为变换矩阵。其中,A与A,确定的变换称为反射变换或镜像变换,A、确定的变 换称为相似变换(λ称为相似比),而A4确定的变换称为旋转变换,A3确定的变 换称为射影变换,它们都属于最简单的几何变换。 从这几个具体例子容易归纳出 (1)设x1和x2都是平面上的点,若对它们的线性组合a1x1+a2x2作上述 变换,可以先对x1和x2作上述变换后再线性组合,即 A(a1x1+a2x2)=a1(Ax1)+a2(Ax2)。 也就是说,由矩阵确定的变换都满足线性运算规则 (2)如需要先将x关于直线y=x作对称,再旋转角度O,则有 COS O「(0 cos0 -sin(01 sin 0 cos01 0 6八10 也就是说,由矩阵确定的变换可以复合,复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘 (3)有些变换可以通过相反的过程再变换回去,即变换是可逆的,有些则不 可逆。如上面由A—A4确定的变换都是可逆的,而A3确定的变换不可逆。而通 过观察发现,恰恰A-A4都是可逆矩阵,而A3是不可逆矩阵。因而可以设想, 若矩阵A不可逆,那么A确定的变换不可逆;若A可逆,那么A确定的变换可 逆,且确定逆变换的矩阵正是A。 显然,借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问,既然有一个矩 阵就决定了一个变换,那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示?进一步,这样 的变换有哪些更一般的性质?下面来回答这些问题 二.线性变换及其矩阵表示 定义5.2.1设U,V是K上的线性空间,K为R或C,A是U到V的映 射,即对于任意x∈U,存在唯一的像z∈V,使得A(x)=z。 若A满足线性性质,即对于任意x,y∈U及λ,μ∈K,成立 A(x+uy)=1A(x)+uA(y), 则称A为线性空间U到V上的一个线性变换 特别地,从线性空间U到其自身的线性变换称为U上的线性变换。 显然,例52.1中的五个变换都是R2上的线性变换 几个最简单的线性变换是 (1)线性空间U上的恒等变换(单位变换)Ⅰ:对于任意x∈U,I(x)=x (2)线性空间U到V上的零变换0:对于任意x∈U,0(x)=0。 例52.2证明求导运算D=是P的上的线性变换 证对与P中的任意元素p=p(x),p(x)是不超过n次的多项式,于是D(p) [p(x)是不超过n-1次的多项式,即D(p)∈P 对于任意p(x),q(x)∈Pn及λ,H∈R,由求导运算法则, D(pug)dx( p(x)+ug(r)为变换矩阵。其中， A1 与 A2 确定的变换称为反射变换或镜像变换， A3 确定的变 换称为相似变换（  称为相似比），而 A4 确定的变换称为旋转变换，A5 确定的变 换称为射影变换，它们都属于最简单的几何变换。 从这几个具体例子容易归纳出： （1）设 x1 和 2 x 都是平面上的点，若对它们的线性组合 1 x1   2 2 x 作上述 变换，可以先对 1 x 和 2 x 作上述变换后再线性组合，即 1 Ai ( x1   2 ) x2 =1 ( ) Ai x1   2 ( ) Ai x2 。 也就是说，由矩阵确定的变换都满足线性运算规则。 （2）如需要先将 x 关于直线 y = x 作对称，再旋转角度  ，则有 x               sin cos cos sin               x 1 0 0 1                  sin cos cos sin            1 0 0 1 x ， 也就是说，由矩阵确定的变换可以复合，复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘 积。 （3）有些变换可以通过相反的过程再变换回去，即变换是可逆的，有些则不 可逆。如上面由 A1— A4 确定的变换都是可逆的，而 A5 确定的变换不可逆。而通 过观察发现，恰恰 A1— A4 都是可逆矩阵，而 A5 是不可逆矩阵。因而可以设想， 若矩阵 A 不可逆，那么 A 确定的变换不可逆；若 A 可逆，那么 A 确定的变换可 逆，且确定逆变换的矩阵正是 1 A 。 显然，借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问，既然有一个矩 阵就决定了一个变换，那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示？进一步，这样 的变换有哪些更一般的性质？下面来回答这些问题。 二．线性变换及其矩阵表示 定义 5.2.1 设 U，V 是 K 上的线性空间，K 为 R 或 C ，A 是 U 到 V 的映 射，即对于任意 x  U，存在唯一的像 z  V，使得 A (x) = z。 若 A 满足线性性质，即对于任意 x，y  U 及  ，   K，成立 A (  x+  y ) =  A (x) +  A ( y )， 则称 A 为线性空间 U 到 V 上的一个线性变换。 特别地，从线性空间 U 到其自身的线性变换称为 U 上的线性变换。 显然，例 5.2.1 中的五个变换都是 2 R 上的线性变换。 几个最简单的线性变换是： （1）线性空间 U 上的恒等变换（单位变换）I：对于任意 x  U，I (x) = x。 （2）线性空间 U 到 V 上的零变换 0：对于任意 x  U，0(x) = 0。 例 5.2.2 证明求导运算 D = dx d 是 Pn 的上的线性变换。 证 对与 Pn 中的任意元素 p  p(x) ，p(x) 是不超过 n 次的多项式，于是 D(p) = dx d [ p(x) ]是不超过 n 1 次的多项式，即 D(p)  Pn 。 对于任意 p(x)，q(x)  Pn 及  ，   R，由求导运算法则， D(  p+  q) = dx d (  p(x)  q(x) )