008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 F(1)=f(1)+(t-a)f()-f(1)-3(b-1)f(x)+3(b-1)f(t) =(t-a)f()+3(b-Df(n)-f(x) =(t-a)f(1)+3(b-1)f(2)>0 其中5∈(t,x)。于是F(1)在(a,b)内单调增加,最多有一个零点。 综合上述分析,所以F()在(a,b)有一个零点5∈(a,b)使得F(5)=0 例7.23(重复了) 例724设有三角形闸板,两直角边和为将其竖直放入水中,使一直角与水面重合,另 直角边垂直向下,问两直角边成何比例时,三角形闸板承受水压力最大?设水的密度为1, 求出此最大压力 【解】以垂直向下直角边顶点为坐标原点,垂直向上方向为y轴,x-y平面与三角板所在 平面相平行建立坐标系,并设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为a与ka,则有 a+ka=l,斜边所在直线方程为y=kx 记P(k)为闸板承受的水压力,取横向分割,xdhy表示面积,ka-y为水深, 则有微分关系 dP(k)=x(ka-y)dy=k2(ax-x2)x于是 P(k)=kl(ar-r)dr ka 66(k+D(k)=(2k-k)y2 k213 6(k+1) 解得驻点k=2,且P(k)在驻点两则 变号(先正后负),因此最大压力为P(2)23 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 F′(t) = f (t) + (t − a) f ′(t) − f (t) − 3(b − t) f (x) + 3(b − t) f (t) = (t − a) f ′(t) + 3(b − t)[ f (t) − f (x)] = (t − a) f ′(t) + 3(b − t) f ′(ξ ) > 0 其中ξ ∈(t, x) 。于是 F(t) 在(a,b) 内单调增加，最多有一个零点。 综合上述分析，所以 F(t) 在(a,b) 有一个零点ξ ∈(a,b),使得 F(ξ ) = 0。 例 7.23（重复了） 例 7.24 设有三角形闸板，两直角边和为 将其竖直放入水中，使一直角与水面重合，另一 直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大？ 设水的密度为 1， 求出此最大压力． l 【解】以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为 y 轴，x − y 平面与三角板所在 平面相平行建立坐标系, 并设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为 a 与 ，则有 ，斜边所在直线方程为 ka a + ka = l y = kx . 记 P(k) 为闸板承受的水压力，取横向分割， xdy 表示面积， ka − y 为水深， 则有微分关系 dP(k) x(ka y)dy k (ax x )dx 于是 2 2 = − = − 3 2 3 2 3 0 2 2 6 6( 1) ( ) ( ) + = − = = ∫ k k a k l P k k ax x dx a 4 2 3 6( 1) (2 ) ( ) + − ′ = k k k l P k ， 解得驻点 k = 2，且 P′(k) 在驻点两则 变号(先正后负)，因此最大压力为 81 2 (2) 3 l P = 。 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 14 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805