2014-06-18 ·周期实信号:正交三角函数{ oska, sinka展开 Reel exponential triangular 以4代替k:x()=∑Ce 对实信号:x(1)=x()=x()=∑Ce 比较x()=∑Ce x()=∑ce=∑c2e"+Ca+∑Ce"y (k=0,±1,±2,±3,…) Cejka+C+ (k=12,3…) 2Cretv=2Ce+Co+2Ce Ca+∑(ce-+ce) 令:C=Cl|e 二、离散频谱 x(1)=Co+∑(Ceb+Ce) C=Jx0-dx0=∑cc,r/2 =C+∑(Clee+ ICiIeue) 例1计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 C+∑|C =C+∑2| CrIcos(kot+1) C是信号的直流分量 解 2C是信号第次谐波的振幅,是信号第A次谐波的相位 ·任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 712m-y 当0时 定义:抽样函数 Sa(ko,r/2) 59
2014-06-18 1 周期实信号:正交三角函数{cosk0t,sink0t}展开 exponential [ cos( ) sin( )] 2 0 1 0 0 a k t b k t a x t k k k 2 T triangular k jk t k x t C e 0 ( ) 59 1 / 2 / 2 ( ) d 1 0 T T jk t k x t e t T C x t t T a 0 0 ( )d 2 T k x t k t t T a 0 ( ) cos( 0 )d 2 ( ) ( ) k 1,2,3, k 0,1,2,3, T k x t k t t T b 0 0 ( )sin( )d 2 以-k代替k: * * ( ) 0 jk t t C C C C C k jk t k x t C e * 0 ( ) x(t) x* (t) 比较 k jk t k x t C e * * 0 ( ) jk t k k jk t k k x t C e x t C e 0 0 = * * = ( ) ( ) 对实信号: 周期实信号 59 2 ( ) or 0 k k k k k jk t x t Ck e C C C C 比较 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 1 0 1 0 1 * 1 0 1 * 1 0 1 jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k C C e C e C e C C e C e C C e x t C e C e C C e 令: ( ) ( ) 1 0 1 * 0 | |[ ] (| | | | ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 j k t j k t j jk t k k j jk t k k jk t k jk t k C C e e C C e e C e e x t C C e C e k k k k k j k k C C e | | 59 3 1 0 0 ( ) 1 ( ) 0 2 | | cos( ) | |[ ] 0 0 k k k j k j k C C k t C C e e k k C0是信号的直流分量 2|Ck|是信号第k次谐波的振幅,k是信号第k次谐波的相位 任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 二、 离散频谱 例1 计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 x t e t T C T jk t k ( ) d 1 0 ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k k 59 4 解: Ae dt T x t e dt T C jk t T T jk t k 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1 其中 T 2 0 当k=0时, T A Adt T Ae dt T C 2 2 2 2 0 0 1 1 当k0时, 1 1 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 e e T jk A e T jk A Ae dt T C jk jk jk t jk t k 59 5 / 2 2sin / 2 sin / 2 2 2 sin 1 0 0 0 0 0 0 k k T A k k T k A j T jk A 定义:抽样函数 x x Sa x sin ( ) Sa(x) 1 59 6 -4 -3 -2 - 0 2 3 4 x / 2 , 0 / 2 sin / 2 ; 0 0 0 0 Sa k k T A k k T A C T A C k 0 / 2 Sa k T A Ck
2014-06-18 周期方波信号的傅里叶级数展开式为 当k0时,C4= I-le v dr-te +Se vdr r∑S(o/2k 例2计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 C-2kx0+--+0+5的 2(kx)(2c0skx-2) 当k=0时 k为偶数 c-2-aa-(t+ ≈(kr(akx-kF奇数 -2(k)2k为奇数 CR=C 0k为非0偶数 振幅谱 周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为 周期信号的频谱图;信号各次谐波对应的C线状分布图 x()=∑ce"=}-∑ e/m-l, |tkT/2=1 周期矩形脉冲信号的频谙C (2m-1)z 周期信号x()可以分解为不同频率虛指数信号之和 )=∑C 相位谱为0 C是频率的函数,反映了组 各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律,称为频谱函数 相位谱的作用 两维傅里叶级数 幅频不变,器相位 幅频为常数,相位不变
2014-06-18 2 周期方波信号的傅里叶级数展开式为: 2 ( ) ( / 2) , | | t = 0 = 0 0 T Sa k e t T A x t C e jk k jk t k k 例2 计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 59 7 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 0 1 2 2 0 0 0 x t e dt te dt te dt T C jk t jk t T T jk t k 解: 当k=0时, 2 1 4 1 ( ) 2 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 C te dt te dt t t e jk e jk j k jk e e dt e e dt jk C jk t jk t jk jk t jk jk t k 1 0 0 1 1 0 0 1 ) 1 1 (2 sin 2 1 (0 0 ) 2 1 2 2 2 0 T 当k0时, ( ) 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 te e dt te e dt jk C jk t jk t jk t jk t k 59 8 - 为奇数 为偶数 k k k k k k k e e k jk e jk e jk jk jk jk jk jk jk 2 2 2 2 ( ) 2 0 (cos 1) ( ) 1 (2cos 2) 2( ) 1 ( 1 1) 2( ) 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1 周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为: , | | / 2 1 [(2 1) ] 2 2 1 ( ) (2 1) 2 0 e t T m x t C e jk t j m t k k 为非 偶数 为奇数 0 0 1/ 2 0 2 /( ) 2 k k k k Ck 59 9 2 [(2 1) ] k = m= m 周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 jk t k T k x t C e 0 = ( ) Ck是频率的函数,反映了组成信号各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律,称为频谱函数 周期信号的频谱图:信号各次谐波对应的Ck线状分布图 k j k k C C e 振幅谱 相位谱 周期矩形脉冲信号的频谱图 ( / 2) 0 Sa k T A Ck 59 10 相位谱为0 相位谱的作用 59 11 两维傅里叶级数 幅频不变,零相位 幅频为常数,相位不变 59 12
2014-06-18 周期信号频谱的三个特点:离散性、谐波性、收敛 频谱由不连续的线条组成,银一条线代表一 、离散频谱的基本性质 称为不连续 1.线性特性 中不可能存在壬何具有频率为基波频率非整数倍的分量 各条絨谱的高度(即名次谐波的幅值),随着谐波次数A的 则有a1x(0)+a2:x()→a·C+a2 增大而逐渐少的,直至零 信号周期T越大,a就越小,则谱线越密 C=la,x,(0)+a,x,(0Je-Aadr 信号周期T越小,φ就越大,则谱线越疏 a,3, ()e"kdt+a2==(0e"adr 信号时波形变化越平缓,高次谐波成分就越少,幅度频谱 衰减越快 信号时域被形跳变越多,高次谐波成分就越多,幅度频谱衰 对称特性 (1若(为实信号,则|cHC=-x 证:C1=x0-a,c.= 证:x(为实信号,则C=C (为实信号→x(r)=x() x(为偶信号→x(1)=x-0) Ca=tsrelwdragjr'ae vat-+ CHHL“四,一 Recs-e a4+ (2)若x(为实偶信号:x()=x(-0 a-t+JB=C_=Ck=a+JB=a,=abB=B-i a+j4=C4=C=a4-→a1=aB=-B Br=B-k →B=0→B4=0 sC是ka的实偶函数→振幅谱偶对称;相位谱为q C是ka的实偶函数 (3)若x(为实奇信号:x(=x(-0 ak=c-k=-a-k C是a的纯虚奇函数 →|CH服H-B4HjHC C是ka的纯虚奇函数→振幅谱偶对称:相位谱奇对称 if B>0, then,0 a4+jk=C=Ck=-a4-迅→a=-ak,B4=-Bk →Ck=几=Be2,C==-儿且Be a_+jB=C +=C=a-iB =a=atB2=-B-k 59
2014-06-18 3 周期信号频谱的三个特点:离散性、谐波性、收敛性 频谱由不连续的线条组成,每一条线代表一个谐波分量, 称为不连续频谱或离散频谱 每条线谱只出现在基波频率0的整数倍的频率上,频谱 中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量 各条线谱的高度(即各次谐波的幅值),随着谐波次数k的 增大而逐渐减少的,直至零 信号周期T 越大 ω 就越小 则谱线越密 59 13 信号周期T 越大,ω0就越小,则谱线越密 信号周期T 越小,ω0就越大,则谱线越疏 信号时域波形变化越平缓,高次谐波成分就越少,幅度频谱 衰减越快 信号时域波形跳变越多,高次谐波成分就越多,幅度频谱衰 减越慢 1. 线性特性 k C k x t C x t 1 1 2 2 若 ( ) , ( ) k C k a x t a x t a C a 1 1 2 2 1 1 2 2 则有 ( ) ( ) 三、 离散频谱的基本性质 证: jk t C a x t a x t e dt 0 [ ( ) ( )] 1 59 14 k k T jk t T jk t T k a C a C x t e dt T x t e dt a T a a x t a x t e dt T C 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( )] 2. 对称特性 (1)若x(t)为实信号,则 Ck Ck k k | | | |, k k k k k k k k C C C C C C C C C R Im arctan R Im arctan R Im | | | | | |, arctan * * * 证: ( ) ( ) * x t x t x t e t T x t e t C T C T jk t k T jk t k ( ) d 1 ( ) d , 1 0 0 * * * * ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 0 0 0 k T jk t T jk t T jk t k x t e t C T x t e t T x t e t T C x(t)为实信号 59 15 (2)若x(t)为实偶信号:x(t)=x(-t) Ck是k0的实偶函数 振幅谱偶对称;相位谱为0 k k k k k k k k ReC ReC ReC 证: x(t)为实信号,则 Ck Ck * x(t)为偶信号 x(t) x(t) k T T jk t T T jk t T T jk t T T jk t T T j k t k x t e t C T x t e t T x t e dt T x t e t T x t e t T C ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) ( ) 1 ( ) d 1 ( ) d 1 /2 /2 /2 /2 /2 / 2 /2 /2 ( ) /2 /2 ( ) 0 0 0 0 0 令: k k k C j 59 16 k k k k k k k k k C C 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j , , * k k k j Ck是k0的实偶函数 (3)若x(t)为实奇信号:x(t)=-x(-t) 是 的纯虚奇函数 振幅谱偶对称 相位谱奇对称 59 17 x(t) x(t) Ck Ck Ck是k0的纯虚奇函数振幅谱偶对称;相位谱奇对称 证:x(t)为实信号,则 x(t)为奇信号 Ck Ck * k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j , , * 类似 k k k k k k k k k C j j C 0 0 if 0,then 0 | | | | | | | | | | k k k k k k C k C j j j Ck是k0的纯虚奇函数 59 18 2 2 2 2 , | | | | if 0,then 0 , | | | | , j k k k k j k k k k k j k k k k j k k k k k C j e C j j e C j e C j j e
2014-06-18 3.周期信号功率与离散频谱的关系 例3求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0-2η内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 帕塞瓦尔( Parseval功率守恒定理 (其中A=1,T=1/4,120) 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证 解:周期矩形脉冲的傅里叶级数为 “1cyp- Ec c.eve"vdr C 信号的平均功率为: 2丌2丌 x()2d 包含在有效带宽(-2m内的眢谐波平均功率为 P=∑CF 4.截断离散频谱的高频成分对κ()引入的失真 吉伯斯现象 (1)有限项截断后,傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 用有限次谐波分量来近似原信号,在(0的不连续点将出现过冲 过冲峰值不随N增加而减少,约为跳变值的9% E=j=j[xo-xox(o-xo=jmono-joxce 以方波为例:A=1,T=2,r=T/2=1 ∫xo∑c-d+∫∑Scc“= JIama dr-∑cjok"a =1(k2x12=2skr/ cn=12c2=0.n≠0.c2=5(2+/,cm1=C jlaoord-2cJ cos[(2n+1)rtI 当N∞E单调趋于0 =1+2∑--c0(2n+1x=3+2c(x-2oxm)+…
2014-06-18 4 k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 物理意义: 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理 3. 周期信号功率与离散频谱的关系 59 19 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证: ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k k = 2 = * / 2 / 2 ( ) = = * / 2 / 2 = = * / 2 / 2 = * = / 2 / 2 * = = / 2 / 2 * / 2 / 2 2 | | 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 | ( ) | 1 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k T T j k n t k k n n T T jk t jn t k k n n T T jn t n n jk t k k T T jk t k k jk t k k T T T T e dt C C C T C C e e dt T C e C e dt C C T C e C e dt T x t x t dt T x t dt T P 例3 求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 (其中A=1,T=1/4,=1/20) 59 20 解:周期矩形脉冲的傅里叶级数为: 5 5 1 2 1 20 1 1/ 4 2 1/ 4 1 1/ 20 ( / 2) 0 k Sa k Sa k Sa T A Ck 包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为: 信号的平均功率为: 5 1 1/ 4 1 1/ 20 | ( ) | 1 2 / 2 / 2 2 A T x t dt T P T T 5 1/ 20 2 2 1/ 4 0 T k T k k 59 21 0.1806 5 5 1 | | 5 = 5 2 5 = 5 2 1 k k k k P C Sa 90% 0.2000 0.1806 1 P P 8 1/ 4 2 2 [ / 5 ] , 25 1 | | 0 2 2 T C Sa k k 59 22 4. 截断离散频谱的高频成分对x(t)引入的失真 (1)有限项截断后,傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 均方误差 * * ( ) 2 * * * * 1 * 1 2 ( ) d d | ( )| d ( ) d | ( )| d [ ( ) ( )][ ( ) ( )]d ( ) ( )d ( ) d 0 0 0 0 T jk t N k N k T T N k N N n N j n k t k n T N k N jk t k T N k N jk t k T T T x t C e t C C e t x t t C x t e t E e t t x t x t x t x t t x t x t t x t C e t 59 23 1 2 ( 1) 2 2 2 * * 2 * 2 2 * * * ( ) 2 | | | | | | | | | ( )| d | ( )| d | | ( ) d d | ( )| d ( ) d 0 0 0 k N k N k k N k N k k k N k N k T N k N k k T N k N k k k N k N k N k N T jk t k T T j n k t N k N N n N k n T jk t N k N k T C T C T C T C C C T C C T x t t C C T x t t T C C x t e t C C e t x t t C x t e t 当N,E单调趋于0 (2)吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号,在x(t)的不连续点将出现过冲 ,过冲峰值不随N增加而减少,约为跳变值的9% 以方波为例: A 1, T 2, T / 2 1 i [(2 1) / 2] / 2 2 1 1/ 2 2 2 2 1 1 ( / 2) 0 Sa k Sa k Sa k T A Ck 59 24 cos(3 ) 3 2 cos( ) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) ( 1) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) sin[(2 1) / 2] 2 2 1 [ ] 2 1 ( ) [ ] , (2 1) sin[(2 1) / 2] 1/ 2; 0, 0; 0 0 0 (2 1) (2 1) 2 1 0 (2 1) (2 1) (2 1) 0 2 1 0 2 2 1 2 1 (2 1) 0 n t t t n n t n n C e e x t C e C C e C e C C n n C C n C n n n n j n t j n t n n j n t n j n t n k jk t k n n n n
2014-06-18 §12能量信号的频谱分析 、傅里叶变换 Fourier transform) 1.从傳里叶级数到傅里叶变换 讨论周期η增加对离散频谱的影响 周期为T宽度为的周期矩形脉冲的 Fourier级数为 N=500 N=50 Ca-T Sa(not/2)=ICa=Ar Sa(noor/2) x() 周期η增大 TC变密 周期矩形脉冲信号的频谱 血nnnn A 傅里叶级数展开式为 x(1)=∑Cem,|rkT/2 典”9一: 傅里叶级数为: Ar sin(neg /2-Ar sa(neo/2), n=0,±1+2, 5
2014-06-18 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=5 N=15 59 25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=50 N=500 §1.2 能量信号的频谱分析 一、 傅里叶变换(Fourier transform) 1.从傅里叶级数到傅里叶变换 讨论周期 增加对离散频谱的影响 59 26 T增加对离散频谱的影响 周期为T 宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数为: Sa( / 2) Sa( / 2) 0 0 n TC A n T A Cn n x(t) T t … … 59 27 TCn 0 n0 … … 周期T增大 x(t) T t … … TC 变密 59 28 0 … … TCn变密 n0 TCn 2 2 0 2 ( ) T t A t x t 周期矩形脉冲信号的频谱 傅里叶级数展开式为 59 29 ( ) , | | / 2 0 x t C e t T n jn t n ( 2), 0, 1, 2, ( 2) sin( 2) 0 0 0 Sa n n T A n n T A Cn 傅里叶级数展开式为: 傅里叶级数为: 59 30
2014-06-18 当T →0 周期信号:C=x0mdco-=∑ccm,r2 信号x(从周期信号变成非周期信号 非周期信号: X(o)=lim TC, lim TLr r("dt= lim n r(De-dr X(o)= r(o)e"Jed T 2.傅里叶变换对 周期信 傅里叶正变换 e, ItsT/2 1△a2 x(e)=x(t)e 非周期僧号:x0)=1m1(r,=△n.(2 傅里叶反变换 /)= IX(o)edo lim TC,=X(o) 工xo-(0xO)y 两维 Fourier transform X()=F[x(),x()=F[Xx(o) 傅里叶反变换 Fourier transformed 物理意义:非周期信号可以分解为无数个频率为a复振幅 为X(a2do的复指数信号的线性组合 82 by 582 pixel 图像两维傅里叶变换 幅度的对数 称信号x(n)的傅里叶变换Y(ω为其连续频谱 个信号满足狄里赫利条件 里叶变换存在 狄里赫利条件 连续频谱 ·周期信号的频谱为离散频诣 (1)非周期信号在无限区间上绝对可积 C l(oldr 充分不必要条件 周期信号的频谱为C的分布,表示每个谐波分量的复振幅 (2)在任意有限区间内,信号只有有限个最大值 非周期信号的频谱为TC的分布,表示每单位带宽内所有 和最小值 要不充分条件 谐波分量合成的复振幅(即频谱密度函数) (3)在任意有限区间内,信号仅有有限个不连续点 X(o)=lim TC 两者关系 且这些点必须是有限值 c X(o) 必要不充分条件 T =me% ·连续频密度函数(简称连续频谱) 一个连续信号x(n)的傅里叶变换(是唯一的 59 (a)=m
2014-06-18 6 0 2 , 0 T T 当 0 1 0 n n , n n n n T 2 信号x(t)从周期信号变成非周期信号 令 59 31 周期信号: x t e t T C T jn t n ( ) d 1 0 ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jn t n n n n j t n n n x t TC e ( ) 2 1 ( ) lim0 x t X e d j t ( ) 2 1 ( ) 2 1 n T 非周期信号: limTC X () n T x t e dt x t e dt T X TC T T T j t T T jn t n n n n n / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim lim 0 X x t e dt j t () ( ) 周期信号: x t e t T C T jn t n ( ) d 1 0 ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jn t n n 非周期信号: 2 傅里叶变换对 59 32 X x t e dt jt () ( ) 傅里叶正变换: X f x t e dt j2 f t x t X e d j t 2 1 x t X f e d f j 2 f t 或 傅里叶反变换: 或 2.傅里叶变换对 两维Fourier transform 59 33 图像两维傅里叶变换 幅度的对数 582 by 582 pixels Fourier像 傅里叶反变换: 符号表示: ( ) F[ ( )], ( ) F [ ( )] 1 X x t x t X ( ) ( ) F 或 x t X x t X e d j t ( ) 2 1 ( ) 59 34 ( ) 2 ( ) 物理意义:非周期信号可以分解为无数个频率为、复振幅 为[X()/2]d 的复指数信号ejt 的线性组合 称信号x(t)的傅里叶变换X()为其连续频谱 一个信号满足狄里赫利条件,其傅里叶变换存在 狄里赫利条件 充分不必要条件 (1)非周期信号在无限区间上绝对可积 (2)在任意有限区间内,信号只有有限个最大值 和最小值 x(t) dt 必要不充分条件 59 35 (3)在任意有限区间内,信号仅有有限个不连续点, 且这些点必须是有限值 一个连续信号x(t)的傅里叶变换X()是唯一的 必要不充分条件 二、 连续频谱 周期信号的频谱为离散频谱 非周期信号的频谱为连续频谱 周期信号的频谱为Cn的分布,表示每个谐波分量的复振幅 非周期信号的频谱为TCn的分布,表示每单位带宽内所有 谐波分量合成的复振幅(即频谱密度函数) X () limTC 59 36 两者关系: n T X TC () lim 0 ( ) n n T X C 连续频谱密度函数(简称连续频谱): X x t e dt j t () ( )
2014-06-18 X(o)=X(o)leg=R(o)+jl(o) 由傅里叶正变换定义式,可得 相位密度谱 简称振幅谱 (e-el-ejer/)=-[-2jsin(@r/2) 例1计算图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 2Asin(or/2)- sin(er/2) x'(t ar12) 解 Iris/2 t卜r 可记作:x(r)=A 的矩形脉冲可记作 分析 时域抽样函数:主瓣帽度A、中心%、第一零点和中心距离 1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱,其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似 2.周期信号的离散频谱可通过对非周期信号的连续 频谱等间隔取样求得 3.信号在时域有限,则在频垣将无限延续 利用傅里叶反变换可证明:Ax|→Areq2z/ln 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间,工程中往往将此宽度作为有效带宽 5.脉冲宽度τ越窄,有限带宽越宽,高频分量越多 即信号信息量大、传输速度快,传送信号所占用 的频带越宽 4edo=1出 §13信号的基本概念 (e,-e)=-22jsin(a/t, ) 典型信号 s叫m/n)=Asma)= 1.正弦信号 ASa(zt/t) Tt/ x(=Asin(oot +P) 例2计算指数信号e(a>0的频谱函数 A:振幅a:角频率(弧度秒)φ:初始相位 解:由傅里叶正变换定义式,可得 d=e"·e"d+le·e"d 59
2014-06-18 7 ( ) | ( )| ( ) ( ) ( ) X X e R jI j 振幅密度谱 简称振幅谱 相位密度谱 简称相位谱 例1 计算图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 解: A, | t | / 2 59 37 0 | | / 2 | | ( ) t x t , , 0 ( ) t t x t Arect 解: 可记作: t x(t) Arect 类似,幅度A、中心t0、宽度 的矩形脉冲可记作: 由傅里叶正变换定义式,可得: ( / 2) / 2 2 sin( / 2) sin( / 2) ( ) [ 2 sin( / 2)] ( ) ( ) / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 A A Sa A j j A e e j A e j A X x t e dt A e dt j j j t j t j t 59 38 分析: 2. 周期信号的离散频谱可通过对非周期信号的连续 频谱等间隔取样求得 3 信号在时域有限 则在频域将无限延续 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱,其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似 59 39 3. 信号在时域有限,则在频域将无限延续 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间,工程中往往将此宽度作为有效带宽 5. 脉冲宽度越窄,有限带宽越宽,高频分量越多 即信号信息量大、传输速度快,传送信号所占用 的频带越宽 p t t x t ASa ( ) p t t t x t ASa ( ) ( ) 0 若t0=0: 时域抽样函数:主瓣幅度A、中心t0、第一零点和中心距离tp 利用傅里叶反变换可证明: p t At t t ASa 2 / rect F 59 40 p p t 2 / t 证: 例2 计算指数信号e-a|t| (a>0)的频谱函数 ( / ) / sin( / ) sin( / ) [2 sin( / )] 2 ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) / / / / / / p p p p p p p j t t j t t p t t p j t t t j t p j t ASa t t t t t t A t At t t j t t jt At e e jt At e jt At x t X e d At e d p p p p p p 59 41 例 计算指数信号e (a 0)的频谱函数 解:由傅里叶正变换定义式,可得: , ( ) 0 2 | ( )| 1 1 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 0 | | a a X a a a j a j e a j e a j X x t e dt e e dt e e dt e e dt a j t a j t j t a t j t at j t at j t §1.3 信号的基本概念 一、 典型信号 1.正弦信号 ( ) sin( ) x t A 0t A: 振幅 0:角频率(弧度/秒) :初始相位 59 42 t sin( ) 0t A A 0
2014-06-18 2.实指数信号 3.虚指数信号 ()=Ae x()=e lx(=Ae 虚指数信号是周期信号 x0+7=~m=e~~=e~=~=~=x0 其中周期为: 4.复指数信号 5.抽样信号 x(1)=Ae",s=a+ x(r)=Aee/v= Ae" coso f+ jAe". 抽样函数具有以下性质 sa()=1 Sa(kx)=0.k=土1+2 a>0 与Sa(0)函数类似的是sinc(函数,其定义为 sinc(o)= sin(m)/(m) 6.阶跃信号 作用 可表示任意的矩形脉冲信号 () <o=a( 4a(t-o0) 59
2014-06-18 8 t x t Ae ( ) 2.实指数信号 59 43 j t x t e 0 ( ) 虚指数信号是周期信号: 3.虚指数信号 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 2 ( ) x t kT e e e e e e e e x t j t j k j t kT T j j t kT j t j kT j t 59 44 0 2 T 其中周期为: ( ) 2 1 cos( ) j t j t t e e ( ) 2 1 sin( ) j t j t e e j t Euler公式: 0 x(t) Ae , s j st x t Ae e Ae t jAe t t j t t t 0 0 ( ) cos sin 0 4.复指数信号 59 45 1 Sa(t) Sa(t) sin t / t Sa(0) 1 Sa(k ) 0 k 1 2 抽样函数具有以下性质: 5.抽样信号 59 46 2 3 t Sa(k ) 0, k 1,2 Sa(t)dt - sinc(t) sin(t) /(t) 与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数,其定义为: ( ) 0 0 1 0 ( ) u t t t x t u(t) 1 定义: 6.阶跃信号 59 47 0 t 1 0 t u(t t0 ) t0 1 0 0 0 0 1 ( ) t t t t u t t 可表示任意的矩形脉冲信号 作用: 59 48 x(t)=u(t-T)-u(t-2T)
2014-06-18 可表示信号的时间范围 7.斜坡信号 定义 t≥0 t<0 sane l-M(I-I) 或r(t)=t·u(t) 06 dr(1) a() 8.冲激信号 3冲激信号的图形表示 1)冲激信号的引出 (1) 阶跃信号加在电容两端,流过电容的电流 说明 i(=Cdm()/d可用冲激信号表示 冲激信号可延时至任意时刻t,以符号)表示 2)冲激信号的定义 狄拉克定义式 6(-6)d=「(-)t=1 a)=0,1=0 d(t-to) 波形表示 冲激信号具有强度,强度就是冲激信号对时间的定积分值 h 冲激信号的作用 表示其他任意信号表示信号间断点的导数 4)冲激信号的极限模型 o(0=limf(=lim g(o)=lim ha(o) 3 59
2014-06-18 9 可表示信号的时间范围 sin ( ) ( ) 0 0 t t u t 0t t 0 sin ( ) 0 t u t t 0 59 49 sin ( ) ( ) 0 0 0 t t u t t sin ( ) 0 0 t u t t 0t t 0 0t t 0 0 0 0 ( ) t t t r t r(t) 1 定义: 7.斜坡信号 59 50 或 r(t) t u(t) t 1 ( ) ( ) u t dt dr t t r(t) u( ) d 与阶跃信号之间的关系: 阶跃信号加在电容两端,流过电容的电流 i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示 2)冲激信号的定义 1)冲激信号的引出 8.冲激信号 59 51 (t) dt =1 狄拉克定义式: (t)=0 , t0 2)冲激信号的定义 3) 冲激信号的图形表示 t (t) (1) 说明: 冲激信号可延时至任意时刻t0,以符号(t-t0)表示 定义式为: 0 0 (t t ) 0 t t 59 52 t (t t0 ) (1) t0 ( 0 ) ( 0 ) 1 0 0 t t dt t t dt t t 波形表示 物理意义:作用时间极短,作用值很大的物理现象的数学模型 冲激信号的作用: 冲激信号具有强度,强度就是冲激信号对时间的定积分值 图中用括号注明,以区分信号的幅值 表示其他任意信号 表示信号间断点的导数 59 53 4) 冲激信号的极限模型 ( ) lim ( ) 0 t x t t 2 1 f (t) t 1 g (t) t 2 h (t) 59 54 1/ ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 t f t g t h t
2014-06-18 5)冲激信号的性质 展编特性Ga)=16(0 筛选特性(0(0-4)=x(460-6) 证:任取一信号g(0,对于∫s(b x()s(-t0) 取样特性∫x0)(-6Mt=x() x()(-bad=」x()5(-)d=x(t0)b(t-l0)d=x(a) godt →6(an)=o() 6(am)=1a0 9.冲激偶信号 m-1→an=6-0 定义:d6(=6()冲激偶信号图形表示 推论:冲激信号是偶函数 与阶跃信号的关系 lim x( du(t) 6)其他定义形式 性质 ja(r r=o() 6()=-16()→8()=-6(-1 10
2014-06-18 10 5) 冲激信号的性质 筛选特性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x t t t x t t t 59 55 取样特性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 x t t t dt x t t t dt x t t t dt x t ( ) ( ) ( ) 0 0 x t t t dt x t 证: 展缩特性 ( ) 1 ( ) t a at 证:任取一信号g(t),对于 g(t) (at)dt 令x=at,若a>0,则有: x dx a x g a a dx x a x g t at dt g ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 若 0 则有 59 56 a g x dx a x g a g x ax dx (0) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) t a at a g g t t dt a dt a t g t (0) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 若a<0,则有: x dx a x g a a dx x a x g a dx x a x g t at dt g ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) t a at 推论:冲激信号是偶函数 a= 1 (t)=(t) 与阶跃信号的关系 1 t 0 t du(t) 59 57 ( ) 0 0 1 0 ( ) u t t t d ( ) ( ) t dt du t t e d t td j t cos 2 1 , ( ) 2 1 ( ) 6) 其他定义形式: (1) t '(t) 0 定义: ( ) 冲激偶信号图形表示 ( ) ' t dt d t 9.冲激偶信号 ( ) ( ) lim ( ) ' 0 t dt d t x t 1 (+1) 59 58 2 2 1 (t) ( ) / t 0 (+1) (+1) (+1) (-1) (-1) 性质: ( ) 0 ' t dt t ( )d (t) ' ( ) ( ) ' t t t ( ) ( ) / / t t 59 59 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ' ' x t t dt x ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ' ' ' x t t x t x t