第八章-矩阵 一.基本知识点 1.-矩阵 (1)设P是一个数域，是一个文字，作多项式环P[];一个矩阵，如果它的元素P[]的元素，就称为-矩 阵.用A(),B()等表示-矩阵，而A,B等表示数字矩阵，同样的定义-矩阵的加减法与乘法，它们与数字 矩阵有相同的运算规律.-矩阵的行列是一个的多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质，它也有子 式等概念 (2)如果A-矩阵A()中有一个r(>1)级子式不为零，而所有r+1级子式全为零，则称A()的秩为r,记 为R(A())=r,零矩阵的秩规定为零；一个n×n的A-矩阵A()称为可逆的，如果有一个n×n的A-矩 阵B()，使得A()B()=B(λ)A()=E,这里E是n级单位阵.适合1)的矩阵（它是唯一的）称为A()的逆 矩阵，记为A-1();一个n×n的A-矩阵A(A)可逆的充分必要条件为行列式|A(A)≠0 2.矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，行列式因子与初等因子 (1)秩为r(>1)的s×n的-矩阵A()都等价于（通过A-矩阵的初等变换）下列形式的矩阵 d1(A) di(A) 其中d,()(i=1,2,…,r)是首1的多项式，且d1()|di+1(λ)(i= d,(A) 1,2,…,r-1),称这个矩阵为A(λ)的标准型，又称d4()(i=1,2,.…,r)为A(A)的不变因子 (2)设-矩阵A()的秩为r,对于正整数k(1≤k≤r),A()中所有k级子式的首项系数为1的最大公因 式Dk()称为A()的k级行列式因子 (3)设A=(a)是n×n数字矩阵，E-A称为A的特征矩阵，AE-A的不变因子和行列式因子简称 为A的不变因子和行列式因子 (4)把矩阵A的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的 乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现次数计算）称为矩阵A的初等因子 (5)等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 (6)行列式因子与不变因子的关系：设A()是秩为r的s×n的-矩阵，D1()(i=1,2,.…,r)是A()的 行列式因子，而d()(i=1,2,,r)是A()的不变因子，则 D;(λ) = d1(λ)d2(λ)…d(λ)(i= 1,2,… ,r),d1(λ) = D1(λ)， d =(i=2,…,r),即它们是相互确 定的 (7)-矩阵的标准型是唯一的 (8)A-矩阵A()与B()等价=A()与B()有相同的行列式因子=A()与B()有相同的不变因子 3.最小多项式 (1)设A为数域P上n阶矩阵，数域P上的次数最低且首项系数为1的以A为根的多项式d(x)(即d(A)= 0),称为A的最小多项式，矩阵A的最小多项式是唯一的 (2)设d(x)是矩阵A的最小多项式，那么(i)f(x)以A为根的充分必要条件是d(x)整除f(x);(ii)是A的 特征多项式的根充分必要条件是是mA(x)的根 (4)相似的矩阵有相同的最小多项式，反之不成立 第1页1lŸ λ−› ò. ƒ£: 1. λ−› (1) P¥òáÍç,λ¥òá©i,äıë™ÇP[λ];òá› ,XJßÉP[λ]É, “°èλ−› . ^A(λ), B(λ)L´λ−› , A, BL´Íi› ,”½¬λ−› \~{ܶ{,ßÇÜÍi › kÉ”$é5Æ.λ−› 1¥òáλıë™,ßÜÍi› 1™kÉ”5ü,ßèkf ™Vg. (2) XJλ−› A(λ)•kòár(≥ 1)?f™ÿè", §kr + 1?f™è",K°A(λ)ùèr,P èR(A(λ)) = r, "› ù5½è"; òán × nλ− › A(λ)°èå_, XJkòán × nλ−› B(λ),¶A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E, ˘pE¥n?¸† . ·‹1)› (ߥçò)°èA(λ) _ › , PèA−1 (λ); òán × nλ−› A(λ)å_ø©7á^áè1™|A(λ)| 6= 0. 2. › 3–CÜeIO., ÿCœf,1™œfÜ–œf (1) ùèr(≥ 1)s × nλ−› A(λ)—du(œLλ−› –CÜ)e/™›   d1(λ) d1(λ) . . . dr(λ) 0   , Ÿ•di(λ)(i = 1, 2, · · · , r) ¥ƒ1ıë™, Ödi(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , r − 1), °˘á› èA(λ)IO.,q°di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)èA(λ)ÿCœf. (2) λ−› A(λ)ùèr,ÈuÍk(1 ≤ k ≤ r), A(λ)•§kk?f™ƒëXÍè1Åå˙œ ™Dk(λ)°èA(λ)k?1™œf. (3) A = (aij )¥n × nÍi› ,λE − A°èAA› , λE − AÿCœf⁄1™œf{° èAÿCœf⁄1™œf. (4) r› AzágÍåu"ÿCœf3EÍçS©)§pÿÉ”ƒëè1ògœ™êò ¶»,§k˘ ògœ™êò(É”U—ygÍOé)°è› A–œf. (5) dλ−› ‰kÉ”ùÜÉ”à?1™œf. (6) 1™œfÜÿCœf'X: A(λ)¥ùèrs × nλ−› ,Di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)¥A(λ) 1™œf, di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)¥A(λ) ÿCœf, K Di(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · di(λ)(i = 1, 2, · · · , r),d1(λ) = D1(λ), di = Di(λ) Di−1(λ) (i = 2, · · · , r),=ßÇ¥Ép( ½. (7) λ−› IO.¥çò. (8) λ−› A(λ)ÜB(λ)d A(λ)ÜB(λ)kÉ”1™œf A(λ)ÜB(λ)kÉ”ÿCœf. 3. Åıë™ (1) AèÍçP˛n› , ÍçP˛gÍÅ$ÖƒëXÍè1±Aèäıë™d(x)(=d(A) = 0),°èAÅıë™, › AÅı뙥çò. (2) d(x)¥› AÅıë™,@o(i) f(x)±Aèäø©7á^á¥d(x)ÿf(x);(ii) λ0¥A Aıë™äø©7á^á¥λ0¥mA(x)ä. (4) Éq› kÉ”Åıë™, áÉÿ§·. 1 1 ê