复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_02 傅里叶级数

2014-06-18 ·周期实信号:正交三角函数{ oska, sinka展开 Reel exponential triangular 以4代替k:x()=∑Ce 对实信号:x(1)=x()=x()=∑Ce 比较x()=∑Ce x()=∑ce=∑c2e"+Ca+∑Ce"y (k=0,±1,±2,±3,…) Cejka+C+ (k=12,3…) 2Cretv=2Ce+Co+2Ce Ca+∑(ce-+ce) 令:C=Cl|e 二、离散频谱 x(1)=Co+∑(Ceb+Ce) C=Jx0-dx0=∑cc,r/2 =C+∑(Clee+ ICiIeue) 例1计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 C+∑|C =C+∑2| CrIcos(kot+1) C是信号的直流分量 解 2C是信号第次谐波的振幅,是信号第A次谐波的相位 ·任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 712m-y 当0时 定义:抽样函数 Sa(ko,r/2) 59

2014-06-18 1  周期实信号：正交三角函数{cosk0t,sink0t}展开 exponential   [ cos( ) sin( )] 2 0 1 0 0 a k t b k t a x t k k  k         2 T triangular     k jk t k x t C e 0 ( )  59 1    / 2 / 2 ( ) d 1 0 T T jk t k x t e t T C    x t t T a 0 0 ( )d 2   T k x t k t t T a 0 ( ) cos( 0 )d 2  ( ) ( ) k 1,2,3, k  0,1,2,3,   T k x t k t t T b 0 0 ( )sin( )d 2  以-k代替k： * * ( ) 0 jk t t C C C C C         k jk t k x t C e * 0 ( )  x(t)  x* (t)  比较      k jk t k x t C e * * 0 ( )  jk t k k jk t k k x t C e x t C e 0 0 = * * = ( ) ( )             对实信号：  周期实信号 59 2 ( ) or 0 k k k k k jk t x t  Ck e  C  C C  C   比较  ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 1 0 1 0 1 * 1 0 1 * 1 0 1 jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k C C e C e C e C C e C e C C e x t C e C e C C e                                                   令：                       ( ) ( ) 1 0 1 * 0 | |[ ] (| | | | ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 j k t j k t j jk t k k j jk t k k jk t k jk t k C C e e C C e e C e e x t C C e C e k k k k           k j k k C C e  | | 59 3            1 0 0 ( ) 1 ( ) 0 2 | | cos( ) | |[ ] 0 0 k k k j k j k C C k t C C e e k k   C0是信号的直流分量 2|Ck|是信号第k次谐波的振幅，k是信号第k次谐波的相位  任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 二、 离散频谱 例1 计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 x t e t T C T jk t k ( ) d 1 0     ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k   k     59 4 解： Ae dt T x t e dt T C jk t T T jk t k        2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1     其中 T   2 0  当k=0时， T A Adt T Ae dt T C             2 2 2 2 0 0 1 1 当k0时， 1 1 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0             e e T jk A e T jk A Ae dt T C jk jk jk t jk t k                     59 5     / 2 2sin / 2 sin / 2 2 2 sin 1 0 0 0 0 0 0            k k T A k k T k A j T jk A                  定义：抽样函数 x x Sa x sin ( )  Sa(x) 1 59 6 -4 -3 -2 - 0  2 3 4 x     / 2 , 0 / 2 sin / 2 ; 0 0 0 0    Sa k k  T A k k T A C T A C k            0  / 2  Sa k T A  Ck 

2014-06-18 周期方波信号的傅里叶级数展开式为 当k0时,C4= I-le v dr-te +Se vdr r∑S(o/2k 例2计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 C-2kx0+--+0+5的 2(kx)(2c0skx-2) 当k=0时 k为偶数 c-2-aa-(t+ ≈(kr(akx-kF奇数 -2(k)2k为奇数 CR=C 0k为非0偶数 振幅谱 周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为 周期信号的频谱图;信号各次谐波对应的C线状分布图 x()=∑ce"=}-∑ e/m-l, |tkT/2=1 周期矩形脉冲信号的频谙C (2m-1)z 周期信号x()可以分解为不同频率虛指数信号之和 )=∑C 相位谱为0 C是频率的函数,反映了组 各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律,称为频谱函数 相位谱的作用 两维傅里叶级数 幅频不变,器相位 幅频为常数,相位不变

2014-06-18 2 周期方波信号的傅里叶级数展开式为： 2 ( ) ( / 2) , | | t = 0 = 0 0 T Sa k e t T A x t C e jk k jk t k   k             例2 计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 59 7 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 0 1 2 2 0 0 0 x t e dt te dt te dt T C jk t jk t T T jk t k                解： 当k=0时， 2 1 4 1 ( ) 2 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0                 C te dt te dt t t                      e jk e jk j k jk e e dt e e dt jk C jk t jk t jk jk t jk jk t k 1 0 0 1 1 0 0 1 ) 1 1 (2 sin 2 1 (0 0 ) 2 1                   2 2 2 0 T  当k0时， ( ) 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 te e dt te e dt jk C jk t jk t jk t jk t k                  59 8                          － 为奇数 为偶数 k k k k k k k e e k jk e jk e jk jk jk jk jk jk jk 2 2 2 2 ( ) 2 0 (cos 1) ( ) 1 (2cos 2) 2( ) 1 ( 1 1) 2( ) 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1                周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为： , | | / 2 1 [(2 1) ] 2 2 1 ( ) (2 1) 2 0              e t T m x t C e jk t j m t k k             为非 偶数 为奇数 0 0 1/ 2 0 2 /( ) 2 k k k k Ck  59 9 2 [(2 1) ] k = m= m   周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 jk t k T k x t C e 0 = ( )      Ck是频率的函数，反映了组成信号各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律，称为频谱函数  周期信号的频谱图：信号各次谐波对应的Ck线状分布图 k j k k C C e   振幅谱 相位谱  周期矩形脉冲信号的频谱图 ( / 2) 0    Sa k T A Ck  59 10 相位谱为0  相位谱的作用 59 11 两维傅里叶级数 幅频不变，零相位 幅频为常数，相位不变 59 12

2014-06-18 周期信号频谱的三个特点:离散性、谐波性、收敛 频谱由不连续的线条组成,银一条线代表一 、离散频谱的基本性质 称为不连续 1.线性特性 中不可能存在壬何具有频率为基波频率非整数倍的分量 各条絨谱的高度(即名次谐波的幅值),随着谐波次数A的 则有a1x(0)+a2:x()→a·C+a2 增大而逐渐少的,直至零 信号周期T越大,a就越小,则谱线越密 C=la,x,(0)+a,x,(0Je-Aadr 信号周期T越小,φ就越大,则谱线越疏 a,3, ()e"kdt+a2==(0e"adr 信号时波形变化越平缓,高次谐波成分就越少,幅度频谱 衰减越快 信号时域被形跳变越多,高次谐波成分就越多,幅度频谱衰 对称特性 (1若(为实信号,则|cHC=-x 证:C1=x0-a,c.= 证:x(为实信号,则C=C (为实信号→x(r)=x() x(为偶信号→x(1)=x-0) Ca=tsrelwdragjr'ae vat-+ CHHL“四,一 Recs-e a4+ (2)若x(为实偶信号:x()=x(-0 a-t+JB=C_=Ck=a+JB=a,=abB=B-i a+j4=C4=C=a4-→a1=aB=-B Br=B-k →B=0→B4=0 sC是ka的实偶函数→振幅谱偶对称;相位谱为q C是ka的实偶函数 (3)若x(为实奇信号:x(=x(-0 ak=c-k=-a-k C是a的纯虚奇函数 →|CH服H-B4HjHC C是ka的纯虚奇函数→振幅谱偶对称:相位谱奇对称 if B>0, then,0 a4+jk=C=Ck=-a4-迅→a=-ak,B4=-Bk →Ck=几=Be2,C==-儿且Be a_+jB=C +=C=a-iB =a=atB2=-B-k 59

2014-06-18 3  周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性  频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个谐波分量， 称为不连续频谱或离散频谱  每条线谱只出现在基波频率0的整数倍的频率上，频谱 中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量  各条线谱的高度(即各次谐波的幅值)，随着谐波次数k的 增大而逐渐减少的，直至零 信号周期T 越大 ω 就越小 则谱线越密 59 13 信号周期T 越大，ω0就越小，则谱线越密 信号周期T 越小，ω0就越大，则谱线越疏 信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱 衰减越快 信号时域波形跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰 减越慢 1. 线性特性 k C k x t C x t 1 1 2 2 若 ( ) , ( ) k C k a x t a x t a C a 1 1 2 2 1 1 2 2 则有  ( )  ( )    三、 离散频谱的基本性质 证： jk t C a x t a x t e dt 0 [ ( ) ( )] 1        59 14 k k T jk t T jk t T k a C a C x t e dt T x t e dt a T a a x t a x t e dt T C 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( )]                  2. 对称特性 (1)若x(t)为实信号，则 Ck  Ck  k   k | | | |, k k k k k k k k C C C C C C C C C              R Im arctan R Im arctan R Im | | | | | |, arctan * * * 证： ( ) ( ) * x t  x t x t e t T x t e t C T C T jk t k T jk t k ( ) d 1 ( ) d , 1 0 0         * * * * ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 0 0 0 k T jk t T jk t T jk t k x t e t C T x t e t T x t e t T C                          x(t)为实信号  59 15 (2)若x(t)为实偶信号：x(t)=x(-t) Ck是k0的实偶函数  振幅谱偶对称；相位谱为0 k k k k k k k k ReC ReC ReC 证： x(t)为实信号，则 Ck  Ck * x(t)为偶信号  x(t)  x(t) k T T jk t T T jk t T T jk t T T jk t T T j k t k x t e t C T x t e t T x t e dt T x t e t T x t e t T C                                     ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) ( ) 1 ( ) d 1 ( ) d 1 /2 /2 /2 /2 /2 / 2 /2 /2 ( ) /2 /2 ( ) 0 0 0 0 0      令： k k k C    j 59 16 k k k k k k k k k C  C                     0  0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j                                            , , * k k k j Ck是k0的实偶函数 (3)若x(t)为实奇信号：x(t)=-x(-t) 是 的纯虚奇函数 振幅谱偶对称 相位谱奇对称 59 17 x(t)  x(t) Ck  Ck Ck是k0的纯虚奇函数振幅谱偶对称；相位谱奇对称 证：x(t)为实信号，则 x(t)为奇信号  Ck  Ck * k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j                                                , , * 类似  k k k k k k k k k C j j  C                       0  0 if 0,then 0 | | | | | | | | | |      k k k k k k C k C j j j            Ck是k0的纯虚奇函数 59 18 2 2 2 2 , | | | | if 0,then 0 , | | | | ,                   j k k k k j k k k k k j k k k k j k k k k k C j e C j j e C j e C j j e                           

2014-06-18 3.周期信号功率与离散频谱的关系 例3求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0-2η内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 帕塞瓦尔( Parseval功率守恒定理 (其中A=1,T=1/4,120) 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证 解:周期矩形脉冲的傅里叶级数为 “1cyp- Ec c.eve"vdr C 信号的平均功率为: 2丌2丌 x()2d 包含在有效带宽(-2m内的眢谐波平均功率为 P=∑CF 4.截断离散频谱的高频成分对κ()引入的失真 吉伯斯现象 (1)有限项截断后,傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 用有限次谐波分量来近似原信号,在(0的不连续点将出现过冲 过冲峰值不随N增加而减少,约为跳变值的9% E=j=j[xo-xox(o-xo=jmono-joxce 以方波为例:A=1,T=2,r=T/2=1 ∫xo∑c-d+∫∑Scc“= JIama dr-∑cjok"a =1(k2x12=2skr/ cn=12c2=0.n≠0.c2=5(2+/,cm1=C jlaoord-2cJ cos[(2n+1)rtI 当N∞E单调趋于0 =1+2∑--c0(2n+1x=3+2c(x-2oxm)+…

2014-06-18 4        k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 物理意义： 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理 3. 周期信号功率与离散频谱的关系 59 19 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证： ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k   k                                                                                  = 2 = * / 2 / 2 ( ) = = * / 2 / 2 = = * / 2 / 2 = * = / 2 / 2 * = = / 2 / 2 * / 2 / 2 2 | | 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 | ( ) | 1 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k T T j k n t k k n n T T jk t jn t k k n n T T jn t n n jk t k k T T jk t k k jk t k k T T T T e dt C C C T C C e e dt T C e C e dt C C T C e C e dt T x t x t dt T x t dt T P        例3 求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 (其中A=1，T=1/4，=1/20) 59 20 解：周期矩形脉冲的傅里叶级数为：                   5 5 1 2 1 20 1 1/ 4 2 1/ 4 1 1/ 20 ( / 2) 0      k Sa k Sa k Sa T A Ck 包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为： 信号的平均功率为： 5 1 1/ 4 1 1/ 20 | ( ) | 1 2 / 2 / 2 2      A  T x t dt T P T T 5 1/ 20 2 2 1/ 4 0            T k T k k 59 21 0.1806 5 5 1 | | 5 = 5 2 5 = 5 2 1            k  k  k k P C Sa  90% 0.2000 0.1806 1    P P        8 1/ 4 2 2 [ / 5 ] , 25 1 | | 0 2 2     T C Sa k k 59 22 4. 截断离散频谱的高频成分对x(t)引入的失真 (1)有限项截断后，傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 均方误差                                 * * ( ) 2 * * * * 1 * 1 2 ( ) d d | ( )| d ( ) d | ( )| d [ ( ) ( )][ ( ) ( )]d ( ) ( )d ( ) d 0 0 0 0 T jk t N k N k T T N k N N n N j n k t k n T N k N jk t k T N k N jk t k T T T x t C e t C C e t x t t C x t e t E e t t x t x t x t x t t x t x t t x t C e t     59 23                                                             1 2 ( 1) 2 2 2 * * 2 * 2 2 * * * ( ) 2 | | | | | | | | | ( )| d | ( )| d | | ( ) d d | ( )| d ( ) d 0 0 0 k N k N k k N k N k k k N k N k T N k N k k T N k N k k k N k N k N k N T jk t k T T j n k t N k N N n N k n T jk t N k N k T C T C T C T C C C T C C T x t t C C T x t t T C C x t e t C C e t x t t C x t e t    当N，E单调趋于0 (2)吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在x(t)的不连续点将出现过冲 ，过冲峰值不随N增加而减少，约为跳变值的9% 以方波为例： A 1, T  2,   T / 2 1              i [(2 1) / 2] / 2 2 1 1/ 2 2 2 2 1 1 ( / 2) 0 Sa k Sa k Sa k T A Ck      59 24                                                           cos(3 ) 3 2 cos( ) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) ( 1) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) sin[(2 1) / 2] 2 2 1 [ ] 2 1 ( ) [ ] , (2 1) sin[(2 1) / 2] 1/ 2; 0, 0; 0 0 0 (2 1) (2 1) 2 1 0 (2 1) (2 1) (2 1) 0 2 1 0 2 2 1 2 1 (2 1) 0 n t t t n n t n n C e e x t C e C C e C e C C n n C C n C n n n n j n t j n t n n j n t n j n t n k jk t k n n n n                

2014-06-18 §12能量信号的频谱分析 、傅里叶变换 Fourier transform) 1.从傳里叶级数到傅里叶变换 讨论周期η增加对离散频谱的影响 周期为T宽度为的周期矩形脉冲的 Fourier级数为 N=500 N=50 Ca-T Sa(not/2)=ICa=Ar Sa(noor/2) x() 周期η增大 TC变密 周期矩形脉冲信号的频谱 血nnnn A 傅里叶级数展开式为 x(1)=∑Cem,|rkT/2 典”9一: 傅里叶级数为: Ar sin(neg /2-Ar sa(neo/2), n=0,±1+2, 5

2014-06-18 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=5 N=15 59 25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=50 N=500 §1.2 能量信号的频谱分析 一、 傅里叶变换(Fourier transform) 1．从傅里叶级数到傅里叶变换 讨论周期 增加对离散频谱的影响 59 26  T增加对离散频谱的影响 周期为T 宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数为： Sa( / 2) Sa( / 2) 0 0       n TC A n T A Cn   n  x(t) T t … … 59 27 TCn 0 n0 … … 周期T增大 x(t) T t … … TC 变密 59 28 0 … … TCn变密 n0 TCn            2 2 0 2 ( ) T t A t x t    周期矩形脉冲信号的频谱 傅里叶级数展开式为 59 29 ( ) , | | / 2 0 x t C e t T n jn t   n     ( 2), 0, 1, 2, ( 2) sin( 2) 0 0 0   Sa n n    T A n n T A Cn         傅里叶级数展开式为： 傅里叶级数为： 59 30

2014-06-18 当T →0 周期信号:C=x0mdco-=∑ccm,r2 信号x(从周期信号变成非周期信号 非周期信号: X(o)=lim TC, lim TLr r("dt= lim n r(De-dr X(o)= r(o)e"Jed T 2.傅里叶变换对 周期信 傅里叶正变换 e, ItsT/2 1△a2 x(e)=x(t)e 非周期僧号:x0)=1m1(r,=△n.(2 傅里叶反变换 /)= IX(o)edo lim TC,=X(o) 工xo-(0xO)y 两维 Fourier transform X()=F[x(),x()=F[Xx(o) 傅里叶反变换 Fourier transformed 物理意义:非周期信号可以分解为无数个频率为a复振幅 为X(a2do的复指数信号的线性组合 82 by 582 pixel 图像两维傅里叶变换 幅度的对数 称信号x(n)的傅里叶变换Y(ω为其连续频谱 个信号满足狄里赫利条件 里叶变换存在 狄里赫利条件 连续频谱 ·周期信号的频谱为离散频诣 (1)非周期信号在无限区间上绝对可积 C l(oldr 充分不必要条件 周期信号的频谱为C的分布,表示每个谐波分量的复振幅 (2)在任意有限区间内,信号只有有限个最大值 非周期信号的频谱为TC的分布,表示每单位带宽内所有 和最小值 要不充分条件 谐波分量合成的复振幅(即频谱密度函数) (3)在任意有限区间内,信号仅有有限个不连续点 X(o)=lim TC 两者关系 且这些点必须是有限值 c X(o) 必要不充分条件 T =me% ·连续频密度函数(简称连续频谱) 一个连续信号x(n)的傅里叶变换(是唯一的 59 (a)=m

2014-06-18 6 0 2 ,   0   T T  当  0 1 0 n  n ,  n n n  n T      2 信号x(t)从周期信号变成非周期信号 令 59 31 周期信号： x t e t T C T jn t n ( ) d 1 0     ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jn t n   n            n n j t n n n x t TC e     ( ) 2 1 ( ) lim0         x t X e d j t ( ) 2 1 ( )   2 1 n T   非周期信号： limTC X () n T   x t e dt x t e dt T X TC T T T j t T T jn t n n n n n                / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim lim 0           X  x t e dt j t () ( ) 周期信号： x t e t T C T jn t n ( ) d 1 0     ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jn t n   n     非周期信号： 2 傅里叶变换对 59 32     X  x t e dt jt () ( ) 傅里叶正变换： X    f x t e dt  j2 f t            x t X e d j t     2 1 x   t X f e d f j 2 f t      或 傅里叶反变换： 或 2．傅里叶变换对 两维Fourier transform 59 33 图像两维傅里叶变换 幅度的对数 582 by 582 pixels Fourier像  傅里叶反变换：  符号表示： ( ) F[ ( )], ( ) F [ ( )] 1 X  x t x t X     ( ) ( ) F 或 x t  X        x t X e d j t ( ) 2 1 ( ) 59 34   ( ) 2 ( ) 物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为、复振幅 为[X()/2]d 的复指数信号ejt 的线性组合  称信号x(t)的傅里叶变换X()为其连续频谱  一个信号满足狄里赫利条件，其傅里叶变换存在 狄里赫利条件 充分不必要条件 （1）非周期信号在无限区间上绝对可积 （2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值      x(t) dt 必要不充分条件 59 35 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值 一个连续信号x(t)的傅里叶变换X()是唯一的 必要不充分条件 二、 连续频谱  周期信号的频谱为离散频谱 非周期信号的频谱为连续频谱  周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅 非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有 谐波分量合成的复振幅(即频谱密度函数) X () limTC 59 36 两者关系： n T X TC  ()  lim 0 ( )    n n T X C    连续频谱密度函数(简称连续频谱)：     X  x t e dt j t () ( )

2014-06-18 X(o)=X(o)leg=R(o)+jl(o) 由傅里叶正变换定义式,可得 相位密度谱 简称振幅谱 (e-el-ejer/)=-[-2jsin(@r/2) 例1计算图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 2Asin(or/2)- sin(er/2) x'(t ar12) 解 Iris/2 t卜r 可记作:x(r)=A 的矩形脉冲可记作 分析 时域抽样函数:主瓣帽度A、中心%、第一零点和中心距离 1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱,其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似 2.周期信号的离散频谱可通过对非周期信号的连续 频谱等间隔取样求得 3.信号在时域有限,则在频垣将无限延续 利用傅里叶反变换可证明:Ax|→Areq2z/ln 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间,工程中往往将此宽度作为有效带宽 5.脉冲宽度τ越窄,有限带宽越宽,高频分量越多 即信号信息量大、传输速度快,传送信号所占用 的频带越宽 4edo=1出 §13信号的基本概念 (e,-e)=-22jsin(a/t, ) 典型信号 s叫m/n)=Asma)= 1.正弦信号 ASa(zt/t) Tt/ x(=Asin(oot +P) 例2计算指数信号e(a>0的频谱函数 A:振幅a:角频率(弧度秒)φ:初始相位 解:由傅里叶正变换定义式,可得 d=e"·e"d+le·e"d 59

2014-06-18 7 ( ) | ( )| ( ) ( ) ( )       X X e R jI j    振幅密度谱 简称振幅谱 相位密度谱 简称相位谱 例1 计算图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数  解： A， | t | / 2 59 37      0 | | / 2 | | ( ) t  x t ， ，          0 ( ) t t x t Arect 解： 可记作：         t x(t) Arect 类似，幅度A、中心t0、宽度 的矩形脉冲可记作： 由傅里叶正变换定义式，可得： ( / 2) / 2 2 sin( / 2) sin( / 2) ( ) [ 2 sin( / 2)] ( ) ( ) / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2                      A A Sa A j j A e e j A e j A X x t e dt A e dt j j j t j t j t                          59 38 分析： 2. 周期信号的离散频谱可通过对非周期信号的连续 频谱等间隔取样求得 3 信号在时域有限 则在频域将无限延续 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似 59 39 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽 5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽          p t t x t ASa  ( )           p t t t x t ASa ( ) ( )  0 若t0=0：  时域抽样函数：主瓣幅度A、中心t0、第一零点和中心距离tp  利用傅里叶反变换可证明：                  p t At t t ASa 2 / rect F    59 40         p p t 2 / t 证： 例2 计算指数信号e-a|t| (a>0)的频谱函数 ( / ) / sin( / ) sin( / ) [2 sin( / )] 2 ( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) / / / / / / p p p p p p p j t t j t t p t t p j t t t j t p j t ASa t t t t t t A t At t t j t t jt At e e jt At e jt At x t X e d At e d p p p p p p                                        59 41 例 计算指数信号e (a 0)的频谱函数 解：由傅里叶正变换定义式，可得： , ( ) 0 2 | ( )| 1 1 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 0 | |                                                            a a X a a a j a j e a j e a j X x t e dt e e dt e e dt e e dt a j t a j t j t a t j t at j t at j t §1.3 信号的基本概念 一、 典型信号 1．正弦信号 ( ) sin( ) x t  A 0t  A: 振幅 0:角频率(弧度/秒) :初始相位 59 42 t sin( ) 0t  A A 0 

2014-06-18 2.实指数信号 3.虚指数信号 ()=Ae x()=e lx(=Ae 虚指数信号是周期信号 x0+7=~m=e~~=e~=~=~=x0 其中周期为: 4.复指数信号 5.抽样信号 x(1)=Ae",s=a+ x(r)=Aee/v= Ae" coso f+ jAe". 抽样函数具有以下性质 sa()=1 Sa(kx)=0.k=土1+2 a>0 与Sa(0)函数类似的是sinc(函数,其定义为 sinc(o)= sin(m)/(m) 6.阶跃信号 作用 可表示任意的矩形脉冲信号 () <o=a( 4a(t-o0) 59

2014-06-18 8 t x t Ae ( )  2．实指数信号 59 43 j t x t e 0 ( )   虚指数信号是周期信号： 3．虚指数信号 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 2 ( ) x t kT e e e e e e e e x t j t j k j t kT T j j t kT j t j kT j t                 59 44 0 2   T  其中周期为： ( ) 2 1 cos( ) j t j t t e e       ( ) 2 1 sin( ) j t j t e e j t       Euler公式： 0 x(t) Ae , s  j st    x t Ae e Ae t jAe t t j t t t 0 0 ( ) cos sin 0          4．复指数信号 59 45 1 Sa(t) Sa(t)  sin t / t Sa(0)  1 Sa(k )  0 k  1 2  抽样函数具有以下性质： 5．抽样信号 59 46   2 3 t Sa(k )  0, k  1,2       Sa(t)dt - sinc(t)  sin(t) /(t)  与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为： ( ) 0 0 1 0 ( ) u t t t x t        u(t) 1  定义: 6．阶跃信号 59 47 0 t 1 0 t u(t  t0 ) t0 1        0 0 0 0 1 ( ) t t t t u t t 可表示任意的矩形脉冲信号  作用: 59 48 x(t)=u(t-T)-u(t-2T)

2014-06-18 可表示信号的时间范围 7.斜坡信号 定义 t≥0 t<0 sane l-M(I-I) 或r(t)=t·u(t) 06 dr(1) a() 8.冲激信号 3冲激信号的图形表示 1)冲激信号的引出 (1) 阶跃信号加在电容两端,流过电容的电流 说明 i(=Cdm()/d可用冲激信号表示 冲激信号可延时至任意时刻t,以符号)表示 2)冲激信号的定义 狄拉克定义式 6(-6)d=「(-)t=1 a)=0,1=0 d(t-to) 波形表示 冲激信号具有强度,强度就是冲激信号对时间的定积分值 h 冲激信号的作用 表示其他任意信号表示信号间断点的导数 4)冲激信号的极限模型 o(0=limf(=lim g(o)=lim ha(o) 3 59

2014-06-18 9 可表示信号的时间范围 sin ( ) ( ) 0 0  t  t u t 0t t 0 sin ( ) 0  t u t t 0 59 49 sin ( ) ( ) 0 0 0  t  t u t  t sin ( ) 0 0  t u t  t 0t t 0 0t t 0       0 0 0 ( ) t t t r t r(t) 1  定义： 7．斜坡信号 59 50 或 r(t)  t u(t) t 1 ( ) ( ) u t dt dr t     t r(t) u( ) d  与阶跃信号之间的关系： 阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示 2)冲激信号的定义 1)冲激信号的引出 8．冲激信号 59 51     (t) dt =1 狄拉克定义式： (t)=0 , t0 2)冲激信号的定义 3) 冲激信号的图形表示 t  (t) (1)  说明：  冲激信号可延时至任意时刻t0，以符号(t-t0)表示 定义式为： 0 0  (t t )  0 t  t 59 52 t  (t  t0 ) (1) t0 ( 0 ) ( 0 ) 1 0 0           t t dt t t dt t t   波形表示  物理意义：作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型  冲激信号的作用：  冲激信号具有强度，强度就是冲激信号对时间的定积分值 图中用括号注明，以区分信号的幅值 表示其他任意信号 表示信号间断点的导数 59 53 4) 冲激信号的极限模型 ( ) lim ( ) 0 t x t    t    2 1 f (t)  t     1 g (t)  t     2 h (t)  59 54 1/  ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 t f t g t h t          

2014-06-18 5)冲激信号的性质 展编特性Ga)=16(0 筛选特性(0(0-4)=x(460-6) 证:任取一信号g(0,对于∫s(b x()s(-t0) 取样特性∫x0)(-6Mt=x() x()(-bad=」x()5(-)d=x(t0)b(t-l0)d=x(a) godt →6(an)=o() 6(am)=1a0 9.冲激偶信号 m-1→an=6-0 定义:d6(=6()冲激偶信号图形表示 推论:冲激信号是偶函数 与阶跃信号的关系 lim x( du(t) 6)其他定义形式 性质 ja(r r=o() 6()=-16()→8()=-6(-1 10

2014-06-18 10 5) 冲激信号的性质  筛选特性 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x t  t t  x t  t t 59 55  取样特性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 x t t  t dt  x t t  t dt  x t t  t dt  x t             ( ) ( ) ( ) 0 0 x t t  t dt  x t     证：  展缩特性 ( ) 1 ( ) t a  at   证：任取一信号g(t)，对于    g(t) (at)dt 令x=at，若a>0，则有：                        x dx a x g a a dx x a x g t at dt g ( ) 1 ( ) ( )  ( )  若 0 则有 59 56 a g x dx a x g a g x ax dx (0) ( ) 1 ( ) ( )                  ( ) 1 ( ) t a   at   a g g t t dt a dt a t g t (0) ( ) ( ) ( ) 1 ( )           若a<0，则有：                                    x dx a x g a a dx x a x g a dx x a x g t at dt g ( ) 1 ( ) ( )  ( )  ( )  ( ) 1 ( ) t a  at   推论：冲激信号是偶函数 a= 1  (t)=(t)  与阶跃信号的关系 1 t 0 t   du(t) 59 57 ( ) 0 0 1 0 ( ) u t t t d             ( ) ( ) t dt du t           t e d t td j t          cos 2 1 , ( ) 2 1 ( ) 6) 其他定义形式： (1) t  '(t) 0  定义： ( ) 冲激偶信号图形表示 ( ) ' t dt d t    9．冲激偶信号 ( ) ( ) lim ( ) ' 0 t dt d t x t       1 (+1) 59 58   2   2 1  (t) ( ) /  t   0 (+1) (+1) (+1) (-1) (-1)  性质：    ( )  0 '  t dt    t ( )d (t) '     ( ) ( ) '  t  t t ( ) ( ) / /   t   t 59 59 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ' ' x t t dt   x     ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ' ' ' x t  t  x  t  x  t