§172 Neumann 第8页 172 Neuman函数 ★Bese方程的两个解J±v(x)当v≠整数时是线性无关的, WJ,(r),J-v(a) 2 sIn Tv, 方程的通解可以表示为J±u(x)的线性组合; ★当〃=整数n时,J±n(x)是线性相关的,因此还需要重新求出方程的第二解 ★从原则上来说,最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解,代入方程定系数 ★比较巧妙的办法是当υ≠整数时,把第二解也不是简单地取为J-n(x),而是仍然取 为J±(x)的线性组合.完全可以适当地选择组合系数,例如取 2(x)=d()-1=(, 就一定有 WJ(,()=2 这样,即使v→整数n,y2(x)仍然与Jn(x)线性无衣xx ★当〃→整数n时,解式y(x)的分母 sIn VaT→0,因此还必须适当选择另一个组合系数c, 使得y2(x)的分子也变为0,解式才可能有意义 ★考虑到 J-n(a)=(-"Jn(a)=cos nTN(a), 故可取c= COS VT 这样就定义了 Neumann函数① (x) 不论v是否为整数,它总可以取为 Bessel方程的第二解. 整数阶的 Neuman函数Nn(x),应该理解为u→n时N(x)的极限 Nn(a)= lim coS vT Jv(a)-J-v(a slnU丌 aJv(a) ()naJ-v(a) v-n Jn(r)In (n+6Ap(n+k+1) 2k+n +ψ(k+1) ①在有的文献中也写作Yv(x§17.2 Neumann 函数 第 8 页 §17.2 Neumann 函数 F Bessel方程的两个解J±ν(x)当ν 6= 整数时是线性无关的， W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν, 方程的通解可以表示为J±ν(x)的线性组合； F 当ν = 整数 n时，J±n(x)是线性相关的，因此还需要重新求出方程的第二解． F 从原则上来说，最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解，代入方程定系数． F 比较巧妙的办法是当ν 6= 整数时，把第二解也不是简单地取为J−ν(x)，而是仍然取 为J±ν(x)的线性组合．完全可以适当地选择组合系数，例如取 y2(x) = cJν(x) − J−ν(x) sin νπ , 就一定有 W [Jν(x), y2(x)] = 2 πx . 这样，即使ν → 整数n，y2(x)仍然与Jn(x)线性无关． F 当ν → 整数n时，解式y2(x)的分母sin νπ → 0，因此还必须适当选择另一个组合系数c， 使得y2(x)的分子也变为0，解式才可能有意义． F 考虑到 J−n(x) = (−) n Jn(x) = cos nπJn(x), 故可取c = cos νπ． 这样就定义了Neumann函数① Nν(x) = cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ , 不论ν是否为整数，它总可以取为Bessel方程的第二解． 整数阶的Neumann函数Nn(x)，应该理解为ν → n时Nν(x)的极限． Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 1 π · ∂Jν(x) ∂ν − (−) n ∂J−ν(x) ∂ν ¸ ν=n = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (n + k)! £ ψ(n + k + 1) + ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , | arg x| < π. ①在有的文献中也写作Yν(x)．