第16卷第6期 智能系统学报 Vol.16 No.6 2021年11月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Now.2021 D0:10.11992/tis.202006034 网络出版地址：https:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20201106.0947.002.html 线性熵的系统故障熵模型及其时变研究 崔铁军，李莎莎2 (1.辽宁工程技术大学安全科学与工程学院，辽宁阜新123000,2.辽宁工程技术大学工商管理学院，辽宁葫 芦岛125105) 摘要：为研究系统故障在不同因素叠加时体现的总体规律、故障变化程度和故障信息量，提出系统故障嫡的 概念。基于线性嫡的线性均匀度特性，推导了多因素相被划分为两状态时的线性嫡模型。认为线性嫡可以表 征系统故障嫡，进而研究了系统故障嫡的时变特征。对连续时间间隔内的不同因素状态叠加下系统故障进行 统计，得到系统故障概率分布，绘制系统故障嫡时变曲线。从结果来看至少可以完成3项任务：从变化规律得 到考虑不同因素影响下的系统故障嫡变化情况，系统故障嫡的总体变化规律，系统可靠性的稳定性。此研究可 应用于类似情况下的各领域故障及数据分析。 关键词：智能科学：安全科学：安全系统工程：空间故障树：因素空间：系统故障嫡：线性嫡：时变分析 中图分类号：TP18,X913,C931.1文献标志码：A文章编号：1673-4785(2021)06-1136-07 中文引用格式：崔铁军，李莎莎.线性熵的系统故障嫡模型及其时变研究.智能系统学报，2021,16(6)：1136-1142， 英文引用格式：CUI Tiejun,.LI Shasha..System fault entropy model and its time-.varying based on linear entropy[Jl.CAAI transac- tions on intelligent systems,2021,16(6):1136-1142. System fault entropy model and its time-varying based on linear entropy CUI Tiejun',LI Shasha? (1.College of Safety Science and Engineering,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China;2.School of Business Adminis- tration,Liaoning Technical University,Huludao 125105,China) Abstract:The concept of system fault entropy is proposed to study the general rule,fault variation degree,and the fault information of the system fault under different superposed factors.A linear entropy model with a multifactor phase di- vided into two states is derived based on the linear uniformity of the linear entropy.The linear entropy can represent the system fault entropy;thus,the time-varying characteristics of the system fault entropy can be studied.The system fault probability distribution is obtained by counting the faults under the superposition of different factor states in continuous time intervals.Then,the time-varying curve of the system fault entropy is drawn.The results show that at least three tasks can be completed:1)Obtaining the change of the system fault entropy under different factors from the change law. 2)Obtaining the general change rule of the system fault entropy.3)Studying the stability of the system reliability.The research results can be applied to fault and data analyses in various fields in similar cases. Keywords:intelligent science;safety science;safety system engineering:space fault tree;factor space;system fault en- tropy;linear entropy;time-varying analysis 系统故障及其过程受到很多因素影响。这些 量方式要考虑全过程、全因素情况下的系统故障 因素的变化情况，决定了系统故障的发生特征。 变化。局部也应考虑某些因素对系统故障影响作 那么针对在不同因素或多个因素联合变化过程 用的差异。可解释为单个因素或因素联合变化中 中，系统故障变化衡量是关键问题山。总体上衡 系统故障的稳定性或变化程度。研究系统变化的 方法很多，其中熵定义就可用来描述系统故障变 收稿日期：2020-06-21.网络出版日期：2020-11-09. 基金项目：国家自然科学基金项目(52004120,51704141)：国家 化情况。 重点研发计划重点专项(2017YFC1503102):国家自 然科学基金委主任基金项目(61350003). 目前使用熵来描述系统故障和可靠性的研究 通信作者：崔铁军.E-mail:c.159@163.com. 不多。国内主要有：使用能量熵辨识直流短路故
DOI: 10.11992/tis.202006034 网络出版地址: https://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20201106.0947.002.html 线性熵的系统故障熵模型及其时变研究 崔铁军1 ，李莎莎2 （1. 辽宁工程技术大学 安全科学与工程学院，辽宁 阜新 123000; 2. 辽宁工程技术大学 工商管理学院，辽宁 葫 芦岛 125105） 摘 要：为研究系统故障在不同因素叠加时体现的总体规律、故障变化程度和故障信息量，提出系统故障熵的 概念。基于线性熵的线性均匀度特性，推导了多因素相被划分为两状态时的线性熵模型。认为线性熵可以表 征系统故障熵，进而研究了系统故障熵的时变特征。对连续时间间隔内的不同因素状态叠加下系统故障进行 统计，得到系统故障概率分布，绘制系统故障熵时变曲线。从结果来看至少可以完成 3 项任务：从变化规律得 到考虑不同因素影响下的系统故障熵变化情况，系统故障熵的总体变化规律，系统可靠性的稳定性。此研究可 应用于类似情况下的各领域故障及数据分析。 关键词：智能科学；安全科学；安全系统工程；空间故障树；因素空间；系统故障熵；线性熵；时变分析 中图分类号：TP18; X913; C931.1 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2021)06−1136−07 中文引用格式：崔铁军, 李莎莎. 线性熵的系统故障熵模型及其时变研究 [J]. 智能系统学报, 2021, 16(6): 1136–1142. 英文引用格式：CUI Tiejun, LI Shasha. System fault entropy model and its time-varying based on linear entropy[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2021, 16(6): 1136–1142. System fault entropy model and its time-varying based on linear entropy CUI Tiejun1 ，LI Shasha2 (1. College of Safety Science and Engineering, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China; 2. School of Business Administration, Liaoning Technical University, Huludao 125105, China) Abstract: The concept of system fault entropy is proposed to study the general rule, fault variation degree, and the fault information of the system fault under different superposed factors. A linear entropy model with a multifactor phase divided into two states is derived based on the linear uniformity of the linear entropy. The linear entropy can represent the system fault entropy; thus, the time-varying characteristics of the system fault entropy can be studied. The system fault probability distribution is obtained by counting the faults under the superposition of different factor states in continuous time intervals. Then, the time-varying curve of the system fault entropy is drawn. The results show that at least three tasks can be completed: 1) Obtaining the change of the system fault entropy under different factors from the change law. 2) Obtaining the general change rule of the system fault entropy. 3) Studying the stability of the system reliability. The research results can be applied to fault and data analyses in various fields in similar cases. Keywords: intelligent science; safety science; safety system engineering; space fault tree; factor space; system fault entropy; linear entropy; time-varying analysis 系统故障及其过程受到很多因素影响。这些 因素的变化情况，决定了系统故障的发生特征。 那么针对在不同因素或多个因素联合变化过程 中，系统故障变化衡量是关键问题[1]。总体上衡 量方式要考虑全过程、全因素情况下的系统故障 变化。局部也应考虑某些因素对系统故障影响作 用的差异。可解释为单个因素或因素联合变化中 系统故障的稳定性或变化程度。研究系统变化的 方法很多，其中熵定义就可用来描述系统故障变 化情况。 目前使用熵来描述系统故障和可靠性的研究 不多。国内主要有：使用能量熵辨识直流短路故 收稿日期：2020−06−21. 网络出版日期：2020−11−09. 基金项目：国家自然科学基金项目 (52004120，51704141)；国家 重点研发计划重点专项 (2017YFC1503102)；国家自 然科学基金委主任基金项目 (61350003). 通信作者：崔铁军. E-mail：ctj.159@163.com. 第 16 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.16 No.6 2021 年 11 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Nov. 2021
第6期 崔铁军，等：线性嫡的系统故障熵模型及其时变研究 ·1137· 障：基于样本嫡的轴承故障诊断；小波相对嫡 存在的超曲面。从另一角度就是在该空间中的系 的系统接地故障定位；对于改进多尺度排列嫡 统故障分布，即系统故障概率分布山。空间故障树 的轴承诊断；基于多尺度熵的轴承故障可拓智 基础理论部分已经给出该超曲面的构造方法。 能识别：基于信息嫡与PNN的轴承故障诊断m: 各因素的变化都将影响系统故障在该超曲面上以 基于电一振信号嫡权特征的故障诊断；基于故障 不同概率变化。将这些故障概率变化作为信息研 特征信息量的诊断；使用平滑先验分析和模糊 究对应系统的故障变化特征是有用的工作。因此 嫡的故障诊断O;基于EMD模糊嫡与会诊决策融 提出系统故障熵的概念。 合的故障诊断；基于交叉嫡改进NPE间歇过程 定义1系统故障嫡：在空间故障树理论构 的故障检测。国外研究主要包括：基于集对称 造的系统故障概率分布中，将系统故障概率随着 交叉嫡的故障诊断)；改进多尺度模糊熵的故障 影响因素变化而变化的信息作为研究对象，研究 分类方法：基于Otsu方法和熵权法的缺陷分析吲： 系统故障变化的混乱程度和信息量，其衡量指标 自回归近似嫡方法识别多故障机械劣化6；改进 即为系统故障嫡。 多点最优最小熵反褶积方法的故障检测；基于 作为熵定义的衍生，系统故障熵在总体上可 改进ADMM和最小嫡反褶积的故障诊断⑧及机 使用现有如信息嫡的基本计算方式，但其也有自 械故障诊断推理研究等。这些研究实际上集 身特点。系统故障按工作时间增长是逐渐增加 中在一些非关键问题上，例如熵权。但系统故障 的，这是普遍规律。原有熵概念难以分析时变特 直接导致系统功能性下降，也使系统混乱程度增加： 征。更重要的是，系统在不同因素变化过程中故 或是通过维修系统故障减少，混乱程度下降。因 障变化也是不同的。那么单一因素或多因素联合 此描述系统故障应基于熵增减的方式进行。且在 变化时，使用传统熵概念计算无法区分熵变与因 了解系统总体故障情况下，不同因素对系统故障 素变化关系，因为熵具有置换不变性四。同理，不 的影响也应通过嫡来衡量。这些方面上述文献未 同因素具有不同状态，可通过对因素变化范围划 见提及。 分得到这些状态。那么系统从一个因素的一个状 因此本文提出了用系统故障熵来衡量上述情 态转移到另一个状态后系统故障熵的变化用传统 况，并基于线性熵具体实现系统故障熵模型。最 熵计算也是无法得到的，更何况系统在多因素状 后通过实例研究了系统故障熵的时变特征，得到 态间运动。由于置换不变性的存在难以确定熵变 了一些有益结论。 与哪一部分的因素变化相关，这对系统故障分析 是不利的。嫡值相同的两个系统故障发生的条件 1系统故障熵 可能相差很远，但嫡值无法表示。那么系统故障 熵(entropy)是系统的混乱程度，其在控制 熵如何表征和计算成为关键问题。 论、概率论、天体物理、医学科学等领域都有重要 2线性熵 地位，在这些领域中也有各自具体定义。 当系统发生故障时，在某诊断精度条件下故 系统故障熵难以用传统嫡的计算方法，原因 障熵描述了故障的不确定性。故障嫡越大表示故 在于传统嫡的4个性质：1)均匀分布达到最高均 障不可诊断性越高，对系统状态信息需求越高：而 匀度，即概率分布划分（自变量间隔相同）后，所 故障熵越小则表示故障确定性越高，实现诊断的 有这些划分对应的概率相等，则该概率分布的熵 可能性越大回。这是已有文献给出的故障熵描述。 为1；2)确定性蜕化为最低均匀度，即上述划分的 这里的系统故障熵是基于空间故障树四理论 概率只有1个为1，其余均为0，则熵为0：3)迭代 提出的，以适合因素空间中线性嫡的定义。空间 性，即两个分布拼接在一起所得分布熵可通过这 故障树理论目前分为4部分，即空间故障树基础 两个分布的嫡计算确定B;4)置换不变性，即概 理论202)、智能化空间故障树2427、空间故障网 率分布划分后，在划分概率不等时，置换这些划 络29、系统运动空间与系统映射论03。其基本 分的概率后总概率分布熵不变。 思想认为，在系统元件和结构确定后，系统故障 正如上节所述，置换不变性阻碍了嫡在系统 变化由因素决定，可以是内在的也可以是外在 故障分析中的应用。但线性熵可以解决该问题， 的。所谓空间就是以这些影响因素作为坐标轴建 因素空间理论的建立者汪培庄教授在文献33]中 立的多维空间，再增加一维表示系统故障概率或 给出了线性嫡定义。 可靠性。那么系统故障概率就是在该多维空间中 定义2线性熵1：对二相分布P=p,ql,记
障 [2] ；基于样本熵的轴承故障诊断[3] ；小波相对熵 的系统接地故障定位[4] ；对于改进多尺度排列熵 的轴承诊断[5] ；基于多尺度熵的轴承故障可拓智 能识别[6] ；基于信息熵与 PNN 的轴承故障诊断[7] ； 基于电−振信号熵权特征的故障诊断[8] ；基于故障 特征信息量的诊断[9] ；使用平滑先验分析和模糊 熵的故障诊断[10] ；基于 EMD 模糊熵与会诊决策融 合的故障诊断[11] ；基于交叉熵改进 NPE 间歇过程 的故障检测[12]。国外研究主要包括：基于集对称 交叉熵的故障诊断[13] ；改进多尺度模糊熵的故障 分类方法[14] ；基于 Otsu 方法和熵权法的缺陷分析[15] ； 自回归近似熵方法识别多故障机械劣化[16] ；改进 多点最优最小熵反褶积方法的故障检测[17] ；基于 改进 ADMM 和最小熵反褶积的故障诊断[18] 及机 械故障诊断推理研究[19] 等。这些研究实际上集 中在一些非关键问题上，例如熵权。但系统故障 直接导致系统功能性下降，也使系统混乱程度增加； 或是通过维修系统故障减少，混乱程度下降。因 此描述系统故障应基于熵增减的方式进行。且在 了解系统总体故障情况下，不同因素对系统故障 的影响也应通过熵来衡量。这些方面上述文献未 见提及。 因此本文提出了用系统故障熵来衡量上述情 况，并基于线性熵具体实现系统故障熵模型。最 后通过实例研究了系统故障熵的时变特征，得到 了一些有益结论。 1 系统故障熵 熵 (entropy) 是系统的混乱程度，其在控制 论、概率论、天体物理、医学科学等领域都有重要 地位，在这些领域中也有各自具体定义[13]。 当系统发生故障时，在某诊断精度条件下故 障熵描述了故障的不确定性。故障熵越大表示故 障不可诊断性越高，对系统状态信息需求越高；而 故障熵越小则表示故障确定性越高，实现诊断的 可能性越大[12]。这是已有文献给出的故障熵描述。 这里的系统故障熵是基于空间故障树[1] 理论 提出的，以适合因素空间中线性熵的定义。空间 故障树理论目前分为 4 部分，即空间故障树基础 理论[20-23] 、智能化空间故障树[24-27] 、空间故障网 络 [28-29] 、系统运动空间与系统映射论[30-31]。其基本 思想认为，在系统元件和结构确定后，系统故障 变化由因素决定，可以是内在的也可以是外在 的。所谓空间就是以这些影响因素作为坐标轴建 立的多维空间，再增加一维表示系统故障概率或 可靠性。那么系统故障概率就是在该多维空间中 存在的超曲面。从另一角度就是在该空间中的系 统故障分布，即系统故障概率分布[1]。空间故障树 基础理论部分已经给出该超曲面的构造方法[1]。 各因素的变化都将影响系统故障在该超曲面上以 不同概率变化。将这些故障概率变化作为信息研 究对应系统的故障变化特征是有用的工作。因此 提出系统故障熵的概念。 定义 1 系统故障熵：在空间故障树理论构 造的系统故障概率分布中，将系统故障概率随着 影响因素变化而变化的信息作为研究对象，研究 系统故障变化的混乱程度和信息量，其衡量指标 即为系统故障熵。 作为熵定义的衍生，系统故障熵在总体上可 使用现有如信息熵的基本计算方式，但其也有自 身特点。系统故障按工作时间增长是逐渐增加 的，这是普遍规律。原有熵概念难以分析时变特 征。更重要的是，系统在不同因素变化过程中故 障变化也是不同的。那么单一因素或多因素联合 变化时，使用传统熵概念计算无法区分熵变与因 素变化关系，因为熵具有置换不变性[32]。同理，不 同因素具有不同状态，可通过对因素变化范围划 分得到这些状态。那么系统从一个因素的一个状 态转移到另一个状态后系统故障熵的变化用传统 熵计算也是无法得到的，更何况系统在多因素状 态间运动。由于置换不变性的存在难以确定熵变 与哪一部分的因素变化相关，这对系统故障分析 是不利的。熵值相同的两个系统故障发生的条件 可能相差很远，但熵值无法表示。那么系统故障 熵如何表征和计算成为关键问题。 2 线性熵 系统故障熵难以用传统熵的计算方法，原因 在于传统熵的 4 个性质：1) 均匀分布达到最高均 匀度，即概率分布划分 (自变量间隔相同) 后，所 有这些划分对应的概率相等，则该概率分布的熵 为 1；2) 确定性蜕化为最低均匀度，即上述划分的 概率只有 1 个为 1，其余均为 0，则熵为 0；3) 迭代 性，即两个分布拼接在一起所得分布熵可通过这 两个分布的熵计算确定[33] ；4) 置换不变性，即概 率分布划分后，在划分概率不等时，置换这些划 分的概率后总概率分布熵不变。 正如上节所述，置换不变性阻碍了熵在系统 故障分析中的应用。但线性熵可以解决该问题， 因素空间理论的建立者汪培庄教授在文献 [33] 中 给出了线性熵定义。 定义 2 线性熵 P = {p,q} [33] ：对二相分布 ，记 第 6 期 崔铁军，等：线性熵的系统故障熵模型及其时变研究 ·1137·
·1138· 智能系统学报 第16卷 J(P)=2min{p,ql,多相分布按嫡的迭代公式计算， 的系统故障概率分布是更为精细的分布，因素可 这样得到的量JP)称为P的线性嫡。 划分为多个状态。这里只对一个因素划分两种状 线性嫡线性地表现了分布的均匀度。它不满 态进行讨论，多状态划分情况有待研究。 足嫡所满足的置换不变性公理，是一个能反映系 统形态变化的整体性度量。因素状态是根据设定 3系统故障熵时变分析 值对因素相值域进行划分形成的因素相状态，简 当系统被制造之后，系统的元件和系统组成 称因素状态，如因素身高，其相划分为高和矮状 结构都是固定的；另一方面，系统故障与元件故 态。下文若无特殊说明因素相划分简称为因素划 障及系统组成有关。但系统故障嫡在系统制造后 分。定义2中二相指一个因素的两种因素状态， 与系统本身及元件关系不大，即与系统的内因关 而多个因素的两状态叠加为2种状态，k为因素 系不大。相反，系统故障与系统运行时的环境有 数量。线性熵是嫡的衍生定义，因此它满足嫡的 明显关系四。这种影响来源于意外，不是在系统 前3个性质。二相分布P={p,qh,p+F1,p和q的 设计范围内的因素变化。最终，系统故障嫡与系 变化是对应的。当p=0时，q=1;当q=0时，p=1; 统运行环境因素直接相关；也与使用时间有明显 当g0.5且p=0.5时，p=q,符合第一条均匀分布达 关系。更为重要的是，环境因素变化是限定的、 到最高均匀度，显然也符合第二条蜕化为最低均 有规律的，但是时间则是单向的。 匀度。根据嫡迭代性公式，当分布为二相分布时 问题是在以时间衡量系统故障熵时，系统必 满足熵叠加性，具体见实例。 将在环境因素变化过程中运行。在一个规定时间 嫡并非线性均匀度而是对数均匀度，线性嫡 段内系统必将经历不同运行环境，则系统表现出 才是线性均匀度。这对描述系统故障变化与因素 来的故障发生情况也不同。如果在连续多个时间 变化很重要。设熵的迭代性如式(1)所示： 段内，按照相同环境因素划分，记录故障与环境 H(R)=PH(P)+()+H(p.q) (1) 因素关系，则可得到每个时间段内系统故障嫡。 2(p+q) 基于线性熵也可得到各因素状态叠加下的系统故 式中：R=(p1,P2…,Pnq1,q2,…,9m5P=(p1/p,P2/p,…, 障熵。进一步可得到在规定间隔时序下的系统故 pa/p);p=P1+P2+…+Pn;Q=(q1/q,q2/q,…,qn/q); 障嫡变化情况。如果系统故障熵稳定，则系统故 q=q1+q2+…+qmo 障及其可靠性稳定；否则不稳定，该过程称为系 对任意两概率值，设pq=min{p,q,则式(I) 统故障嫡的时变分析。稳定的系统故障或可靠性 转化为线性嫡，如式(2)： 对系统正常使用极其重要。甚至即便是低可靠性 J(P)=(pùp+(p6JP-)+ ())/2(pp) (2) 但故障稳定的系统，也比较高可靠性但故障不稳 定的系统更容易应用于实际。低可靠性系统可通 式中k为因素个数。 过系统结构设计提高可靠性降低故障；而不稳定 容易证得当=2时，线性熵如式(3)所示： J(Pxx)=Pox Pix+Po po+pnp 的系统可靠性则无法及时采取措施保证系统可 (3) 靠，特别是变化速度大于措施速度时。 Pxx 式中：X为1和0两种状态的并；Por中的1/0表 4实例分析 示可计算前一因素状态为1或0时的线性嫡。 当=3时，线性嫡如式(4)所示 这里给出实例说明上述系统故障嫡的计算及 J(Pi/xxx)=[poxx"Pixx+1/2(PoxxJ(Poxx)+ 其时变分析。一个简单的电气元件系统，其故障 (4) PixxJ (Pixx))]/pxxx 发生对于温度、湿度、电压和磁场最为敏感。设温 当=4时，线性熵如式（⑤）所示： 度范围为10-30℃、湿度为70%~90%、电压为 J(Pi/oxxxx)=[Poxxxpixxx+1/2(PoxxxJ(Poxxx)+ (5) 5~10V、磁场为30~300mG。考虑因素划分为两 PixxxJ(Pixxx))]/pxxxx 种状态，分别取上述范围的平均值作为划分状态 当=n时，线性嫡如式(6)所示： 数值。因素划分从小到大依次为：温度因素状态 J(Piax")=Pox-Px"-+ (6) a=[10,20],a1=(20,301:湿度b。=[70,80],b,=(80,90]: 1/2(pox"-J(Pox"-)+pixJ(Px"-)/px" 电压c。=[5,7.5],c1=(7.5,10];磁场d。=[30,165], 式中x表示n个连续的X。 d=(165,300]。4种因素，每个因素划分为2种状 因此基于线性熵，系统故障嫡计算模型为式(3) 态，则该系统运行环境可形成16种叠加状态。时 (=2)和式（⑤）心2)的组合。当然空间故障树得到 间划分单位为1个月，共10个月。记录该系统故
J(P) = 2min{p,q} ，多相分布按熵的迭代公式计算， 这样得到的量 J(P) 称为 P 的线性熵。 P = {p,q} 线性熵线性地表现了分布的均匀度。它不满 足熵所满足的置换不变性公理，是一个能反映系 统形态变化的整体性度量。因素状态是根据设定 值对因素相值域进行划分形成的因素相状态，简 称因素状态，如因素身高，其相划分为高和矮状 态。下文若无特殊说明因素相划分简称为因素划 分。定义 2 中二相指一个因素的两种因素状态， 而多个因素的两状态叠加为 2 k 种状态，k 为因素 数量。线性熵是熵的衍生定义，因此它满足熵的 前 3 个性质。二相分布 ，p+q=1，p 和 q 的 变化是对应的。当 p=0 时，q=1；当 q=0 时，p=1； 当 q=0.5 且 p=0.5 时，p=q，符合第一条均匀分布达 到最高均匀度，显然也符合第二条蜕化为最低均 匀度。根据熵迭代性公式，当分布为二相分布时 满足熵叠加性，具体见实例。 熵并非线性均匀度而是对数均匀度，线性熵 才是线性均匀度。这对描述系统故障变化与因素 变化很重要。设熵的迭代性如式 (1) 所示： H(R) = pH(P)+qH(Q)+ H(p,q) 2(p+q) (1) R=(p1, p2 ,··· , pn;q1,q2,··· ,qn) P=(p1/p, p2/p,··· , pn/p) p = p1 + p2 +···+ pn Q = (q1/q,q2/q,··· ,qn/q) q = q1 +q2 +···+qn 式中： ； ； ； ； 。 对任意两概率值，设 pˆq = min{p,q} ，则式 (1) 转化为线性熵，如式 (2)： J ( P (k) ) = ((p (k) 0 U p` (k) 1 )+(p (k) 0 J(P (k−1) 0 )+ p (k) 1 J(P (k−1) 1 ))/2 ( p (k) 0 + p (k) 1 ) (2) 式中 k 为因素个数。 容易证得当 k=2 时，线性熵如式 (3) 所示： J ( P1/0XX) = p0Xˆp1X + p00ˆp01 + p10ˆp11 pXX (3) 式中：X 为 1 和 0 两种状态的并；P1/0XX 中的 1/0 表 示可计算前一因素状态为 1 或 0 时的线性熵。 当 k=3 时，线性熵如式 (4) 所示: J ( P1/0XXX) = [p0XXˆp1XX +1/2(p0XX J (P0XX)+ p1XX J (P1XX))]/pXXX (4) 当 k=4 时，线性熵如式 (5) 所示： J ( P1/0XXXX) = [p0XXXˆp1XXX +1/2(p0XXX J (P0XXX)+ p1XXX J (P1XXX))]/pXXXX (5) 当 k=n 时，线性熵如式 (6) 所示： J ( P1/0X n ) = [ p0X n−1 ˆp1X n−1+ 1/2 ( p0X n−1 J(P0X n−1 )+ p1X n−1 J(P1X n−1 ) ) ]/pX n (6) x 式中 n表示 n 个连续的 X。 因此基于线性熵，系统故障熵计算模型为式 (3) (k=2) 和式 (5)(k>2) 的组合。当然空间故障树得到 的系统故障概率分布是更为精细的分布，因素可 划分为多个状态。这里只对一个因素划分两种状 态进行讨论，多状态划分情况有待研究。 3 系统故障熵时变分析 当系统被制造之后，系统的元件和系统组成 结构都是固定的；另一方面，系统故障与元件故 障及系统组成有关。但系统故障熵在系统制造后 与系统本身及元件关系不大，即与系统的内因关 系不大。相反，系统故障与系统运行时的环境有 明显关系[1]。这种影响来源于意外，不是在系统 设计范围内的因素变化。最终，系统故障熵与系 统运行环境因素直接相关；也与使用时间有明显 关系。更为重要的是，环境因素变化是限定的、 有规律的，但是时间则是单向的。 问题是在以时间衡量系统故障熵时，系统必 将在环境因素变化过程中运行。在一个规定时间 段内系统必将经历不同运行环境，则系统表现出 来的故障发生情况也不同。如果在连续多个时间 段内，按照相同环境因素划分，记录故障与环境 因素关系，则可得到每个时间段内系统故障熵。 基于线性熵也可得到各因素状态叠加下的系统故 障熵。进一步可得到在规定间隔时序下的系统故 障熵变化情况。如果系统故障熵稳定，则系统故 障及其可靠性稳定；否则不稳定，该过程称为系 统故障熵的时变分析。稳定的系统故障或可靠性 对系统正常使用极其重要。甚至即便是低可靠性 但故障稳定的系统，也比较高可靠性但故障不稳 定的系统更容易应用于实际。低可靠性系统可通 过系统结构设计提高可靠性降低故障；而不稳定 的系统可靠性则无法及时采取措施保证系统可 靠，特别是变化速度大于措施速度时。 4 实例分析 这里给出实例说明上述系统故障熵的计算及 其时变分析。一个简单的电气元件系统，其故障 发生对于温度、湿度、电压和磁场最为敏感。设温 度范围为 10~30 ℃、湿度为 70%~90%、电压为 5~10 V、磁场为 30~300 mG。考虑因素划分为两 种状态，分别取上述范围的平均值作为划分状态 数值。因素划分从小到大依次为：温度因素状态 a0=[10,20]，a1=(20,30]；湿度 b0=[70,80]，b1=(80,90]； 电压 c 0=[5,7.5]，c 1=(7.5,10]；磁场 d0=[30,165]， d1=(165,300]。4 种因素，每个因素划分为 2 种状 态，则该系统运行环境可形成 16 种叠加状态。时 间划分单位为 1 个月，共 10 个月。记录该系统故 ·1138· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷
第6期 崔铁军，等：线性嫡的系统故障熵模型及其时变研究 ·1139· 障发生时4个因素的状态，针对16种状态组合分 XXXX分别对应于a、b、c、d。10个月的16种状 别统计，归一化形成概率分布。组合状态标记 态中发生故障的概率分布如表1所示。 表1故障概率分布及其系统故障熵 Table 1 Fault probability distribution and system fault entropy 对象 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月 第6月 第7月 第8月 第9月 第10月 0000 0.0456 0.0455 0.0451 0.0456 0.0453 0.0453 0.0455 0.0460 0.0466 0.0470 0001 0.0467 0.0465 0.0468 0.0467 0.0471 0.0473 0.0474 0.0479 0.0478 0.0477 0010 0.0572 0.0566 0.0572 0.0572 0.0568 0.0571 0.0576 0.0578 0.0574 0.0578 0011 0.0693 0.0691 0.0685 0.0683 0.0681 0.0679 0.0675 0.0673 0.0670 0.0669 0100 0.0577 0.0580 0.0578 0.0573 0.0577 0.0578 0.0575 0.0576 0.0581 0.0582 0101 0.0808 0.0806 00806 0.0803 0.0805 0.0805 00804 0.0804 0.0803 0.0798 0110 0.0571 0.0570 0.0571 0.0570 0.0573 0.0570 0.0569 0.0573 0.0574 0.0573 0111 0.0463 0.0461 0.0457 0.0465 0.0463 0.0468 0.0466 0.0463 0.0466 0.0469 1000 0.0571 0.0571 0.0576 0.0581 0.0586 0.0582 0.0582 0.0578 0.0577 0.0582 1001 0.0347 0.0352 0.0354 0.0355 0.0358 0.0358 0.0363 0.0369 0.0368 0.0375 1010 0.0692 0.0695 0.0698 0.0696 0.0690 0.0694 0.0697 0.0693 0.0689 0.0684 1011 0.0799 0.0800 0.0801 0.0796 0.0790 0.0787 0.0783 0.0777 0.0777 0.0772 1100 0.0461 0.0468 0.0471 0.0470 0.0475 0.0474 0.0474 0.0473 0.0475 0.0476 1101 0.0685 0.0688 0.0692 0.0697 0.0701 0.0700 0.0703 0.0706 0.0706 0.0702 1110 0.1032 0.1028 0.1020 0.1016 0.1012 0.1011 0.1006 0.1000 0.0996 0.0991 1111 0.0804 0.0806 0.0801 0.0801 0.0797 0.0797 0.0798 0.0798 0.0800 0.0801 JPoaxx) 0.8917 0.8916 0.8925 0.8958 0.8951 0.8961 0.8991 0.9027 0.9068 0.9093 J(PoLxx) 0.8574 0.8573 0.8553 0.8598 0.8586 0.8608 0.8600 0.8589 0.8610 0.8642 (P1OxX) 0.8124 0.8147 0.8160 0.8184 0.8218 0.8228 0.8268 0.8312 0.8304 0.8355 J(PiLx) 0.8085 0.8127 0.8160 0.8170 0.8201 0.8199 0.8215 0.8230 0.8250 0.8266 (Paxxx) 0.9118 0.9106 0.9107 0.9131 0.9112 0.9121 0.9138 0.9153 0.9158 0.9181 J(Puxxx) 0.8520 0.8539 0.8567 0.8574 0.8586 0.8587 0.8605 0.8614 0.8612 0.8636 J(Pxxx) 0.9004 0.8995 0.8996 0.9004 0.9005 0.9013 0.9019 0.9037 0.9044 0.9059 表1中计算举例：如式(3)所示，第1月的线 中，前4行考虑了2种因素状态变化叠加形成的 性熵值： 4种状态的系统故障熵；第5、6行考虑了第3个因 J(Pooxx)=(poxApx)+pooApon pioAp)/ 素：第7行考虑了全部因素。将这7个不同状态下 (p品+p0)）=[(po00+po0i)A(p010+po1i)+ 系统故障嫡根据时间间隔绘制变化如图1所示。 P000APo001+P01oAP01i]/(P000+Po001+P010+P01)= [(0.0456+0.0467)Λ(0.0572+0.0693)+ 0.92 -00XX 0.0456Λ0.0467+0.0572Λ0.0693]/ 0.90 -01XX (0.0456+0.0467+0.0572+0.0693)=0.8917 0.88 。10X 如式(5)所示，第1月： +.11X J(Pxxxx)= 0.82 -LXXX [(Sum(P0000,P001,P0010,Po01,P0100,Poi01,Po110,Po11i)A 0.80 Sum(P10:P1001,P1010,P1011,P110,P101,P1110,P11)+ 2 456789i0+0 1/2(sum(p000,P001,P010,Po011,Po100,Po101,Po11,Po1i)× 时间段/月份 0.9118+sum(P1000,P101P1010,P1011,P10,P1101, 图1不同状态系统故障熵的时变规律 P110,P111)×0.8520]/1=0.9004 Fig.1 Time-varying law of the system fault entropy in dif- 经过上述类似计算后得到表1结果。表1中 ferent states 前16行是对16种不同状态下系统故障统计得到 图1中，00XX曲线代表了温度ao和湿度 的，后7行是通过计算得到的系统故障嫡。后7行 b状态下电压和磁场状态叠加形成的系统故障嫡
障发生时 4 个因素的状态，针对 16 种状态组合分 别统计，归一化形成概率分布。组合状态标记 XXXX 分别对应于 a、b、c、d。10 个月的 16 种状 态中发生故障的概率分布如表 1 所示。 表 1 故障概率分布及其系统故障熵 Table 1 Fault probability distribution and system fault entropy 对象 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月 第6月 第7月 第8月 第9月 第10月 0000 0.0456 0.0455 0.0451 0.0456 0.0453 0.0453 0.0455 0.0460 0.0466 0.047 0 0001 0.0467 0.0465 0.0468 0.0467 0.0471 0.0473 0.0474 0.0479 0.0478 0.047 7 0010 0.0572 0.0566 0.0572 0.0572 0.0568 0.0571 0.0576 0.0578 0.0574 0.057 8 0011 0.0693 0.0691 0.0685 0.0683 0.0681 0.0679 0.0675 0.0673 0.0670 0.066 9 0100 0.0577 0.0580 0.0578 0.0573 0.0577 0.0578 0.0575 0.0576 0.0581 0.058 2 0101 0.0808 0.0806 0.0806 0.0803 0.0805 0.0805 0.0804 0.0804 0.0803 0.079 8 0110 0.0571 0.0570 0.0571 0.0570 0.0573 0.0570 0.0569 0.0573 0.0574 0.057 3 0111 0.0463 0.0461 0.0457 0.0465 0.0463 0.0468 0.0466 0.0463 0.0466 0.046 9 1000 0.0571 0.0571 0.0576 0.0581 0.0586 0.0582 0.0582 0.0578 0.0577 0.058 2 1001 0.0347 0.0352 0.0354 0.0355 0.0358 0.0358 0.0363 0.0369 0.0368 0.037 5 1010 0.0692 0.0695 0.0698 0.0696 0.0690 0.0694 0.0697 0.0693 0.0689 0.068 4 1011 0.0799 0.0800 0.0801 0.0796 0.0790 0.0787 0.0783 0.0777 0.0777 0.077 2 1100 0.0461 0.0468 0.0471 0.0470 0.0475 0.0474 0.0474 0.0473 0.0475 0.047 6 1101 0.0685 0.0688 0.0692 0.0697 0.0701 0.0700 0.0703 0.0706 0.0706 0.070 2 1110 0.1032 0.1028 0.1020 0.1016 0.1012 0.1011 0.1006 0.1000 0.0996 0.099 1 1111 0.0804 0.0806 0.0801 0.0801 0.0797 0.0797 0.0798 0.0798 0.0800 0.080 1 J(P00XX) 0.8917 0.8916 0.8925 0.8958 0.8951 0.8961 0.8991 0.9027 0.9068 0.909 3 J(P01XX) 0.8574 0.8573 0.8553 0.8598 0.8586 0.8608 0.8600 0.8589 0.8610 0.864 2 J(P10XX) 0.8124 0.8147 0.8160 0.8184 0.8218 0.8228 0.8268 0.8312 0.8304 0.835 5 J(P11XX) 0.8085 0.8127 0.8160 0.8170 0.8201 0.8199 0.8215 0.8230 0.8250 0.826 6 J(P0XXX) 0.9118 0.9106 0.9107 0.9131 0.9112 0.9121 0.9138 0.9153 0.9158 0.918 1 J(P1XXX) 0.8520 0.8539 0.8567 0.8574 0.8586 0.8587 0.8605 0.8614 0.8612 0.863 6 J(PXXXX) 0.9004 0.8995 0.8996 0.9004 0.9005 0.9013 0.9019 0.9037 0.9044 0.905 9 表 1 中计算举例：如式 (3) 所示，第 1 月的线 性熵值： J (P00XX) = (p (2) 0XΛp (2) 1X )+ p (1) 00 Λp (1) 01 + p (1) 10 Λp (1) 11 )/ ( p (2) 0X + p (2) 1X ) = [(p0000 + p0001)Λ(p0010 + p0011)+ p0000Λp0001 + p0010Λp0011]/ (p0000 + p0001 + p0010 + p0011) = [(0.045 6+0.046 7)Λ(0.057 2+0.069 3)+ 0.045 6Λ0.046 7+0.057 2Λ0.069 3]/ (0.045 6+0.046 7+0.057 2+0.069 3) = 0.891 7 如式 (5) 所示，第 1 月： J (PXXXX) = [(sum(p0000, p0001, p0010, p0011, p0100, p0101, p0110, p0111)Λ sum(p1000, p1001, p1010, p1011, p1100, p1101, p1110, p1111))+ 1/2(sum(p0000, p0001, p0010, p0011, p0100, p0101, p0111, p0111)× 0.911 8+sum(p1000, p1001, p1010, p1011, p1100, p1101, p1110, p1111)×0.852 0)]/1 = 0.900 4 经过上述类似计算后得到表 1 结果。表 1 中 前 16 行是对 16 种不同状态下系统故障统计得到 的，后 7 行是通过计算得到的系统故障熵。后 7 行 中，前 4 行考虑了 2 种因素状态变化叠加形成的 4 种状态的系统故障熵；第 5、6 行考虑了第 3 个因 素；第 7 行考虑了全部因素。将这 7 个不同状态下 系统故障熵根据时间间隔绘制变化如图 1 所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 时间段/月份 系统故障熵 00XX 01XX 10XX 11XX 0XXX 1XXX XXXX 图 1 不同状态系统故障熵的时变规律 Fig. 1 Time-varying law of the system fault entropy in different states 图 1 中 ， 00XX 曲线代表了温度 a0 和湿度 b0 状态下电压和磁场状态叠加形成的系统故障熵 第 6 期 崔铁军，等：线性熵的系统故障熵模型及其时变研究 ·1139·
·1140· 智能系统学报 第16卷 随时间的变化情况，其余3种解释相同。0XXX 5结束语 曲线代表了温度ao状态下湿度、电压和磁场状态 叠加形成的系统故障熵随时间的变化情况，1XX 1)定义了系统故障嫡。系统故障熵是基于系 解释相同。XXXX曲线代表了温度、湿度、电压和 统故障概率分布曲面得到的。可研究系统故障变 磁场状态叠加形成的系统故障嫡随时间的变化情 化的混乱程度和信息量。其变化可衡量不同因素 况。用图1能说明如下问题： 状态下的系统故障变化情况，得到系统故障变化 1)不同因素影响下系统故障嫡的变化不同。 总体规律及系统可靠性的稳定性。 图1中曲线可成对分析，00XX与01XX、10XX与 2)定义了线性嫡。与传统熵相比，线性嫡满 11XX、0XXX与1XXX。00XX与01XX在图中距离 足它的前3个条件。嫡并非线性均匀度而是对数 较大，说明湿度变化对温度不变的电压磁场状态 均匀度，线性熵才是线性均匀度，即线性熵具有 叠加时系统故障熵影响较大。10XX与11XX 的第4条件。给出了线性熵在不同因素数量时的 在图中距离很小，说明湿度变化对温度不变的电 模型。认为线性熵可表征和计算系统故障嫡。 压磁场状态叠加时系统故障熵影响较小。 3)对系统故障熵进行了时变分析。通过实例 0XX与1XXX表明温度变化对其余3个因素状态 研究得到了不同时间和不同因素状态叠加时系 叠加时系统故障嫡影响较大。同理，可横向对 统故障嫡及其变化规律。得到了考虑不同因素状 比，00XX与10XX表明温度变化对湿度不变电压 态叠加时系统故障熵的变化不同；系统故障嫡总 磁场状态叠加时系统故障嫡影响较大。通过计算 体随时间增长而增长：可应用于判断系统故障稳 两条曲线的距离平均值获得影响因素的影响程度 定性。 排序。该计算较为简单，这里不再详述。进一步 参考文献： 可通过这些影响的对比和排序有的放矢地采取措 施方式故障发生。 [1]崔铁军，马云东.多维空间故障树构建及应用研究 2)系统故障嫡的总体变化规律。图1中7条 中国安全科学学报，2013.23(4)：32-37,62. 曲线给出了所有情况下系统故障熵随时间的变化 CUI Tiejun,MA Yundong.Research on multi-dimension- 规律。可见，无论何种情况，虽然局部可能递减， al space fault tree construction and application[J].China safety science journal,2013,23(4):32-37,62 但系统故障熵总体上都是递增的。根据熵的基本 [2]刘炜，李思文，王竟竞，等.基于EWT能量嫡的直流短路 含义，熵值增加说明系统变得更加混乱。考虑哲 故障辨识U.电力自动化设备，2020,40(2)：149-153 学意义，该电气系统是人造系统，以完成预定功 LIU Wei.LI Siwen,WANG Jing,et al.Identification of 能。对该系统而言，在系统制造完成时系统故障 DC short circuit fault based on EWT energy entropy[J]. 嫡为0（如果可靠性是100%）。自然对系统（人造） Electric power automation equipment,2020,40(2): 的影响是使系统失去功能，变得杂乱。不加维护 149-153. 的长时间使用，系统可靠性逐渐降低为0，这时系 [3] 杨洪涛.样本嫡改进小波包阈值去噪的轴承故障诊断 统故障嫡为1。因此在不维护时使用系统必将导 [组合机床与自动化加工技术，2020(1)：79-82,88. 致系统故障嫡的持续升高。 YANG Hongtao.Bearing fault diagnosis based on wave- 3)判断系统可靠性的稳定性。系统可靠性与 let packet threshold de-noise algorithm improved by 故障发生是互补关系。可靠性稳定证明在运行过 sample entropy[J].Modular machine tool automatic 程中故障发生也是稳定的，反之亦然。图1表明 manufacturing technique,2020(1):79-82,88 在这7种4个因素状态叠加时系统故障熵曲线都 [4]刘渝根，陈超，杨蕊菁，等.基于小波相对嫡的变电站直 是近似连续的，具有较小且稳定的斜率。这说 流系统接地故障定位方法).高压电器，2020,56(1)： 169-174 明，系统故障熵是稳定的，系统可靠性是稳定的， LIU Yugen,CHEN Chao,YANG Ruijing,et al.Location 没有跳跃式变化。如果在连续时间间隔上，系统 method of ground fault in DC system of substation based 故障熵在某种条件下出现大幅变化，可能是由于 on wavelet relative entropy[J].High voltage apparatus, 系统修缮，或系统失效将要出现重大故障。 2020,56(1):169-174. 综上，系统故障嫡的理论和实践都基于线性 [5]李永健，宋浩，刘吉华，等.基于改进多尺度排列嫡的列 嫡。系统故障熵和线性嫡可应用于类似情况下的 车轴箱轴承诊断方法研究[几.铁道学报，2020,42(1)： 众多领域故障及数据分析，也为系统故障智能预 33-39. 测提供了一种方法。 LI Yongjian,SONG Hao,LIU Jihua,et al.A study on
随时间的变化情况，其余 3 种解释相同。0XXX 曲线代表了温度 a0 状态下湿度、电压和磁场状态 叠加形成的系统故障熵随时间的变化情况，1XXX 解释相同。XXXX 曲线代表了温度、湿度、电压和 磁场状态叠加形成的系统故障熵随时间的变化情 况。用图 1 能说明如下问题： 1) 不同因素影响下系统故障熵的变化不同。 图 1 中曲线可成对分析，00XX 与 01XX、10XX 与 11XX、0XXX 与 1XXX。00XX 与 01XX 在图中距离 较大，说明湿度变化对温度不变的电压磁场状态 叠加时系统故障熵影响较大。10XX 与 11XX 在图中距离很小，说明湿度变化对温度不变的电 压磁场状态叠加时系统故障熵影响较小。 0XXX 与 1XXX 表明温度变化对其余 3 个因素状态 叠加时系统故障熵影响较大。同理，可横向对 比，00XX 与 10XX 表明温度变化对湿度不变电压 磁场状态叠加时系统故障熵影响较大。通过计算 两条曲线的距离平均值获得影响因素的影响程度 排序。该计算较为简单，这里不再详述。进一步 可通过这些影响的对比和排序有的放矢地采取措 施方式故障发生。 2) 系统故障熵的总体变化规律。图 1 中 7 条 曲线给出了所有情况下系统故障熵随时间的变化 规律。可见，无论何种情况，虽然局部可能递减， 但系统故障熵总体上都是递增的。根据熵的基本 含义，熵值增加说明系统变得更加混乱。考虑哲 学意义，该电气系统是人造系统，以完成预定功 能。对该系统而言，在系统制造完成时系统故障 熵为 0(如果可靠性是 100%)。自然对系统 (人造) 的影响是使系统失去功能，变得杂乱。不加维护 的长时间使用，系统可靠性逐渐降低为 0，这时系 统故障熵为 1。因此在不维护时使用系统必将导 致系统故障熵的持续升高。 3) 判断系统可靠性的稳定性。系统可靠性与 故障发生是互补关系。可靠性稳定证明在运行过 程中故障发生也是稳定的，反之亦然。图 1 表明 在这 7 种 4 个因素状态叠加时系统故障熵曲线都 是近似连续的，具有较小且稳定的斜率。这说 明，系统故障熵是稳定的，系统可靠性是稳定的， 没有跳跃式变化。如果在连续时间间隔上，系统 故障熵在某种条件下出现大幅变化，可能是由于 系统修缮，或系统失效将要出现重大故障。 综上，系统故障熵的理论和实践都基于线性 熵。系统故障熵和线性熵可应用于类似情况下的 众多领域故障及数据分析，也为系统故障智能预 测提供了一种方法。 5 结束语 1) 定义了系统故障熵。系统故障熵是基于系 统故障概率分布曲面得到的。可研究系统故障变 化的混乱程度和信息量。其变化可衡量不同因素 状态下的系统故障变化情况，得到系统故障变化 总体规律及系统可靠性的稳定性。 2) 定义了线性熵。与传统熵相比，线性熵满 足它的前 3 个条件。熵并非线性均匀度而是对数 均匀度，线性熵才是线性均匀度，即线性熵具有 的第 4 条件。给出了线性熵在不同因素数量时的 模型。认为线性熵可表征和计算系统故障熵。 3) 对系统故障熵进行了时变分析。通过实例 研究得到了不同时间和不同因素状态叠加时系 统故障熵及其变化规律。得到了考虑不同因素状 态叠加时系统故障熵的变化不同；系统故障熵总 体随时间增长而增长；可应用于判断系统故障稳 定性。 参考文献： 崔铁军, 马云东. 多维空间故障树构建及应用研究 [J]. 中国安全科学学报, 2013, 23(4): 32–37, 62. CUI Tiejun, MA Yundong. Research on multi-dimensional space fault tree construction and application[J]. China safety science journal, 2013, 23(4): 32–37, 62. [1] 刘炜, 李思文, 王竞, 等. 基于 EWT 能量熵的直流短路 故障辨识 [J]. 电力自动化设备, 2020, 40(2): 149–153. LIU Wei, LI Siwen, WANG Jing, et al. Identification of DC short circuit fault based on EWT energy entropy[J]. Electric power automation equipment, 2020, 40(2): 149–153. [2] 杨洪涛. 样本熵改进小波包阈值去噪的轴承故障诊断 [J]. 组合机床与自动化加工技术, 2020(1): 79–82, 88. YANG Hongtao. Bearing fault diagnosis based on wavelet packet threshold de-noise algorithm improved by sample entropy[J]. Modular machine tool & automatic manufacturing technique, 2020(1): 79–82, 88. [3] 刘渝根, 陈超, 杨蕊菁, 等. 基于小波相对熵的变电站直 流系统接地故障定位方法 [J]. 高压电器, 2020, 56(1): 169–174. LIU Yugen, CHEN Chao, YANG Ruijing, et al. Location method of ground fault in DC system of substation based on wavelet relative entropy[J]. High voltage apparatus, 2020, 56(1): 169–174. [4] 李永健, 宋浩, 刘吉华, 等. 基于改进多尺度排列熵的列 车轴箱轴承诊断方法研究 [J]. 铁道学报, 2020, 42(1): 33–39. LI Yongjian, SONG Hao, LIU Jihua, et al. A study on [5] ·1140· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷
第6期 崔铁军，等：线性熵的系统故障嫡模型及其时变研究 ·1141· fault diagnosis method for train axle box bearing based on [13]KUMAR A,GANDHI C P,ZHOU Yuqing,et al.Fault modified multiscale permutation entropy[J].Journal of diagnosis of rolling element bearing based on symmet- the China railway society,2020,42(1):33-39 ric cross entropy of neutrosophic sets[J].Measurement, [6]张龙，吴荣真，雷兵，等.基于多尺度嫡的滚动轴承故障 2020,152:107318. 可拓智能识别[J】.噪声与振动控制，2019,39(6)： [14]MINHAS A S.SINGH G.SINGH J.et al.A novel meth- 200-205. od to classify bearing faults by integrating standard devi- ZHANG Long,WU Rongzhen,LEI Bing,et al.Extens- ation to refined composite multi-scale fuzzy entropy[J]. ible intelligent identification for rolling bearing faults us- Measurement,.2020,154:107441. ing multiscale entropy[J].Noise and vibration control, [15]TRUONG M T N,KIM S.Automatic image threshold- 2019,39(6):200-205. ing using Otsu's method and entropy weighting scheme [7]张雅丽，刘永姜，张航，等.基于ITD信息嫡与PNN的 for surface defect detection[J].Soft computing,2018, 轴承故障诊断.煤矿机械，2019,40(12)：167-169. 22(13):4197-4203 ZHANG Yali,LIU Yongjiang,ZHANG Hang,et al. [16]MINHAS A S,SINGH S,MALHOTRA J,et al.Ma- Bearing fault diagnosis based on ITD information en- chine deterioration identification for multiple nature of tropy and PNN[J].Coal mine machinery,2019,40(12): faults based on autoregressive-approximate entropy ap- 167-169 proach[J].Life cycle reliability and safety engineering. [8]赵书涛，李云鹏，王二旭，等.基于电一振信号嫡权特征 2018,7(3):185-192 的断路器储能机构故障诊断方法).高压电器，2019， [17刀刘天寿，匡海波，刘家国，等.区间数嫡权TOPSIS的港 55(11):204-210 口安全管理成熟度评价[】.哈尔滨工程大学学报， ZHAO Shutao,LI Yunpeng,WANG Erxu,et al.Fault 2019,40(5):1024-1030. diagnosis method of circuit breaker energy storage mech- LIU Tianshou,KUANG Haibo,LIU Jiaguo,et al.Evalu- anism based on electro-vibration signal entropy weight ation on maturity of port safety management based on feature[J].High voltage apparatus,2019,55(11): interval entropy weight TOPSIS[J].Journal of Harbin 204-210. Engineering University,2019,40(5):1024-1030. [9]张国辉，冯俊栋，徐丙立，等.基于故障特征信息量的诊 [18]杜鑫，邱庆刚，丁雅倩，等.超临界水冷堆子通道中嫡 断策略优化仿真研究).计算机仿真，2019,36(11)： 产行为数值研究[.哈尔滨工程大学学报，2018， 317-321. 398):1290-1295. ZHANG Guohui,FENG Jundong,XU Bingli,et al.Re- DU Xin,QIU Qinggang,DING Yaqian,et al.Numeric- search on DMFT test method based on hybrid diagnostic al research on entropy generation in a sub-channel of model[J].Computer simulation,2019,36(11):317-321. SCWR[J].Journal of Harbin Engineering University, [10]戴邵武，陈强强，戴洪德，等.基于平滑先验分析和模 2018.398):1290-1295. 糊嫡的滚动轴承故障诊断几.航空动力学报，2019， [19列赵宏伟，王也然，刘萍萍，等.利用位置信息熵改进 3410:2218-2226. VLAD的图像检索方法[].哈尔滨工程大学学报 DAI Shaowu,CHEN Qiangqiang,DAI Hongde,et al. 2018,398):1376-1381 Rolling bearing fault diagnosis based on smoothness pri- ZHAO Hongwei,WANG Yeran,LIU Pingping,et al. ors approach and fuzzy entropy[J].Journal of aerospace Improved VLAD using location information entropy in power,.2019,3410):2218-2226. image retrieval[J].Journal of Harbin Engineering Uni- [11]王志，李有儒，田品，等.基于EMD模糊熵与会诊决策 versity,2018,39(8):1376-1381. 融合模型的中介轴承故障诊断技术.航空发动机， [20]崔铁军，马云东.基于多维空间事故树的维持系统可 2019,45(5):76-81 靠性方法研究[.系统科学与数学，2014,34(6)： WANG Zhi,LI Youru,TIAN Jing,et al.Fault diagnosis 682-692. technology of inter-shaft bearing based on EMD fuzzy CUI Tiejun,MA Yundong.Research on the mainten- entropy and consultative decision fusion model[J].Aer- ance method of system reliability based on multi-dimen- oengine,2019,45(5):76-81 sional space fault tree[J].Journal of systems science and [12]赵小强，张和慧.基于交叉嫡的改进NPE间歇过程故 mathematical sciences,2014,34(6):682-692 障检测算法).控制与决策，2021,36(2)：411-417. [21]崔铁军，马云东.基于SFT理论的系统可靠性评估方 ZHAO Xiaogiang,ZHANG Hehui.Improved NPE batch 法改造研究[J].模糊系统与数学，2015,29(5)： process fault detection algorithm based on cross 173-182 entropy[J].Control and decision,2021,36(2):411-417. CUI Tiejun,MA Yundong.Reliability assessment meth-
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·1142· 智能系统学报 第16卷 od based on space fault tree[J].Fuzzy systems and math- [28】崔铁军，李莎莎，朱宝艳.含有单向环的多向环网络结 ematics,.2015,295):173-182 构及其故障概率计算.中国安全科学学报，2018， [22]崔铁军，马云东.DSFT的建立及故障概率空间分布的 28(7):19-24 确定[J].系统工程理论与实践，2016,36(4)： CUI Tiejun,LI Shasha,ZHU Baoyan.Multidirectional 1081-1088. ring network structure with one-way ring and its fault CUI Tiejun,MA Yundong.Discrete space fault tree con- probability calculation[J.China safety science journal. struction and failure probability space distribution de- 2018.28(7:19-24. termination[J].Systems engineering-theory practice, [29]CUI Tiejun,LI Shasha.Research on complex structures 2016,36(4):1081-1088. in space fault network for fault data mining in system [23]崔铁军，马云东.DSFT中因素投影拟合法的不精确原 fault evolution process[J].IEEE access,2019,7:121881- 因分析「J1.系统工程理论与实践，2016,36(5) 121896. 1340-1345 [30] 崔铁军，李莎莎.安全科学中的故障信息转换定律) CUI Tiejun,MA Yundong.Inaccurate reason analysis of 智能系统学报，2020,15(2)：360-366. the factors projection fitting method in DSFT[J].Sys- CUI Tiejun,LI Shasha.Conversion law of fault informa- tems engineering-theory practice,2016,36(5): tion in safety science[J].CAAI transactions on intelli- 1340-1345. gent systems,2020,15(2):360-366. [24]崔铁军，汪培庄，马云东.01SFT中的系统因素结构反 [31]CUI Tiejun,LI Shasha.System movement space and 分析方法研究.系统工程理论与实践，2016,36(8)： system mapping theory for reliability of loT[J].Future 2152-2160. generation computer systems,2020,107:70-81 CUI Tiejun,WANG Peizhuang,MA Yundong.Inward [32]安敬民，李冠宇.基于最小信息嫡分类的不确定元数 analysis of system factor structure in 01 space fault 据本体构建[.计算机工程与设计，2018,39(9)： tree[J].Systems engineering-theory practice,2016, 2758-2763. 36(8):2152-2160 AN Jingmin,LI Guanyu.MIE-categorized uncertain [25]崔铁军，马云东.基于因素空间的煤矿安全情况区分 metadata ontology construction[J].Computer engineer- 方法的研究.系统工程理论与实践，2015,35(11)： ing and design,,2018,39(9y:2758-2763 2891-2897. [33]汪培庄.因素空间与人工智能.中国人工智能学会 CUI Tiejun,MA Yundong.Research on the classifica- 通讯，2020,10(1)：15-21 WANG Peizhuang.Factor space and artificial intelli- tion method about coal mine safety situation based on gence[J].Communication of China artificial intelligence the factor space[J].Systems engineering-theory prac- tice,2015,35(11:2891-2897. society,2020,10(1:15-21 [26]崔铁军，马云东.因素空间的属性圆定义及其在对象 作者简介： 分类中的应用.计算机工程与科学，2015,37(11) 崔铁军，副教授，博士，主要研究 2169-2174 方向为系统可靠性及力学系统稳定 CUI Tiejun,MA Yundong.Definition of attribute circle 性。提出和建立了空间故障树及空间 故障网络理论。主持国家自然科学基 in factor space and its application in object classification[J]. 金项目1项。获得多项优秀论文奖。 Computer engineering science,2015,37(11):2169- 获发明专利授权22项，出版学术专著 2174. 4部，发表学术论文100余篇。 [27刀崔铁军，汪培庄.空间故障树与因素空间融合的智能 可靠性分析方法[.智能系统学报，2019,14(5)： 李莎莎，讲师，博士，主要研究方 853-864 向为安全管理及其智能分析。参加了 因素空间和空间故障树理论的研究。 CUI Tiejun,WANG Peizhuang.Intelligent reliability 主持国家自然科学基金项目1项。获 analysis method based on space fault tree and factor 发明专利授权5项，出版学术专著 space[J].CAAI transactions on intelligent systems, 2部.发表学术论文20余篇。 2019,145):853-864
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