin 并无极限。 证毕 二．极限的性质 关于函数极限，也有类似于数列极限的四则运算法则。 定理 1.3.2 若 0 lim xx f (x) 与 0 lim xx g(x) 均存在，则 0 lim xx [ f (x)  g(x)]  0 lim xx f (x)  0 lim xx g(x) ； 0 lim xx [ f (x)g(x)]  0 lim xx f (x) 0 lim xx g(x) ； 0 lim xx lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0 0 g x f x g x f x x x x x    ， 最后一个关系式要求 0 lim xx g(x)  0。 证 设 A = 0 lim xx f (x) ，B = 0 lim xx g(x) 。由定理 1.3.1，对任何收敛于 0 x 的数列 { }n x ， 0 x x n  （n = 1,2,„），均有 f xn A n   lim ( ) ， g xn B n   lim ( ) 。利用数列极限 的性质，得到 n lim [ ( ) ( )] n n f x  g x = lim ( ) n n f x   lim ( ) n n g x  = A  B 。 再次利用定理 1.3.1，可知 0 lim xx [ f (x)  g(x)] 存在，且等于 A B ，即 0 lim xx f (x)  0 lim xx g(x) 。 类似地可以证得另外两式。 证毕 特别地，在定理 1.3.2 的条件下，对任意的实数 , ，均有