·1138· 智能系统学报 第16卷 J(P)=2min{p,ql,多相分布按嫡的迭代公式计算， 的系统故障概率分布是更为精细的分布，因素可 这样得到的量JP)称为P的线性嫡。 划分为多个状态。这里只对一个因素划分两种状 线性嫡线性地表现了分布的均匀度。它不满 态进行讨论，多状态划分情况有待研究。 足嫡所满足的置换不变性公理，是一个能反映系 统形态变化的整体性度量。因素状态是根据设定 3系统故障熵时变分析 值对因素相值域进行划分形成的因素相状态，简 当系统被制造之后，系统的元件和系统组成 称因素状态，如因素身高，其相划分为高和矮状 结构都是固定的；另一方面，系统故障与元件故 态。下文若无特殊说明因素相划分简称为因素划 障及系统组成有关。但系统故障嫡在系统制造后 分。定义2中二相指一个因素的两种因素状态， 与系统本身及元件关系不大，即与系统的内因关 而多个因素的两状态叠加为2种状态，k为因素 系不大。相反，系统故障与系统运行时的环境有 数量。线性熵是嫡的衍生定义，因此它满足嫡的 明显关系四。这种影响来源于意外，不是在系统 前3个性质。二相分布P={p,qh,p+F1,p和q的 设计范围内的因素变化。最终，系统故障嫡与系 变化是对应的。当p=0时，q=1;当q=0时，p=1; 统运行环境因素直接相关；也与使用时间有明显 当g0.5且p=0.5时，p=q,符合第一条均匀分布达 关系。更为重要的是，环境因素变化是限定的、 到最高均匀度，显然也符合第二条蜕化为最低均 有规律的，但是时间则是单向的。 匀度。根据嫡迭代性公式，当分布为二相分布时 问题是在以时间衡量系统故障熵时，系统必 满足熵叠加性，具体见实例。 将在环境因素变化过程中运行。在一个规定时间 嫡并非线性均匀度而是对数均匀度，线性嫡 段内系统必将经历不同运行环境，则系统表现出 才是线性均匀度。这对描述系统故障变化与因素 来的故障发生情况也不同。如果在连续多个时间 变化很重要。设熵的迭代性如式(1)所示： 段内，按照相同环境因素划分，记录故障与环境 H(R)=PH(P)+()+H(p.q) (1) 因素关系，则可得到每个时间段内系统故障嫡。 2(p+q) 基于线性熵也可得到各因素状态叠加下的系统故 式中：R=(p1,P2…,Pnq1,q2,…,9m5P=(p1/p,P2/p,…, 障熵。进一步可得到在规定间隔时序下的系统故 pa/p);p=P1+P2+…+Pn;Q=(q1/q,q2/q,…,qn/q); 障嫡变化情况。如果系统故障熵稳定，则系统故 q=q1+q2+…+qmo 障及其可靠性稳定；否则不稳定，该过程称为系 对任意两概率值，设pq=min{p,q,则式(I) 统故障嫡的时变分析。稳定的系统故障或可靠性 转化为线性嫡，如式(2)： 对系统正常使用极其重要。甚至即便是低可靠性 J(P)=(pùp+(p6JP-)+ ())/2(pp) (2) 但故障稳定的系统，也比较高可靠性但故障不稳 定的系统更容易应用于实际。低可靠性系统可通 式中k为因素个数。 过系统结构设计提高可靠性降低故障；而不稳定 容易证得当=2时，线性熵如式(3)所示： J(Pxx)=Pox Pix+Po po+pnp 的系统可靠性则无法及时采取措施保证系统可 (3) 靠，特别是变化速度大于措施速度时。 Pxx 式中：X为1和0两种状态的并；Por中的1/0表 4实例分析 示可计算前一因素状态为1或0时的线性嫡。 当=3时，线性嫡如式(4)所示 这里给出实例说明上述系统故障嫡的计算及 J(Pi/xxx)=[poxx"Pixx+1/2(PoxxJ(Poxx)+ 其时变分析。一个简单的电气元件系统，其故障 (4) PixxJ (Pixx))]/pxxx 发生对于温度、湿度、电压和磁场最为敏感。设温 当=4时，线性熵如式（⑤）所示： 度范围为10-30℃、湿度为70%~90%、电压为 J(Pi/oxxxx)=[Poxxxpixxx+1/2(PoxxxJ(Poxxx)+ (5) 5~10V、磁场为30~300mG。考虑因素划分为两 PixxxJ(Pixxx))]/pxxxx 种状态，分别取上述范围的平均值作为划分状态 当=n时，线性嫡如式(6)所示： 数值。因素划分从小到大依次为：温度因素状态 J(Piax")=Pox-Px"-+ (6) a=[10,20],a1=(20,301:湿度b。=[70,80],b,=(80,90]: 1/2(pox"-J(Pox"-)+pixJ(Px"-)/px" 电压c。=[5,7.5],c1=(7.5,10];磁场d。=[30,165], 式中x表示n个连续的X。 d=(165,300]。4种因素，每个因素划分为2种状 因此基于线性熵，系统故障嫡计算模型为式(3) 态，则该系统运行环境可形成16种叠加状态。时 (=2)和式（⑤）心2)的组合。当然空间故障树得到 间划分单位为1个月，共10个月。记录该系统故J(P) = 2min{p,q} ，多相分布按熵的迭代公式计算， 这样得到的量 J(P) 称为 P 的线性熵。 P = {p,q} 线性熵线性地表现了分布的均匀度。它不满 足熵所满足的置换不变性公理，是一个能反映系 统形态变化的整体性度量。因素状态是根据设定 值对因素相值域进行划分形成的因素相状态，简 称因素状态，如因素身高，其相划分为高和矮状 态。下文若无特殊说明因素相划分简称为因素划 分。定义 2 中二相指一个因素的两种因素状态， 而多个因素的两状态叠加为 2 k 种状态，k 为因素 数量。线性熵是熵的衍生定义，因此它满足熵的 前 3 个性质。二相分布 ，p+q=1，p 和 q 的 变化是对应的。当 p=0 时，q=1；当 q=0 时，p=1； 当 q=0.5 且 p=0.5 时，p=q，符合第一条均匀分布达 到最高均匀度，显然也符合第二条蜕化为最低均 匀度。根据熵迭代性公式，当分布为二相分布时 满足熵叠加性，具体见实例。 熵并非线性均匀度而是对数均匀度，线性熵 才是线性均匀度。这对描述系统故障变化与因素 变化很重要。设熵的迭代性如式 (1) 所示： H(R) = pH(P)+qH(Q)+ H(p,q) 2(p+q) (1) R=(p1, p2 ,··· , pn;q1,q2,··· ,qn) P=(p1/p, p2/p,··· , pn/p) p = p1 + p2 +···+ pn Q = (q1/q,q2/q,··· ,qn/q) q = q1 +q2 +···+qn 式中： ； ； ； ； 。 对任意两概率值，设 pˆq = min{p,q} ，则式 (1) 转化为线性熵，如式 (2)： J ( P (k) ) = ((p (k) 0 U p` (k) 1 )+(p (k) 0 J(P (k−1) 0 )+ p (k) 1 J(P (k−1) 1 ))/2 ( p (k) 0 + p (k) 1 ) (2) 式中 k 为因素个数。 容易证得当 k=2 时，线性熵如式 (3) 所示： J ( P1/0XX) = p0Xˆp1X + p00ˆp01 + p10ˆp11 pXX (3) 式中：X 为 1 和 0 两种状态的并；P1/0XX 中的 1/0 表 示可计算前一因素状态为 1 或 0 时的线性熵。 当 k=3 时，线性熵如式 (4) 所示: J ( P1/0XXX) = [p0XXˆp1XX +1/2(p0XX J (P0XX)+ p1XX J (P1XX))]/pXXX (4) 当 k=4 时，线性熵如式 (5) 所示： J ( P1/0XXXX) = [p0XXXˆp1XXX +1/2(p0XXX J (P0XXX)+ p1XXX J (P1XXX))]/pXXXX (5) 当 k=n 时，线性熵如式 (6) 所示： J ( P1/0X n ) = [ p0X n−1 ˆp1X n−1+ 1/2 ( p0X n−1 J(P0X n−1 )+ p1X n−1 J(P1X n−1 ) ) ]/pX n (6) x 式中 n表示 n 个连续的 X。 因此基于线性熵，系统故障熵计算模型为式 (3) (k=2) 和式 (5)(k>2) 的组合。当然空间故障树得到 的系统故障概率分布是更为精细的分布，因素可 划分为多个状态。这里只对一个因素划分两种状 态进行讨论，多状态划分情况有待研究。 3 系统故障熵时变分析 当系统被制造之后，系统的元件和系统组成 结构都是固定的；另一方面，系统故障与元件故 障及系统组成有关。但系统故障熵在系统制造后 与系统本身及元件关系不大，即与系统的内因关 系不大。相反，系统故障与系统运行时的环境有 明显关系[1]。这种影响来源于意外，不是在系统 设计范围内的因素变化。最终，系统故障熵与系 统运行环境因素直接相关；也与使用时间有明显 关系。更为重要的是，环境因素变化是限定的、 有规律的，但是时间则是单向的。 问题是在以时间衡量系统故障熵时，系统必 将在环境因素变化过程中运行。在一个规定时间 段内系统必将经历不同运行环境，则系统表现出 来的故障发生情况也不同。如果在连续多个时间 段内，按照相同环境因素划分，记录故障与环境 因素关系，则可得到每个时间段内系统故障熵。 基于线性熵也可得到各因素状态叠加下的系统故 障熵。进一步可得到在规定间隔时序下的系统故 障熵变化情况。如果系统故障熵稳定，则系统故 障及其可靠性稳定；否则不稳定，该过程称为系 统故障熵的时变分析。稳定的系统故障或可靠性 对系统正常使用极其重要。甚至即便是低可靠性 但故障稳定的系统，也比较高可靠性但故障不稳 定的系统更容易应用于实际。低可靠性系统可通 过系统结构设计提高可靠性降低故障；而不稳定 的系统可靠性则无法及时采取措施保证系统可 靠，特别是变化速度大于措施速度时。 4 实例分析 这里给出实例说明上述系统故障熵的计算及 其时变分析。一个简单的电气元件系统，其故障 发生对于温度、湿度、电压和磁场最为敏感。设温 度范围为 10~30 ℃、湿度为 70%~90%、电压为 5~10 V、磁场为 30~300 mG。考虑因素划分为两 种状态，分别取上述范围的平均值作为划分状态 数值。因素划分从小到大依次为：温度因素状态 a0=[10,20]，a1=(20,30]；湿度 b0=[70,80]，b1=(80,90]； 电压 c 0=[5,7.5]，c 1=(7.5,10]；磁场 d0=[30,165]， d1=(165,300]。4 种因素，每个因素划分为 2 种状 态，则该系统运行环境可形成 16 种叠加状态。时 间划分单位为 1 个月，共 10 个月。记录该系统故 ·1138· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷