171 Bessel函数的基本性质 因此 1 C r(u+1)2r(-+1)2-r(-u+1)2-r(u+1)2 r(u+1)r(-+1)r(u)r(1-v) 所以就证得 W[(x),J-(x) ★当〃≠整数时,W[J-(x),J-(x≠0,J(x)和J-(x)线性无关 ★当v=整数n时,W[Jn(x),J-n(x)=0,Jn(x)和J-n(x)线性相关 7. Bessel函数J(x)和J-(x)的递推关系 xJ(x)]=x"J-1(x), dnx-“J(x)=-x-J+(x) 证直接从 Bessel函数的级数表达式出发.由于级数在全平面收敛,所以可以逐项微商 d d d(2=xkI(k+u+1)2 HT(+D)2+ r Jv-1aL 这就是第一式.同样 a[-J(]-= k!r(k++1) 92k+D (k-1)1(k++1)2k+ k!r(k+u+2)22k+u+1 I Ju+1(a) 这样就又证明了第二式.口 从这两个递推关系中消去J(x)或J(x),又可以得到两个新的递推关 J-1(x)-J+1(x)=2J(x) J-1(x)+J+1(x)=-J(x)§17.1 Bessel函数的基本性质 第 5 页 因此 C = 1 Γ (ν + 1) 1 2 ν · 1 Γ (−ν + 1) −ν 2−ν − 1 Γ (−ν + 1) 1 2−ν · 1 Γ (ν + 1) ν 2 ν = − 2ν Γ (ν + 1) Γ (−ν + 1) = − 2 Γ (ν) Γ (1 − ν) = − 2 π sin πν. 所以就证得 W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν. F 当ν 6=整数时，W [Jν(x), J−ν(x)] 6= 0，Jν(x)和J−ν(x)线性无关； F 当ν = 整数 n时，W [Jn(x), J−n(x)] = 0，Jn(x)和J−n(x)线性相关． 7. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的递推关系 d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x), d dx £ x −ν Jν(x) ¤ = −x −ν Jν+1(x). 证 直接从Bessel函数的级数表达式出发．由于级数在全平面收敛，所以可以逐项微商． d dx [x ν Jν(x)] = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k+2ν 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν) x 2k+2ν−1 2 2k+ν−1 = x ν Jν−1(x). 这就是第一式．同样， d dx h x −ν Jν(x) i = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k 2 2k+ν = X∞ k=1 (−) k (k − 1)! Γ (k + ν + 1) x 2k−1 2 2k+ν−1 = X∞ k=0 (−) k+1 k! Γ (k + ν + 2) x 2k+1 2 2k+ν+1 = − x −ν Jν+1(x). 这样就又证明了第二式． 从这两个递推关系中消去Jν(x)或J 0 ν(x)，又可以得到两个新的递推关系： Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2J0 ν(x), Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x).