171 Bessel函数的基本性质 第4页 播①的平面波,因为它的等相位面是 kr cos6-ut=常数 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8).因此,这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开 以上介绍的都是整数阶 Bessel函数的性质.下面再介绍几个性质,对任意阶 Bessel函数都 成立 6. Bessel函数J(x)和J-(x)的 Wronsk行列式 Jv(a)J-v(a) W[J(x),J-u(x)≡ sin丌 Jy(a) J-v(a) 证根据 Bessel方程 r dr de 1 d r d J-p(x)=0 以xJ-(x),xJ(x)分别乘这两个方程,相减即得 j_(d dJv(a-j,(a da[da d dJ-v(a) {x[-()()-J()J-()}=0 所以 )J-v(r)-J-v(a)Jl(r)=WJ, 积分常数C就是J(x)J(x)-J-u(x)J(x)中x-1项的系数 2k+1 上HI(++1) (u+1) (u+2)(2 J(x)=r(v+1)2 r(u+2)2 () k!r(k-+1) (_+1) (-+1)2(2 ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关.如果取时间因子为e,那么这个平面波就是向负x轴方向传播§17.1 Bessel函数的基本性质 第 4 页 播①的平面波，因为它的等相位面是 kr cos θ − ωt = 常数; 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8)．因此，这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开． 以上介绍的都是整数阶Bessel函数的性质．下面再介绍几个性质，对任意阶Bessel函数都 成立． 6. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的Wronski行列式 W [Jν(x), J−ν(x)] ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Jν(x) J−ν(x) J 0 ν(x) J0 −ν(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 2 πx sin πν. 证 根据Bessel方程 1 x d dx · x dJν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ Jν(x) = 0, 1 x d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ J−ν(x) = 0. 以xJ−ν(x), xJν(x)分别乘这两个方程，相减即得 J−ν(x) d dx · x dJν(x) dx ¸ − Jν(x) d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ = d dx n x £ J−ν(x)J0 ν(x) − Jν(x)J0 −ν(x) ¤ o = 0. 所以 Jν(x)J0 −ν(x) − J−ν(x)J0 ν(x) ≡ W [Jν(x), J−ν(x)] = C x . 积分常数C就是Jν(x) J0 −ν(x) − J−ν(x) J0 ν(x)中x −1项的系数． Jν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) ³ x 2 ´2k+ν = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν − 1 Γ (ν + 2) ³ x 2 ´ν+2 + · · · J 0 ν(x) = 1 Γ (ν + 1) ν 2 ³ x 2 ´ν−1 − 1 Γ (ν + 2) ν + 2 2 ³ x 2 ´ν+1 + · · · J−ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k − ν + 1) ³ x 2 ´2k−ν = 1 Γ (−ν + 1) ³ x 2 ´−ν − 1 Γ (−ν + 2) ³ x 2 ´−ν+2 + · · · J 0 −ν(x) = 1 Γ (−ν + 1) −ν 2 ³ x 2 ´−ν−1 − 1 Γ (−ν + 2) −ν + 2 2 ³ x 2 ´−ν+1 + · · · ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关．如果取时间因子为e iωt，那么这个平面波就是向负x轴方向传播 的．