2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 If(x)d 将上述等号右端第一个积分记为l1,∫(x)单调增加,则 +b 0≤f(x)≤ 2 2 由积分的保序性(注意被积函数为负),因此 a+ +b (2)再考虑前面等号右端中的第二个积分, a+b 记为l2,注意∫(x)≥ a+ b >0,由保序性又有 a a- 12 (3)将同向不等式(2)和(3)相加,则有 a+brb =l1+l2≥ 2 (4)于是不等式(1)得证 方法3)对(方法2)中的1与l2,注意到x-2+b在两个积分号内分别保持定号 而∫(x)连续,由积分中值定理则有 1=f(5) a+b (b-a)2f(5) a+b 12=f(52 (b-a)f(2) a+b 其中引a 22 即有2>51,由f(x)的单调性,则有f(2)≥f(51),于是 I=l1+12=(b-a)(f(2)-f(5))≥0 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 f x dx a b x b a b ( ) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − ∫ + 将上述等号右端第一个积分记为 ， 单调增加，则 1I f (x) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ≤ 2 0 ( ) a b f x f ， 0 2 < + − a b x . 由积分的保序性（注意被积函数为负），因此 dx a b f a b I x a b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ − ∫ + 2 2 2 1 . （2）再考虑前面等号右端中的第二个积分， 记为 I2 ，注意 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ 2 ( ) a b f x f ， 0 2 > + − a b x ，由保序性又有 dx a b f a b I x a a b ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ − ∫ + 2 2 2 2 . （3）将同向不等式（2）和（3）相加，则有 0 2 2 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ≥ ∫ dx a b x a b I I I f b a . （4）于是不等式（1）得证。 （方法 3）对（方法 2）中的 I1 与 I2 ，注意到 2 a b x + − 在两个积分号内分别保持定号， 而 f (x) 连续，由积分中值定理则有 ( ) ( ) 8 1 2 ( ) 1 2 2 1 ξ1 dx b a f ξ a b I f x a b a ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ∫ + ( ) ( ) 8 1 2 ( ) 2 2 2 2 ξ 2 dx b a f ξ a b I f x b a b ⎟ = − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ∫ + 其中 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 , 1 a b ξ a ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∈ b a b , 2 ξ 2 ， 即有ξ 2 > ξ 1，由 f (x) 的单调性，则有 ( ) ( ) ξ 2 ξ1 f ≥ f ，于是 ( ) ( ( ) ( )) 0 8 1 2 1 2 I = I1 + I 2 = b − a f ξ − f ξ ≥ . 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 12 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805