171 Bessel函数的基本性质 ★设a是J(x)的一个零点,即J(a)=0,则a的复共轭a*也一定是J(x)的零点 J(a*)=[J(a)=0. 即J(ax)和J(ax)均以x=1为零点.它们分别满足方程 1 d[dJv(a2+ r dr J(ar)=0, l dJv(aa) n-J (a'x)= 将两个方程分别乘以xJ(a*x)和xJ(ax),相减,再在区间0,1上积分,即得 rJv(ar)Jv(a .)dr -Jm(o' dJv(azl-JvardJ(ar)ll=0 由于 rJ(a)Jv(ar)=rJ(ar)1220, 且不恒为0,所以当>-1时,积分 J(ax)J(a,x)dx≠0 这样就证得 即a2是实数 ★这时有两个可能 a2≥0即a为实数 a2<0即a为纯虚数, 但由于a不可能为纯虚数,所以a一定是实数 ★一旦J(a)=0,则由J(x)的级数表达式可以看出,也一定有JL(-a)=0.所以J(x)的 零点对称地分布在实轴上.口 更进一步,根据递推关系和Roll定理,就可以知道J(x)的相邻的两个零点之间,必定 有J士1(x)的一个零点§17.1 Bessel函数的基本性质 第 7 页 F 设α是Jν(x)的一个零点，即Jν(α) = 0，则α的复共轭α ∗也一定是Jν(x)的零点， Jν(α ∗ ) = [Jν(α)]∗ = 0. 即Jν(αx)和Jν(α ∗x)均以x = 1为零点．它们分别满足方程 1 x d dx · x dJν(αx) dx ¸ + · α 2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(αx) = 0, 1 x d dx · x dJν(α ∗x) dx ¸ + · α ∗2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(α ∗ x) = 0. 将两个方程分别乘以xJν(α ∗x)和xJν(αx)，相减，再在区间[0, 1]上积分，即得 ³ α 2 − α ∗2 ´ Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx = −x · Jν(α ∗ x) dJν(αx) dx − Jν(αx) dJν(α ∗x) dx ¸¯¯ ¯ ¯ 1 0 = 0. 由于 xJν(αx)Jν(α ∗ x) = x |Jν(αx)| 2 ≥ 0, 且不恒为0，所以当ν > −1时，积分 Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx 6= 0, 这样就证得 α 2 = α ∗2 , 即α 2是实数． F 这时有两个可能： α 2 ≥ 0 即α为实数 和 α 2 < 0 即α为纯虚数， 但由于α不可能为纯虚数，所以α一定是实数． F 一旦Jν(α) = 0，则由Jν(x)的级数表达式可以看出，也一定有Jν(−α) = 0．所以Jν(x) 的 零点对称地分布在实轴上． 更进一步，根据递推关系和Rolle定理，就可以知道Jν(x)的相邻的两个零点之间，必定 有Jν±1(x)的一个零点．