171 Bessel函数的基本性质 第3页 4.Jn(x)的积分表示 Jn(a) cos(rsin 8-ne) 证在生成函数表达式 exp=(t-D)l-2 Ja(aje 中令t=ef isin e ∑Jn(a)e 这就是函数esn°的 Fourier展开式(复数形式).由 Fourier展开的系数公式,就能证得 1 Jn(r)=2T_ 2 cos(a sin 8-n0)+isin(a sin 0-ne)de 在右端积分的被积函数中,虚部是奇函数,所以积分为0;实部是偶函数,所以就能直接化为 上面的积分表示.口 如果将被积函数中的整数n改为任意复数〃,这样得到的并不是函数J(x)的积分表 5.如果在生成函数表达式中令t 还可以得到 Jn(r)i =J()+∑PJn(x)m0+J-)-"e10 =l(2)+∑[PJ,(xk+(-y-J(a=- =J(x)+2∑i"Jn()cosn 特别是,如果再令x=kr,于是就有 0()+2∑iJn(kr)c 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量,并且把k理解为波数,同时取相位的时间因 子为e-t,则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分:左端是沿正x轴方向传§17.1 Bessel函数的基本性质 第 3 页 4. Jn(x)的积分表示 Jn(x) = 1 π Z π 0 cos(x sin θ − nθ)dθ. 证 在生成函数表达式 exp · x 2 µ t − 1 t ¶¸ = X∞ n=−∞ Jn(x)t n 中令t = eiθ， 1 2 µ t − 1 t ¶ = 1 2 ¡ e iθ − e −iθ ¢ = i sin θ e ix sin θ = X∞ n=−∞ Jn(x)einθ . 这就是函数e ix sin θ的Fourier展开式(复数形式)．由Fourier展开的系数公式，就能证得 Jn(x) = 1 2π Z π −π e ix sin θ ³ e inθ´∗ dθ = 1 2π Z π −π [cos(x sin θ − nθ) + i sin(x sin θ − nθ)] dθ. 在右端积分的被积函数中，虚部是奇函数，所以积分为0；实部是偶函数，所以就能直接化为 上面的积分表示． 如果将被积函数中的整数n改为任意复数ν，这样得到的并不是函数Jν(x)的积分表 示． 5. 如果在生成函数表达式中令t = ieiθ，还可以得到 e ix cos θ = X∞ n=−∞ Jn(x)in e inθ = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + J−n(x)i−n e −inθi = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + (−) n i −n Jn(x)e−inθi = J0(x) + 2 X∞ n=1 i n Jn(x) cos nθ. 特别是，如果再令x = kr，于是就有 e ikr cos θ = J0(kr) + 2 X∞ n=1 i n Jn(kr) cos nθ. 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量，并且把k理解为波数，同时取相位的时间因 子为e −iωt，则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分：左端是沿正x轴方向传