·594. 智能系统学报 第10卷 IST算法相当。唯一不同在于AMP算法比IST 的优化问题。 算法多了一个软阈值算子的导数项（通常被称为 (x1n=()1 (9 Onsager项)，得益于Onsager项，AMP算法能够获得 i1 更高的收敛速度，同时其重建效果也要明显优于 式中Z为该分布的归一化常数。当B→∞时，上述 IST算法[s),因此它将更适合于实际中的雷达成像。 分布将在式(7)所示的稀疏解处聚集。这就意味着 然而，值得注意的是，式(4)中的感知矩阵Φ依 只要能够求取上述分布的边缘概率密度分布，即可 赖于如式(2)所示的精确观测模型，距离向和方位 获得式(7)所示优化问题的稀疏解，因此该雷达成 向的耦合使得它的规模极其庞大，这使得如式(4) 像问题的求解过程实际上就是B→o时式(10)所示 所示AMP算法雷达成像面临高存储量大计算量的 分布边缘概率密度分布的求解过程。虽然精确的求 问题，物理实现将非常困难。 取上述分布的边缘概率密度分布非常困难，但是通 2.2基于近似观测模型的近似消息传递算法 过置信传播理论可以获得该边缘概率密度分布的近 通常情况下，典型的雷达成像算法如距离多普 似结果。 勒算法、线调频变标算法等利用去耦合措施，能够有 为了利用置信传播理论来求解边缘概率密度分 效地解决高存储量和大计算量问题：同时，在复杂场 布，首先需要以X,X2,…,Xx作为变量节点，以Y, 景的雷达回波的仿真中，利用逆线调频变标算子来 Y,…,Ym作为因子节点，以任意变量节点和因子节 构造回波能够有效降低计算量。鉴于此，本文试图 点之间的关系作为边构造双向因子图，然后可以通 通过逆线调频变标算子来近似回波，同时结合采样 过下述的和-积形式的置信传播理论来求取相应的 矩阵的Kronecker积形式，以期解决AMP算法在压 边缘概率密度分布： 缩感知成像中遇到的高存储量大计算量问题。由逆 m,(X)=p(X)Πm(X) 线调频变标算法可知，式(2)所示观测矩阵H可以 keMi)y (10) 使用式(5)所示逆线调频变标算子来近似表示【6。 m(X.)=p(Y,I x)II m(x)dx-i H≈FHP3FP2FPF。 (5) 式中：F。,F,∈C分别为方位向和距离向傅里叶变 式中：N(i)表示与节点i相邻的节点的集合， 换矩阵，它们都可以表示为DT矩阵与单位矩阵的 N(i)y表示除节点j以外与节点i相邻的节点的集 Kronecker积；对角矩阵P1、P,、P,∈Cxw为逆线调频 合，X表示除了X,以外的所有变量节点，m:,(X) 变标过程中各步骤进行相位补偿的相位矩阵。因 和m(X)为节点之间传递的消息。则如式(9)所 此，与观测矩阵有关的矩阵向量乘积可以表示为如 示分布的边缘概率密度分布可以表示为 下的形式： p(XIY)=p(X)Πm-(X) (11)》 keN(i) Hx vec(Tics(X));H"y vec(Tcs(Y))(6) 通过假设m,,(X:)表征变量的三阶矩有界，可 式中：Ts(·)和Tc(·)分别表示线调频变标算子 知m,(X)可以使用高斯分布进行近似，而m:y 和逆线调频变标算子：X、Y分别表示二维离散的观测 (X)可以近似认为具有高斯分布与拉普拉斯分布 场景和二维离散回波矩阵。因此，使用近似观测模型 的乘积形式，当B→∞时，通过一阶近似，基于近似 的雷达成像可以转化为如式(7)所示的优化问题： 观测模型的置信传播算法可以通过下面的迭代过程 arg minY( 来实现，本文将该新算法称作基于近似观测模型的 AMP算法。 (7) 当雷达场景由少数强散射点构成时，X可以认 [X=Tcs(⊙Z-⊙)+X- 为是一个具有空域稀疏性的稀疏信号，因此可以认 X=u(x,A +y') 为目标服从拉普拉斯分布，同时，不失一般性，观 测噪声可以认为服从高斯分布，即 Z=y-8,T(X)0.+Z'(x+y)》 (p(X;)=exp(-BAX) p(g10=em2g-(or黑a,月 =A有(A+y) (12) (8) 式中：u(a,b)表示软阈值算子，u'(a,b)为其一阶 式中：(·)：表示矩阵的第i个元素；B为常数。此时 导数：8=m/N表示数据采样率；〈·〉为求取均值。 可以构造如式(9)所示后验分布来解决式(7)所示 上述算法流程可以正式描述如下：ＩＳＴ 算法相当［１２］ 。 唯一不同在于 ＡＭＰ 算法比 ＩＳＴ 算法多了一个软阈值算子的导数项（通常被称为 Ｏｎｓａｇｅｒ 项），得益于 Ｏｎｓａｇｅｒ 项，ＡＭＰ 算法能够获得 更高的收敛速度，同时其重建效果也要明显优于 ＩＳＴ 算法［１５］ ，因此它将更适合于实际中的雷达成像。 然而，值得注意的是，式（４）中的感知矩阵 Φ 依 赖于如式（２）所示的精确观测模型，距离向和方位 向的耦合使得它的规模极其庞大，这使得如式（４） 所示 ＡＭＰ 算法雷达成像面临高存储量大计算量的 问题，物理实现将非常困难。 ２．２ 基于近似观测模型的近似消息传递算法 通常情况下，典型的雷达成像算法如距离多普 勒算法、线调频变标算法等利用去耦合措施，能够有 效地解决高存储量和大计算量问题；同时，在复杂场 景的雷达回波的仿真中，利用逆线调频变标算子来 构造回波能够有效降低计算量。 鉴于此，本文试图 通过逆线调频变标算子来近似回波，同时结合采样 矩阵的 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ 积形式，以期解决 ＡＭＰ 算法在压 缩感知成像中遇到的高存储量大计算量问题。 由逆 线调频变标算法可知，式（２）所示观测矩阵 Ｈ 可以 使用式（５）所示逆线调频变标算子来近似表示［１６］ 。 Ｈ ≈ Ｆ Ｈ ａ Ｐ３Ｆ Ｈ ｒ Ｐ２ＦｒＰ１Ｆａ （５） 式中：Ｆａ ，Ｆｒ∈Ｃ Ｎ×Ｎ分别为方位向和距离向傅里叶变 换矩阵，它们都可以表示为 ＤＦＴ 矩阵与单位矩阵的 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ 积；对角矩阵 Ｐ１ 、Ｐ２ 、Ｐ３∈Ｃ Ｎ×Ｎ为逆线调频 变标过程中各步骤进行相位补偿的相位矩阵。 因 此，与观测矩阵有关的矩阵向量乘积可以表示为如 下的形式： Ｈｘ ＝ ｖｅｃ（ＴＩＣＳ（Ｘ））；Ｈ Ｈ ｙ ＝ ｖｅｃ（ＴＣＳ（Ｙ）） （６） 式中：ＴＣＳ（·）和 ＴＩＣＳ（·）分别表示线调频变标算子 和逆线调频变标算子；Ｘ、Ｙ 分别表示二维离散的观测 场景和二维离散回波矩阵。 因此，使用近似观测模型 的雷达成像可以转化为如式（７）所示的优化问题： ａｒｇ ｍｉｎ Ｘ λ ‖Ｘ‖１ ＋ １ ２ ‖Ｙ － ΘｒＴＩＣＳ（Ｘ）Θａ‖２ { ２} （７） 当雷达场景由少数强散射点构成时，Ｘ 可以认 为是一个具有空域稀疏性的稀疏信号，因此可以认 为目标服从拉普拉斯分布［１７］ ，同时，不失一般性，观 测噪声可以认为服从高斯分布，即 ｐ（Ｘｉ） ＝ ｅｘｐ（ － βλ Ｘｉ ） ｐ（Ｙｊ ｜ Ｘ） ＝ ｅｘｐ｛ β ２ （Ｙｊ － （ΘｒＴＩＣＳ（Ｘ）Θａ ）ｊ） ２ ｝ ì î í ïï ïï （８） 式中： （·）ｉ 表示矩阵的第 ｉ 个元素； β 为常数。 此时 可以构造如式（９）所示后验分布来解决式（７）所示 的优化问题。 ｐ（Ｘ ｜ Ｙ） ≅ １ Ｚ∏ Ｎ ｉ ＝ １ ｐ（Ｘｉ）∏ ｍ ｊ ＝ １ ｐ（Ｙｊ ｜ Ｘ） （９） 式中 Ｚ 为该分布的归一化常数。 当 β → ¥时，上述 分布将在式（７）所示的稀疏解处聚集。 这就意味着 只要能够求取上述分布的边缘概率密度分布，即可 获得式（７）所示优化问题的稀疏解，因此该雷达成 像问题的求解过程实际上就是 β → ¥时式（１０）所示 分布边缘概率密度分布的求解过程。 虽然精确的求 取上述分布的边缘概率密度分布非常困难，但是通 过置信传播理论可以获得该边缘概率密度分布的近 似结果。 为了利用置信传播理论来求解边缘概率密度分 布，首先需要以 Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，ＸＮ 作为变量节点，以 Ｙ１ ， Ｙ２ ，…，Ｙｍ 作为因子节点，以任意变量节点和因子节 点之间的关系作为边构造双向因子图，然后可以通 过下述的和－积形式的置信传播理论来求取相应的 边缘概率密度分布： ｍｉ→ｊ（Ｘｉ） ≅ ｐ（Ｘｉ） ｋ∈∏Ｎ（ｉ） ＼ｊ ｍｋ→ｉ（Ｘｉ） ｍｊ→ｉ（Ｘｉ） ≅ ∫ Ｘ－ｉ ｐ（Ｙｊ ｜ Ｘ） ｋ∈∏Ｎ（ｊ） ＼ｉ ｍｋ→ｊ（Ｘｉ）ｄＸ－ｉ ì î í ï ï ï ï （１０） 式中： Ｎ（ｉ） 表 示 与 节 点 ｉ 相 邻 的 节 点 的 集 合， Ｎ（ｉ） ＼ｊ 表示除节点 ｊ 以外与节点 ｉ 相邻的节点的集 合，Ｘ－ｉ表示除了 Ｘｉ 以外的所有变量节点，ｍｉ→ｊ（Ｘｉ） 和 ｍｊ→ｉ（Ｘｉ）为节点之间传递的消息。 则如式（９）所 示分布的边缘概率密度分布可以表示为 ｐ（Ｘｉ ｜ Ｙ） ＝ ｐ（Ｘｉ） ｋ∈∏Ｎ（ｉ） ｍｋ→ｉ（Ｘｉ） （１１） 通过假设 ｍｊ→ｉ（Ｘｉ）表征变量的三阶矩有界，可 知 ｍｊ→ｉ（Ｘｉ ） 可以使用高斯分布进行近似，而 ｍｉ→ｊ （Ｘｉ）可以近似认为具有高斯分布与拉普拉斯分布 的乘积形式，当 β → ¥时，通过一阶近似，基于近似 观测模型的置信传播算法可以通过下面的迭代过程 来实现，本文将该新算法称作基于近似观测模型的 ＡＭＰ 算法。 Ｘ ＾ ｔ ＝ ＴＩＣＳ（Θ Ｈ ｒ Ｚ ｔ－１Θ Ｈ ａ ） ＋ Ｘ ｔ－１ Ｘ ｔ ＝ μ（Ｘ ＾ ｔ ，λ ＋ γ ｔ ） Ｚ ｔ ＝ Ｙ － ΘｒＴＣＳ（Ｘ ｔ ）Θａ ＋ １ δ Ｚ ｔ－１ 〈μ′（Ｘ ＾ ｔ ，λ ＋ γ ｔ ）〉 γ ｔ＋１ ＝ λ ＋ γ ｔ δ 〈μ′（Ｘ ＾ ｔ ，λ ＋ γ ｔ ）〉 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï （１２） 式中： μ（ａ，ｂ） 表示软阈值算子， μ′（ａ，ｂ） 为其一阶 导数； δ ＝ ｍ ／ Ｎ 表示数据采样率； 〈·〉 为求取均值。 上述算法流程可以正式描述如下： ·５９４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷