171 Bessel函数的基本性质 第6页 特别是,令u=0 8. Bessel函数的渐近展开. Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型.一种适用于x→ Ju(r) r(+1)(2)+ 这可以直接由 Bessel函数的级数表达式得到.另一种渐近展开适用于x→∝ J()~V∞(x-2-2),1mg科< 为什么J(x)描述的是柱面波? 正如性质5中所作的那样,令x=kr,并且把r理解为柱坐标系中的坐标变量,把k理解为 波数,取时间因子为e-,则当r足够大时,J(kr)所描述的波动过程的相位就是 COS A7一 t exp 等相位面是柱面 干wt=常数, 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波.而且,由于 Ju(kr) larg(kr)<丌 中还含有与√成反比的振幅因子,波动过程的能流密度与r成反比,由于圆柱的侧面积与r成正 比,所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变.这就是说,描述的还是一个不衰减的 柱面波 9.实数阶 Bessel函数的零点:当u>-1或为整数时,Jl(x)有无穷多个零点,它们全部都 是实数,对称地分布在实轴上 关于J(x)零点的存在性,这里不证 只证明后两个结论.而且不必讨论负整数阶的 Bessel函数 所以,只需讨论>一1的情形 ★J(x)的零点不可能是纯虚数,因为当x是纯虚数时,J(x)的无穷级数表示是一个正项级 数,级数和不可能为0§17.1 Bessel函数的基本性质 第 6 页 特别是，令ν = 0， J 0 0(x) = −J1(x). 8. Bessel函数的渐近展开．Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型．一种适用于x → 0， Jν(x) = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν + O ³ x ν+2´ . 这可以直接由Bessel函数的级数表达式得到．另一种渐近展开适用于x → ∞， Jν(x) ∼ r 2 πx cos ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| < π. 为什么Jν(x)描述的是柱面波？ 正如性质5中所作的那样，令x = kr，并且把r理解为柱坐标系中的坐标变量，把k理解为 波数，取时间因子为e −iωt，则当r足够大时，Jν(kr)所描述的波动过程的相位就是 cos ³ kr − νπ 2 − π 4 ´ e −iωt = 1 2 ½ exp h i ³ kr − νπ 2 − π 4 − ωt´i + exp h −i ³ kr − νπ 2 − π 4 + ωt´i ¾ , 等相位面是柱面 kr − νπ 2 − π 4 ∓ ωt = 常数, 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波．而且，由于 Jν(kr) ∼ r 2 πkr cos ³ kr − νπ 2 − π 4 ´ , | arg(kr)| < π 中还含有与√ r成反比的振幅因子，波动过程的能流密度与r成反比，由于圆柱的侧面积与r成正 比，所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变．这就是说，描述的还是一个不衰减的 柱面波． 9. 实数阶Bessel函数的零点：当ν > −1或为整数时，Jν(x)有无穷多个零点，它们全部都 是实数，对称地分布在实轴上． 关于Jν(x)零点的存在性，这里不证． 只证明后两个结论．而且不必讨论负整数阶的Bessel函数． 所以，只需讨论ν > −1的情形． F Jν(x)的零点不可能是纯虚数，因为当x是纯虚数时，Jν(x)的无穷级数表示是一个正项级 数，级数和不可能为0．