Vol.24 闵乐泉等：三端口四态变量CNN原理在肿瘤生长方程中应用 ·373· 设=kE,-太P i,j=1,2,…,n. (11) 并不能对原非线性方程在Q附近的动力学性质 方程(8)-(11)的矢量形式为： 提供判据.从直观上看：当效应细胞E>k时， 水=fX,E,E,P)+[(1-P)7X+X72P](12) 其杀伤率高，癌细胞增殖率低，患者可能在少量 E=f (X,Eo,E,P)+DoEo (13) 细胞癌变的状况下保持病情稳定.而当 E=5X,E。,E,P)+D7E (14) 1-kE20时，Q为一不稳定的平衡点，这提示当 P=f (X,Eo,E,P) (15) 效应细胞数量太少时，一旦组织中出现少量细 方程(12)-(15)的限制局部活动性区域平衡点由 胞癌变就可能使组织呈全面恶肿瘤状态Q.判 下述方程确定： 定Q,的稳定性是有重要治疗意义的，本文将结 (X,Eo,E,P)=0 (16) 合GISAC CNN分歧图对其进行探讨. (X,Eo,E,P)=0 (17) 1.2 GISAC的分歧图 万(X,Eo,E,P)=0 (18) 由方程(20)-(24)和矩阵iw)的表达式(1 (X,Eo,E,P)=0 (19) (13)式)可知，在平衡点2处 -210 01 易知(16)-(19)有2个平衡点Q=(0,0,0,0), Yu.(ia)=0 0 21,0,0,0)和一族平衡点Q20,E,0,0), 0k2 -k E≥0. 从而(iω)的本征集为： 方程(12)一(15)所对应的局部态变量方程（见 文献[12]中式(9)-(11)中的矩阵A中的子块矩 eig(g(i@》=(-2,-k±y+4报， 2 ra141 因此(iw)不是半正定矩阵，从而得到下面 阵：A=[a】,Aw= 424b Aaa an a,Am=as 的命题. 434 命题1肿瘤生长CNN方程(8)(11)在平衡 中的各参数分别为： 点2。(0,0,0,0)处对任何正参数1，ka,k均满足文 a:=1-(2X+P)]-kEo; (20) 献[12]中引理1，即是局部活动的. an2=-kX;a1s=-AkaX;az=-kEo (21) 由此可知平衡点O处GISAC CNN的分歧 a2,=-k,Eo;aa=-k,X,a,=k,a1=k1Eo;(22) 图中只有局部活动性区域.该结论与前面关于 an=kuX;a=-ka;as=ks; (23) Q传统的方法分析结果是一致的. a4=-k3;a13=a24=a4=a41=a42=0. (24) 为用文献[12]中定理1~4绘制GISAC CNN 由上式易知矩阵A在Q处的本征值集为： 关于平衡点2和2的分歧图.选择参数（见文献 {1,0,-k22,-k3}. [11中表)k∈[0.1,0.4]，k∈[0.2,0.7]，取单位体积 因为1>0，故2是一不稳定平衡点.它的一个临 V-0.1mm,细胞直径=10mm,参数-300，k, 床意义上的可能解释是：要完全同时清除癌细 -0.99k,k2=1.01k2,模拟结果如下： 胞和死亡细胞及细胞复合物是不可能的 (a)GISAC CNN关于平衡点2：的分歧图在 在平衡点2=(1,0,0,0)处A的本征值集为 k,∈[0,1]，k∈[0,1]时全为混沌棱； {《-人，-k,一k-士低+P+4k-ka, (b)GISAC CNN关于平衡点簇2=(0，E,0,0) 2 因此当kk,-kk:<0时，本征值的实部均小于 (O≤E≤K,K为单位体积内的细胞个数)有相 0,从而2是渐进性稳定平衡点.一个可能的解 应的一簇分歧图.计算机模拟显示，对于固定的 释为：在此条件下，器官组织全部癌变是较容易 E∈[0，k],和k,k∈[0,1]，当k≤E时分歧图 产生的.当kk:-kka>0时A有一个正本征值， 为局部活动不稳定区域，k>UE为混沌棱，因 故平衡点2是不稳定的这似可解释为：通过初 此当E≤300时，分歧图全部是局部活动不稳定 始条件的改变（药物治疗等），癌变器官组织可能 区域 向好的情况转化. 当E=400.600,1510时，GISAC CNN关于平 另一簇平衡点是Q=(0,E,0,0),其中0≤E 衡点Q的分歧图，示于图1.其中参数：k,=0.99k1, ≤k(k为单位体积内的细胞总数)在平衡点Q处 k=1.01k2,k=10,k=1,k=k2.图中的区域标色 A的本征值集为{0-kE,0,-k2,-k},故当 如下：混沌棱区域为黑色，局部活动不稳定区域 为白色 1-kE<0时，Q2为线性化方程的稳定平衡点，但匕 阂 乐泉等 三 端 口 四态变量 卜 原 理 在 肿瘤 生 长 方程 中应 用 并不 能对原非线性方程在 附近 的动力学性质 提供判据 从直观上 看 当效应 细胞瓦 几 ，时 ， 其杀伤率高 ， 癌 细胞增 殖 率低 ， 患者可 能在少量 细 胞 癌 变 的 状 况 下 保 持 病 情 稳 定 而 当 兄一 ，虱 七 时 ，必为一不稳定 的平衡点 ，这提示 当 效应 细胞数量 太少 时 ， 一 旦组织 中出现少 量 细 胞癌变就 可 能使组织呈 全 面恶 肿瘤状态 ， 判 定 的稳定性是 有重 要 治疗意义 的 ， 本文将结 合 分歧 图对其进行探讨 的分歧 图 由方程 一 和 矩 阵以 。 的表达式 式 可 知 ， 在 平衡点 处 偏几 ︸ 等 一 。 一 。 ， 一 ， ，， ， · 方程 一 川 的矢量形 式 为 方二厂伏 ， ， 十 喊 一 甲沈十 大勺 勿 瓦 关， ，， 甲 它一 关， ， 君 ， 尸 甲活 户二不， ， ， 方程 一 的限制局 部活动性 区域平衡点 由 下述 方程 确定 厂， ， ， 关伏 ， ， 关， ， ， 二 不， ， ， 功 易知 卜 有 个平衡点 ， ， ， ， ， ， ， ， 和一 族平衡点 ， 瓦 ， ， ， 之 方程 一 所对应 的局 部态变量方程 见 文 献 〔 中式 一 中的矩 阵 月 中的子块矩 压， 件 月 口 〕 ， 月曲 口 ， “ 口 口 〕 ， 二口材 “ 中的各参数分别 为 二 又 一 乃 一 ， “ 一 么 一又无劫弋 伪 ， 一 么 久 ，“ 一 ， 伪 一无， 伪 。 棍 ， 。 ， ，， ， 一 一 棍 二 诀 角 二 山 二 山 口 由上 式易知矩 阵 在 处 的本征值集为 又 ， ， 一 棍 ，一 跳 因 为 又 ，故 是一不 稳定平衡点 它 的一 个 临 床意义 上 的可 能解 释是 要完全 同时 清除癌细 胞和死亡 细胞及 细胞 复合物是不 可 能的 在平 衡点 ， ， ， ， 处 的本征值集为 一 “ 珊彻 一 ” 从 而 蜡 ’ 的本 征集 为 蜡 彻 二 一 又 ， 一 棍 士丫斑聂不 璐 一 ，一 七 ，士 飞一凡，一 ， － 十瓜 ， ，一 因此 当丸 ， 一 禹 时 ， 本征 值 的实部均 小 于 ， 从而 是渐进 性 稳定平衡点 一 个可 能 的解 释 为 在此条件下 ，器 官组织 全部癌变是较容易 产 生 的 当反 ，一 ，棍 时」有 一个正 本征值 ， 故平衡点 是 不 稳定 的 这似可 解 释为 通 过 初 始条件 的改变 药物治疗等 ，癌变器官组 织可 能 向好 的情况转化 另一簇平衡点是 必 ， 瓦 ， ， ，其 中 。 ‘ 瓦 ‘ 为单位体积 内的细胞总数 在平衡点必处 」的 本 征 值 集 为 似 一 丸瓦 ， ， 一 杨 ， 一 丸 ， 故 当 几一 瓦 时 ， 为线性化方程 的稳定平衡点 ，但 因此 玛 动不 是半正定矩 阵 ，从而得到下 面 的命题 命题 肿 瘤生 长 方程 刊 在平衡 点 ，， 处对任何正参数凡棍 太 均满足 文 献 【 」中引理 ， 即是局 部活 动 的 由此 可 知平衡点 处 的分歧 图 中只有局部活 动性 区 域 该结论与前 面关 于 传统 的方 法 分析结果是一致 的 为用 文 献〔 」中定理 畔 绘制 关于平衡点 和 的分歧 图 选择参数 见文献 川 中表 ，任 ， ，棍任 ， ，取单位体积 ， ， 细 胞直径 一 ‘ ， 参数又 ， ， 大 “ 棍 ，模拟 结果 如下 关于 平衡点 ，的分歧 图 在 无 ，任 ， ，棍任 ， 时全为混沌 棱 关于 平衡点簇必 ， 瓦 ， ， 三瓦‘ ， 为单位 体积 内的 细 胞个数 有 相 应 的一簇分歧 图 计算机模拟显示 ， 对 于 固定 的 瓦 曰 ， ， 和 火 任 ， ， 当 ， ‘ 又瓜 时 分 歧 图 为局 部活 动不 稳定 区 域 ， ， 刀瓦为混沌 棱 ， 因 此 当瓦 ‘ 时 ，分歧 图全部是局 部活 动不稳定 区域 当虱 ， ， 时 ， 关于 平 衡点 的分歧 图 ，示 于 图 其 中参数 、 二 ， 丸 二 棍大 ， 机 ， 棍 反 图 中的区域标色 如下 混沌棱 区域 为黑色 ， 局 部活动 不 稳 定 区域 为 白色