§172 Neumann 第9页 并且约定,当n=0时要去掉右端第二项的有限和 当x→0,Rev>0时,N(x)的渐近行为完全由J-p(x)决定 T(v) 而对于No(x No(a)N-In 所以,不论v是否为整数,Nu(x)在x=0点都是发散的 当x→∞时, Neumann函数的渐近表达式是 Nv(r) sin(= argr<丌 因此,N(x)也可以用来描写柱面波,同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加 Nu(x)的递推关系的形式和 Bessel函数完全相同 d x"N(x)=xN-1(x), xN(x)]=-xN+1(x) Bessel函数又称为第一类柱函数, Neumann函数又称为第二类柱函数 No(x),N1(x)和N2(x)的图形见图172 图172 Neumann函数 在历史上, Hankel也曾把 Bessel程的第二解取为 J(x)-(-)2J-(2) mJ(2)-(-)J-(2)=lim[(2)-n(2-(-)yJ-(2)-J-n(2) 0J(z) ( Watson,§3.5)§17.2 Neumann 函数 第 9 页 并且约定，当n = 0时要去掉右端第二项的有限和． 当x → 0, Re ν > 0时，Nν(x)的渐近行为完全由J−ν(x)决定， Nν(x) ∼ − Γ (ν) π ³ x 2 ´−ν . 而对于N0(x)， N0(x) ∼ 2 π ln x 2 . 所以，不论ν是否为整数，Nν(x)在x = 0点都是发散的． 当x → ∞时，Neumann函数的渐近表达式是 Nν(x) ∼ r 2 πx sin ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| < π. 因此，Nν(x)也可以用来描写柱面波，同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加． Nν(x)的递推关系的形式和Bessel函数完全相同． d dx [x νNν(x)] = x νNν−1(x), d dx £ x −νNν(x) ¤ = −x −νNν+1(x). Bessel函数又称为第一类柱函数，Neumann函数又称为第二类柱函数． N0(x), N1(x)和N2(x)的图形见图17.2． 图17.2 Neumann函数 在历史上，Hankel也曾把Bessel方程的第二解取为 Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n . 当ν → n时 limν→n Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n = limν→n · Jν(z) − Jn(z) ν − n − (−) n J−ν(z) − J−n(z) ν − n ¸ = · ∂Jν(z) ∂ν − (−) n ∂J−ν(z) ∂ν ¸ ν=n = π Nn(z). (Watson, § 3.5)