lm lof(x)+Bg(x)=a lim f(x)+B lim g(x) x→x0 例1.3.3设有n次多项式 P(x) ax =d+ax+ax+.+ax, 求lmP(x)。 注“∑”是求和符号。 解由定理1.32可知 imP(x)=lm∑ax=∑im(ax) ∑a,(lmx)=∑a,x=P(x0) 例134设pn(x),qn(x)分别为n次和m次多项式,qn(x0)≠0。 求lm P (x) Ixo q (x) 解由定理1.32和上例可知 lim Pn()m pn (x) Pn(o) q(x) lim q(x) q(o) 函数极限也具有重要的夹逼性质。 定理1.33设对某个r>0,当04x-x0kr时成立 f(x)≤g(x)≤h(x) 且imf(x)=limh(x)=A,则img(x)=A。 证任取{xn},使得04xn-x0kr,n=12…,且imxn=x0,由条件及 定理1.31可知,lmf(xn)=lmh(xn)=A。又 f(xn)≤g(xn)≤h(xn) 由定理1.2.7可知img(xn)=A,根据{xn}的任意性,再次应用定理1.3.1即得 m g(x)=A 证毕 例1.3.5证明 lim cos x=1和m5x=1 证作单位圆周在第一象限的一部分,如图1.3.4所示。设圆心角COA的弧 度数为x(0<x<)。 显然, △OAC的面积<扇形OAC的面积<△OAB 的面积, 此即 smx<x<tanx。 由此得到 图1.3.40 lim xx [f (x)  g(x)] lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx    。 例 1.3.3 设有 n 次多项式 Pn (x)   n i i i a x 0 = n n a  a x  a x  a x 2 0 1 2 ， 求 lim ( ) 0 P x n xx 。 注 “ ”是求和符号。 解 由定理 1.3.2 可知 0 lim xx Pn (x)  0 lim xx  n i i i a x 0 = lim ( ) 0 0 i i n i x x  a x   = n i i a 0 ( 0 lim xx     i n i i i x a x0 0 ) ( ) 0 P x n 。 例 1.3.4 设 p (x) n ，q (x) m 分别为 n 次和 m 次多项式， qm (x0 )  0 。 求 0 lim xx ( ) ( ) q x p x m n 。 解 由定理 1.3.2 和上例可知 0 lim xx ( ) ( ) q x p x m n =    lim ( ) lim ( ) 0 0 q x p x m x x n x x ( ) ( ) 0 0 q x p x m n 。 函数极限也具有重要的夹逼性质。 定理 1.3.3 设对某个 r  0 ，当 0 | x  x | r 0 时成立 f (x)  g(x)  h(x)， 且 0 lim xx f (x) = 0 lim xx h(x)  A，则 0 lim xx g(x)  A。 证 任取 { }n x ，使得 x x r 0 | n  0 | ，n 1,2,  ，且 0 lim x x n n   ，由条件及 定理 1.3.1 可知， f x h xn A n n n     lim ( ) lim ( ) 。 又 ( ) ( ) ( ) n n n f x  g x  h x ， 由定理 1.2.7 可知 g xn A n   lim ( ) ，根据 { }n x 的任意性，再次应用定理 1.3.1 即得 0 lim xx g(x) = A。 证毕 例 1.3.5 证明 lim cos 1 0   x x 和 1 sin lim 0   x x x 。 证 作单位圆周在第一象限的一部分，如图 1.3.4 所示。设圆心角 COA 的弧 度数为 x（ 2 0   x  ）。 显然， △OAC 的面积  扇形 OAC 的面积  △OAB 的面积， 此即 sin x  x  tan x 。 由此得到 图 1.3.4