374· 北京科技大学学报 2002年第3期 1.0 0.5 0 0.5 1.00 0.5 1.00 0.5 1.0 k (a)E=400 (b)Ew=600 (c)E=1510 图1 GISAC CNN的分歧图 Fig.1 Bifurcation diagrams of the GISAC CNN Paremeters 2 GISAC CNN数值模拟 从而第7至第9号参数组位于图1(b)中的 局部活动性（不稳定）区域，而第10至第12号参 由于GIASAC方程(1)-(4)的分析与模拟十 数组位于图1(b)中的混沌棱区 分难，有关学者将其简化为不带扩散项和13 计算机模拟显示：当初始条件E(O)使得参 个变量的系统进行研究".本文将首先模拟不 数组位于局部活动性区域时，相应的方程解轨 带扩散项的4维(4D)GISAC方程.然后模拟高 道收敛于平衡点（吸引平衡点）2，=(1,0,0,0)，即全 维GISAC方程. 部组织发生癌变.即使在一段时间内癌细胞已 2.14 D GISAC模拟 接近清除(X)≈0)，癌细胞也会突然增值.这一 有关不带扩散反应项的4D方程的部分数 结论提示免疫力低下（效应细胞数量少）是使组 值模拟结果列于表1.表1中第1至第6号参数 织恶性病变或预后不好的重要指标.表1也指 组所应的方程均取初始条件： 出，当初始条件E(O)使得参数组位于混沌棱时， (X0),E(0),E0),P0)=(0.3,600,150,0.1). 相应方程的解轨道收敛于稳定平衡点 因此，第1至第3号参数组(k,k)处于图1(c) Q=(0,E,0,0),从而提示免疫力强（效应细胞多） 中的局部活动性（不稳定）区域，而第4至6号参 有助于清除癌细胞 数组(k,k)位于图1(c)中的混沌棱区域. 2.2 GISAC CNN的模拟 表14 D GISAC方程的细胞参数和对应的动力学性质 在GISAC CNN方程(8)(11)中令n=1S, Table 1 The cell parameters and the dynamic behaviors of D=D=0.01和周期边界条件： 4D GISAC equations Xo=Ki;Aimt =Lil,Xo =Km,Kmu=Xus 编号 店 图形 Eo=Eom Eo=Eva;Eooj=Eow;Eom=E 0.4 0.70 C E.o=Ei;Eim =En;Eor=E;Eat=E 2 0.4 0.35 C 3 Po=P Pi=Pi;Po=Py:Pty=Pu 0.4 0.20 C 4 0.6 0.20 0 GISAC CNN的数值模拟，情况较为复杂，与 0.6 0.35 0 态变量的初始条件有关.由于计算机运算能力 6 0.6 0.70 0 的限制，在t一+o时GISAC CNN的渐近解不易 > 0.2 0.70 0 计算.现仅列出4组模拟结果进行讨论，其中扩 0.2 0.35 0 散系数D=D,=0.01,a=10mm.为了表示由 9 0.2 0.20 0 15×15个单位体积组成的细胞组织内癌细胞扩 10 9 0.20 C 散或被清除的过程，采用图2定义的灰度色码. 11 0.1 0.35 其中G,代表X,Eo,E,或P 12 0.1 0.70 C 注：C和O分别表示相应的方程解收敛于平衡点2和2 令CNN具有表1中第8号参数组，取初始 10.3,4si,≤12 表1中的第7至第12号参数取初始条件 条件为： (0)0 ofherwise. (X0),E(0),E0),P0)=(0.3,1510,150,0.1). E(0)=1510.一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 虱 图 的分 歧 图 数值模拟 由于 方程 一 的分析与模拟 十 分难 ， 有 关学 者将其简化为不 带扩散项 和 一 个变量 的 系统进行研 究 ，” 本 文将首先模 拟 不 带扩散项 的 维 方程 然后模拟 高 维 方程 模拟 有关不带扩散反 应项 的 方程 的部分数 值模拟结 果列 于表 表 中第 】 至第 号参数 组所应 的方程 均取初 始条件 以 ， 。 ， 洲 二 ， ， ， 因此 ，第 至 第 号参数组 】 ，棍 处于 图 中的局 部活 动性 不 稳定 区 域 ， 而第 至 号 参 数组 ，，瓜 位 于 图 中的混沌 棱 区 域 表 方程 的细 胞参数 和 对 应 的动 力学性质 编 号 ， 反 图形 从而 第 至 第 号参数组 位于 图 中的 局部活 动性 不 稳定 区 域 ， 而第 至第 号 参 数组 位 于 图 中的混 沌 棱 区 计算机模拟显 示 当初 始条件 使得参 数组 位 于 局 部 活 动 性 区 域 时 ， 相应 的方程解轨 道 收敛于平衡点 吸 引平衡点 ， ， ， ， 即全 部组织 发生 癌变 即使在一 段 时 间 内癌细 胞 已 接近 清除 二 ， 癌细胞也会 突 然增值 这一 结论 提示 免疫力低下 效应 细 胞数量少 是 使组 织恶性病变或预后 不 好 的重要指标 表 也指 出 ， 当初 始条件 使得 参数组位 于 混 沌棱时 ， 相 应 方 程 的 解 轨 道 收 敛 于 稳 定 平 衡 点 必“ ，几 ，， ， 从 而 提示 免疫力 强 效 应 细胞多 有 助 于清 除 癌细胞 的模拟 在 方 程 气 中令 ， 二 ，二 和 周期边 界 条件 瓜 瓜 ，恙 十 尤 ，， 二 戈 ， 恙 。 戈 ， 。 们 ， 、 ， ，，， “ ， ， ， 二 。 ， 三 。 二 ， ， 石蒯 云 ， ” ， 瓦 千 ， 瓦 ，， 尸 ，。 尸 。 ， 尸、 、 尸 、， ， 二 氏 ， 尸， 。 二 尸， · 的数值模拟 ，情况较 为复杂 ， 与 态 变 量 的初始条件有关 由于计算机运 算能力 的限制 ， 在 一 ， 时 的 渐近解不 易 计算 现 仅列 出 组 模拟结果进行讨论 ，其 中扩 散 系 数 ， ， 一 为 了 表 示 由 个单位体积 组 成 的 细胞组 织 内癌细 胞 扩 散或被 清除 的过程 ，采用 图 定义 的灰度 色码 其 中 。 代表 尤 ，， 。 ， ， ， 或 ， 令 具有表 中第 号参数组 ， 取初始 ‘了，，︸，︸， 八“︸ … ‘， … 八︸ ︸‘亡，只 条件为 ， 三 ， 兰 从 、，‘了 一 、少 不 ‘ 注 和 。 分别表示相应 的方程 解收敛于 平衡点 和 必 表 中的第 至 第 号参数取初 始 条件 ， ， ， ， ， ， 。 三