2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =[x(2-x)-x(2-x)p=z(+1-y2)2-(2-y) -h=,(+√-y2)-(2-y (方法2记y1=x,y2=√2x-x2, dv=2x(2-x)(y2-y)x=2m(2-x)V2x-x2-x)d V=cv=2r(2-x)√ 例720设f(x)在[a,b上连续非负且单调增加,(X,)为 区域D={(xy)∈/a≤xsb,0sy≤f(x)的形心,证明x>a+b 【思路】本题要证 X xf(x)dx a+b f(x)dx 2,即证=∫”(xt-a+b f(x)dx≥0 (1)将b视为变量,引入变上限的积分F(x),证明F(x)≥0 这便是(方法1);将二个积分合并为一个积分号,再插入分点《*b 把积分拆分为两个区间上的积分,利用f(x)单调性对积分估计正负号, 形成(方法2);利用积分中值定理对积分进行估计,便形成(方法3)。 【证(力法1)令F(x)-J.0(0-2J0(0, 则F(a)=0 而F(x)=xf(x)-Q+xf(x) f(odt 2 (x-a)f(x)-f(5)x-a)=(x-a((x)-f() 其中ξ∈(a,x),又∫(x)单调增加,因而F(x)>0,令x=b,则不等式(1)成立 (方法2)考虑(1)式中的积分合并后得到 a/+、a+b a+b f(x)dx f(x 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 I1www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + = 1 2 1 2 2 y x y x x y x dv [ (2 x ) (2 x ) ]dy 2 2 2 = π − 1 −π − [(1 1 y ) (2 y) ]dy 2 2 2 = π + − − − ∫ = 1 0 V dv π π π 3 2 2 [(1 1 ) (2 ) ] 1 0 2 2 2 2 = + − − − = − ∫ y y dy （方法 2 记 2 y1 = x , y2 = 2x − x ， dv 2 (2 x)( y y )dx = π − 2 − 1 2 (2 x)( 2x x x)dx 2 = π − − − π π π 3 2 2 2 (2 )( 2 ) 1 0 2 2 1 0 = = − − − = − ∫ ∫ V dv x x x x dx 例 7.20 设 f (x) 在[a,b]上连续非负且单调增加，(X,Y) 为 区域 D ={(x, y)∈ R | a ≤ x ≤ b ， 2 0 ≤ y ≤ f (x)}的形心，证明 2 a b x + ≥ 。 【思路】本题要证 2 ( ) ( ) a b f x dx xf x dx X b a b a + = ≥ ∫ ∫ ，即证 ( ) 0 2 ( ) ≥ + = − ∫ ∫ f x dx a b I xf x dx b a b a . （1） 将b 视为变量，引入变上限的积分 F(x)，证明 F(x) ≥ 0 ， 这便是（方法 1）；将二个积分合并为一个积分号，再插入分点 2 a + b ， 把积分拆分为两个区间上的积分，利用 f (x) 单调性对积分估计正负号， 形成（方法 2）；利用积分中值定理对积分进行估计，便形成（方法 3）。 【证】（方法 1） 令 f t dt a x F x tf t dt x a x a ( ) 2 ( ) ( ) ∫ ∫ + = − ， 则 F(a) = 0 ， 而 f x f t dt a x F x xf x x a ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) ∫ − + ′ = − ( )( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 = x − a f x − f ξ x − a ( )( ) ( ) ( ) 2 1 = x − a f x − f ξ . 其中ξ ∈(a, x) ，又 f (x) 单调增加，因而 F(x) > 0 ，令 x = b，则不等式(1)成立。 （方法 2）考虑（1）式中的积分合并后得到 f x dx a b I x b a ( ) 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ∫ f x dx a b x a b a ( ) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ∫ + 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 11 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805