2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 例:21设S(x)连续,S(x)=Jsd (1)当n为正整数时,且n≤x≤(n+1)x时,证明2n≤S(x)≤2(n+1) (2)求lmnS(x) x 【解】(1)cosx20,当nzsx≤(n+1)z时,S(x)为增函数,所以 ∫。kost≤(x)<」 (n+1)丌 rdt 注意到N以x为周期,∫ costly cosd=(n+1) costar=2(n+1)于是得到 2n≤S(x)≤2(n+1)。 (2)当n丌≤x≤(n+1)丌时, 2(n+1 n 令n→∞,由夹逼准则得到 S(x)2 丌 例.2设f(x)在b]上连续,在(ab)内可导,且f(x)>0,试证明:在(ab)内存在 一点5,使曲线y=f(x)与y=f(),x=a所围成的图形面积,S是由曲线y=f(x)与 y=f(5),x=b所围成平面图形S2的3倍 【解】在(a,b)内取一点1,则 S=S(1)=(()-f(x)dtx,S2=S2(1)=.(f(x)-f(m)dtx, 令F()=S()-3()(()-f(x)-3O(x)-(), 则只须证明F()在(a,b)有且仅有一个零点5∈(ab)使得F()=0 注意到由∫(x)>0,于是f()在(an,b)内单调增加,由积分估值定理可得 F(a)<0,且F(b)=((b)-f(x)k>0.所以F(O)在(b)内至少有一个零点 另由∫(x)>0,考察F()在(a,b)内的单调性。 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 13www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 例 7.21 设 S(x) 连续， ∫ = x S x t dt 0 ( ) cos , （1）当 n 为正整数时, 且 nπ ≤ x ≤ (n +1)π 时,证明 2n ≤ S(x) ≤ 2(n +1) . （2）求 x S x x ( ) lim →+∞ . 【解】（1） cos x ≥ 0 ，当 nπ ≤ x ≤ (n +1)π 时， S(x) 为增函数，所以 ∫ nπ t dt 0 cos ∫ + ≤ < ( 1)π 0 ( ) cos n S x t dt ， 注意到 cos x 以π 为周期， ∫ nπ t dt 0 cos n cost dt 2n 0 = = ∫ π ， ∫ ( +1)π 0 cos n t dt ( 1) cos 2( 1) 0 = + = + ∫ n t dt n π 于是得到 2n ≤ S(x) ≤ 2(n +1) 。 （2）当 nπ ≤ x ≤ (n +1)π 时， π nπ n x S x n n ( ) 2( 1) ( 1) 2 + ≤ ≤ + ， 令 n → ∞ ，由夹逼准则得到 π ( ) 2 lim = →+∞ x S x x 。 例 7.22 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，且 f ′(x) > 0 ，试证明：在 内存在 一点 (a,b) ξ ，使曲线 y = f (x)与 y = f (ξ ) ，x = a 所围成的图形面积，S1 是由曲线 y = f (x)与 y = f (ξ ) ， x = b 所围成平面图形 的3倍. 2 S 【解】 在(a,b) 内取一点t ，则 ∫ = = − t a S S (t) ( f (t) f (x))dx 1 1 ， ， ∫ = = − b t S S (t) ( f (x) f (t))dx 2 2 令 = − = − − ， ∫ t a F(t) S (t) 3S (t) ( f (t) f (x))dx 1 2 ∫ − b t 3 ( f (x) f (t))dx 则只须证明 F(t) 在( a , b ) 有且仅有一个零点ξ ∈(a,b),使得 F(ξ ) = 0。 注意到由 f ′(x) > 0 ，于是 f (t)在(a,b) 内单调增加，由积分估值定理可得 F(a) < 0 ，且 ( ) = ( ( ) − ( )) > 0。所以 在 内至少有一个零点。 ∫ b a F b f b f x dx F(t) (a,b) 另由 f ′(x) > 0 ，考察 F(t) 在(a,b) 内的单调性。 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 13 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805