coSx< 因为cox-)=cosx,Sl=x)=Smx,所以上式对于-五<x<0也成立。 如能证得 lim cosx=1,由上式及夹逼定理即得lmx=1。为此,估计 0≤1-cosx=2 由例1.3.3可知imx2=0,利用夹逼定理即得lm(1-cosx)=0,此即 lim cosx=1。 证毕 x→>x0时∫(x)的极限,反映了当x趋于x时函数值变化过程最终的趋势,它 自然与∫在x附近的局部形态有关。极限概念的重要性,还在于由极限可以反过 来推断函数的某些局部性质 定理1.3.4如果lmf(x)存在,则存在δ>0,使得0<x-x0kδ时,函 数∫有界。 证设lmf(x)=A,则对于E=1,存在δ>0,使得当0<x-x0kδ时成 立|f(x)-Ak1,这就是说,当0<x-x0k时,成立 A-1<f(x)<A+1 因此,f在04x-x0kd中有界。 证毕 定理1.3.5设lmf(x)=A,lmg(x)=B,且A>B,则存在δ>0,使 得0<x-x0kd时成立 f(x)>g(x) A-B 证取E=-->0,由于lfx)=A,故存在δ1>0,使得04x-x0k 时,|f(x)-AkE;又由于lmg(x)=B,故存在δ2>0,使得04x-x0k<62时, g(x)-BkE。取δ=min(δ1,δ2),则当0<x-x0kδ时, f(x)>A-E=A+B =B+E>g(x)。 证毕 推论13.1设lmf(x)=A>B,则存在δ>0,使得当0<x-xkδ时, 只要令g(x)=B,由上一定理即得 推论1.32如果mf(x)和lmg(x)均存在,且当04x-x0kr时,f(x)≤ imf(x)≤limg(x)1 sin cos   x x x 。 因为 cos(x)  cos x， x x x sin( x) sin    ，所以上式对于 0 2   x   也成立。 如能证得 lim cos 1 0   x x ，由上式及夹逼定理即得 1 sin lim 0   x x x 。为此，估计 1 cos x ，有 2 2 2 2 1 2 2 2 0 1 cos 2sin x x x x            ， 由例 1.3.3 可知 0 lim x 0 2 1 2 x  ，利用夹逼定理即得 lim (1 cos ) 0 0    x x ，此即 lim cos 1 0   x x 。 证毕 0 x  x 时 f(x)的极限，反映了当 x 趋于 0 x 时函数值变化过程最终的趋势，它 自然与 f 在 0 x 附近的局部形态有关。极限概念的重要性，还在于由极限可以反过 来推断函数的某些局部性质。 定理 1.3.4 如果 0 lim xx f (x) 存在，则存在   0 ，使得 0 | x  x0 |  时，函 数 f 有界。 证 设 f x A x x   lim ( ) 0 ，则对于   1 ，存在   0 ，使得当 0 | x  x0 |  时成 立 | f (x)  A|1 ，这就是说，当 0 | x  x0 |  时，成立 A1 f (x)  A1， 因此， f 在 0 | x  x0 |  中有界。 证毕 定理 1.3.5 设 0 lim xx f (x) = A， 0 lim xx g(x) = B，且 A  B ，则存在   0 ，使 得 0 | x  x0 |  时成立 f (x)  g(x)。 证 取 0 2    A B  ，由于 0 lim xx f(x) = A，故存在  1  0 ，使得 0 1 0 | x  x |  时， | f (x)  A|  ；又由于 0 lim xx g(x) = B，故存在  2  0 ，使得 0 2 0 | x  x |  时， | g(x)  B |  。取 min( , )    1  2 ，则当 0 | x  x0 |  时， ( ) 2 ( ) B g x A B f x A          。 证毕 推论 1.3.1 设 0 lim xx f (x) = A  B ，则存在   0 ，使得当 0 | x  x0 |  时， f (x)  B 。 只要令 g(x) = B，由上一定理即得。 推论 1.3.2 如果 0 lim xx f (x) 和 0 lim xx g(x) 均存在，且当 0 | x  x | r 0 时，f (x)  g(x)，则 0 lim xx f(x)  0 lim xx g(x)