2014-06-18 3.周期信号功率与离散频谱的关系 例3求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0-2η内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 帕塞瓦尔( Parseval功率守恒定理 (其中A=1,T=1/4,120) 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证 解:周期矩形脉冲的傅里叶级数为 “1cyp- Ec c.eve"vdr C 信号的平均功率为: 2丌2丌 x()2d 包含在有效带宽(-2m内的眢谐波平均功率为 P=∑CF 4.截断离散频谱的高频成分对κ()引入的失真 吉伯斯现象 (1)有限项截断后,傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 用有限次谐波分量来近似原信号,在(0的不连续点将出现过冲 过冲峰值不随N增加而减少,约为跳变值的9% E=j=j[xo-xox(o-xo=jmono-joxce 以方波为例:A=1,T=2,r=T/2=1 ∫xo∑c-d+∫∑Scc“= JIama dr-∑cjok"a =1(k2x12=2skr/ cn=12c2=0.n≠0.c2=5(2+/,cm1=C jlaoord-2cJ cos[(2n+1)rtI 当N∞E单调趋于0 =1+2∑--c0(2n+1x=3+2c(x-2oxm)+…2014-06-18 4        k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 物理意义： 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理 3. 周期信号功率与离散频谱的关系 59 19 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证： ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k   k                                                                                  = 2 = * / 2 / 2 ( ) = = * / 2 / 2 = = * / 2 / 2 = * = / 2 / 2 * = = / 2 / 2 * / 2 / 2 2 | | 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 | ( ) | 1 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k T T j k n t k k n n T T jk t jn t k k n n T T jn t n n jk t k k T T jk t k k jk t k k T T T T e dt C C C T C C e e dt T C e C e dt C C T C e C e dt T x t x t dt T x t dt T P        例3 求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 (其中A=1，T=1/4，=1/20) 59 20 解：周期矩形脉冲的傅里叶级数为：                   5 5 1 2 1 20 1 1/ 4 2 1/ 4 1 1/ 20 ( / 2) 0      k Sa k Sa k Sa T A Ck 包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为： 信号的平均功率为： 5 1 1/ 4 1 1/ 20 | ( ) | 1 2 / 2 / 2 2      A  T x t dt T P T T 5 1/ 20 2 2 1/ 4 0            T k T k k 59 21 0.1806 5 5 1 | | 5 = 5 2 5 = 5 2 1            k  k  k k P C Sa  90% 0.2000 0.1806 1    P P        8 1/ 4 2 2 [ / 5 ] , 25 1 | | 0 2 2     T C Sa k k 59 22 4. 截断离散频谱的高频成分对x(t)引入的失真 (1)有限项截断后，傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 均方误差                                 * * ( ) 2 * * * * 1 * 1 2 ( ) d d | ( )| d ( ) d | ( )| d [ ( ) ( )][ ( ) ( )]d ( ) ( )d ( ) d 0 0 0 0 T jk t N k N k T T N k N N n N j n k t k n T N k N jk t k T N k N jk t k T T T x t C e t C C e t x t t C x t e t E e t t x t x t x t x t t x t x t t x t C e t     59 23                                                             1 2 ( 1) 2 2 2 * * 2 * 2 2 * * * ( ) 2 | | | | | | | | | ( )| d | ( )| d | | ( ) d d | ( )| d ( ) d 0 0 0 k N k N k k N k N k k k N k N k T N k N k k T N k N k k k N k N k N k N T jk t k T T j n k t N k N N n N k n T jk t N k N k T C T C T C T C C C T C C T x t t C C T x t t T C C x t e t C C e t x t t C x t e t    当N，E单调趋于0 (2)吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在x(t)的不连续点将出现过冲 ，过冲峰值不随N增加而减少，约为跳变值的9% 以方波为例： A 1, T  2,   T / 2 1              i [(2 1) / 2] / 2 2 1 1/ 2 2 2 2 1 1 ( / 2) 0 Sa k Sa k Sa k T A Ck      59 24                                                           cos(3 ) 3 2 cos( ) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) ( 1) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) sin[(2 1) / 2] 2 2 1 [ ] 2 1 ( ) [ ] , (2 1) sin[(2 1) / 2] 1/ 2; 0, 0; 0 0 0 (2 1) (2 1) 2 1 0 (2 1) (2 1) (2 1) 0 2 1 0 2 2 1 2 1 (2 1) 0 n t t t n n t n n C e e x t C e C C e C e C C n n C C n C n n n n j n t j n t n n j n t n j n t n k jk t k n n n n                