至此，我們只考虑了钱性算符作用于右矢量的情况.我們也 能給出後性算符作用于左矢量的意义，其方法如下：取任意左矢 〈B|与右矢aA〉的标量积，这个标量积是一个数，它与|A〉钱性 相关，因之，从左矢量的定义，它可以被款为是|A〉与某左矢的标 量积，而这个左夫是与〈B|餐性相关的.因此，我們可以親之为 某一镂性算符作用于〈B|的結果。这个後性算符是由原来的後性 算符“唯一地决定的，并可以合理地称之为作用于左矢上的同一 算符.就这样，我們的钱性算符也可以作用在左矢量上了. 当α作用于左矢〈B|上，用来表示所得的左矢量的适当符号 是〈B|a,因为，在这样符号下，給(B|a下定义的方程是 {(Ba}iA=〈B|{aA)}, (3) 对任意的【A).这个式子簡单地表示乘法的秸合律适用于〈B|, α及|A〉的三重积.我們因而作出了一般規則，即在左矢与镂性 算符的乘积中，左矢必须总是放在左边.我們现在能把〈B|,α及 |A〉的三重积，簡单地写成〈B|aA)而不必用括弧.很容易証 明，乘法的分配律对左矢与钱性算符的乘积是适用的，就如同钱性 算符与右矢的乘积一样. ·还有一种乘积的形式，它在我們的方案里也有意义，那即是右 矢量与左矢量的乘积，其中右矢量是放在左边的，例如|A)(B|. 为考察这个乘积，訨我們用它乘以任意的右矢|P〉，把此右矢放 在右边，而假定乘法的桔合律可用.这一乘积就是|A)B|P〉， 它是一另外的右矢，卸|A〉乘以数〈B|P〉，这个右矢是与右矢 |P〉耧性相关的.因此，|A)人B表現为一镂性算符，它能作用于 右矢上.它也可能作用于左矢，它对左矢〈9的乘积(？|放在 左边)是〈Q|4〉(B|,这就成为用一数〈？|A)去乘左矢〈B|.乘 积|A〉(B|是要与同样因子具有相反次序的乘积(B丨A)清楚地 分别开的，后一乘积当然是一个数. 我們現在有一全套代数方案，涉及三种量：左矢量、右矢量以 及钱性算符.它們能按上述各种方式乘在一起，而且乘法的精合 律与分配律总是成立的，但乘法的交换律不成立.在这个总方案 ◆23◆