复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_04 确定信号通过线性系统

2014-06-18 §1.6能量谱与功率谱 二、功率信号和功率谱 、能量信号和能量谱 功率信号:能量无限、功率P有限的信号 能量信号:能量E有限的信号 lx(D)|dt<M<∝ 能量信号的帕塞瓦尔定理 E-xoh=2n厂x(o)fdo 为分析功率信号x(的功率密度谱,将x(截断为能 量信号x0 定义:能量信号的能量谐密度函数(简称能量谱)为 m()→x(0)={x(0|r E(o)=X(o)? 设能量信号x的能量谱为E叫=Kω)P 能量谱E(ω与相位谱无关,只与振幅谙有关 根据能量信号的帕塞瓦尔定理 厂E(ok 2LE,( o)do=C lx, (oP dt =Cralxdof dr P-limirnalxof d --.E, todo 三、周期信号傅里叶变换及其功率谱 1、周期信号傅里叶变换的计算方法 E,() do=_limL(o)F (1)、从周期信号的傅里叶级数出发 x(1)=∑Ce 定义:功率信号的功率谱密度函数(简称功率谱)为 两边同取傅里叶变换 P(o) E1() x2(o) Hx)=∑C,e=∑ Cr Flee 功率信号的帕塞瓦尔定理 根据复简谐信号的傅里叶变换 FIx(0]=2r 2C,8(0-noo) 54 (2)、基于冲激函数序列的方法 ·周期信号x八(可以表示为 ·冲激函数:() x1(0)=x(0)*()=x()*∑(1-m7)其中 =∑x(1)*8(-n)=∑x-n) 冲激函数劇列:1(1)=∑(t-n7) 个 titp- nano在 2(r) 根据信号傅里叶变换的性质,有 FLx()]=F[x()F{G1() t

2014-06-18 1 能量信号：能量E有限的信号 §1.6 能量谱与功率谱 一、能量信号和能量谱            E x t dt X d 2 2 | ( ) | 2 1 | ( ) | 能量信号的帕塞瓦尔定理： 54 1    E E d      ( ) 2 1 2 E() | X () |   2   定义：能量信号的能量谱密度函数(简称能量谱)为 能量谱E()与相位谱无关，只与振幅谱有关 功率信号：能量无限、功率P有限的信号 二、功率信号和功率谱       P x t dt M / 2 / 2 2 | ( ) | 1 lim     为分析功率信号x(t)的功率密度谱，将x(t)截断为能 量信号x (t)：    54 2 根据能量信号的帕塞瓦尔定理： 设能量信号x (t)的能量谱为E ()=|X ()|2 量信号x (t)：        0 else 2 ( ) | | ( ) ( )   x t t x t x t          / 2 / 2 2 2 ( ) | ( ) | | ( ) | 2 1        E d x t dt x t dt 2 E ( ) | X ( ) |                                                 d X d E P x t dt E d 2 / 2 / 2 2 | ( ) | lim 2 ( ) 1 lim 2 1 ( ) 2 1 1 | ( ) | lim 1 lim 定义：功率信号的功率谱密度函数(简称功率谱)为 54 3          2 | ( ) | lim ( ) ( ) lim E X P     功率信号的帕塞瓦尔定理：                P x t dt P( )d 2 1 | ( ) | 1 lim / 2 / 2 2  两边同取傅里叶变换： n t n T n x t C e 0 j ( )      ) 2 ( 0 T    三、周期信号傅里叶变换及其功率谱 1、周期信号傅里叶变换的计算方法 (1)、从周期信号的傅里叶级数出发 54 4           n t n T n x t C e 0 j F[ ( )] F  F[ ( )] 2 ( )   0 x t  C  n n T   n     F[ ] 0 jn t n n C e        根据复简谐信号的傅里叶变换： (2)、基于冲激函数序列的方法  冲激函数： (t)  (t)  冲激函数序列：    (t)   (t  nT ) 54 5  冲激函数序列：   n  T (t)  (t nT )  周期信号xT(t)可以表示为：                    n n n T T x t t nT x t nT x t x t t x t t nT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          0 else 2 ( ) | | ( ) T x t t x t T 其中 54 6  根据信号傅里叶变换的性质，有： F[x (t)] F[x(t)]F[ (t)] T   T

2014-06-18 6(为周期信号,其傅里叶级数为 冲激函数序列及其频谱函数 ()-dr (0)=∑a-mn)=c-∑e ·两边作傅里叶变换,得 B0凸 FO(OI ∑(t-m→a∑6(0-km) a∑6(a-ko 冲激函数序列的频谱是频率域上的冲激函数序列 Hx1()=F[x()H1()=X(o)∑(a-kab) 根据傅里叶级数和傅里叶变换的关系:C=-X(ka) H1x1()=2∑x(ka6(a-ka)=2x∑C5(a-ka) 6 Xol 0123 54 根搋 据周期信号的帕塞瓦尔定理 设周期信号的功率谱密度函数为Pa,则有: P=∑|C4F=∑CF(a-ko0Ma =C∑ 2、周期信号的功率谱 周期信号的功率为:P=Lmx(f P(a)=2z∑|CkF(-ka)

2014-06-18 2  T(t)为周期信号，其傅里叶级数为：               k k t k k t k n T e T t t nT C e 0 0 j 1 j ( ) ( )     T t dt T t e dt T C T T jk t T T k 1 ( ) 1 ( ) 1 / 2 / 2 / 2 / 2 0           54 7 2 ( ) 1 F[ ] 1 F[ ( )] 0  0     k T e T t k k jk t T               k ( k ) 0   0  两边作傅里叶变换，得： F[ (t)] T  ( )  0   (t) T  (1)   冲激函数序列及其频谱函数 54 8 T 0 T t 0 0 0  冲激函数序列的频谱是频率域上的冲激函数序列 T t nT k n k        2 ( ) ( ), 0 0 0 F                            k k k T T X k k T X k T x t x t t X k ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 F[ ( )] F[ ( )]F[ ( )] ( ) ( ) 0 0 0 0 0                 54 9  根据傅里叶级数和傅里叶变换的关系： ( ) 1 0 X k T Ck             k k k T X k k C k T x t ( ) ( ) 2 ( ) 2 F[ ( )] 0   0    0  54 10 54 11 2、周期信号的功率谱  周期信号的功率为： x t dt T P T T  T   / 2 / 2 2 | ( ) | 1    P P d     ( ) 2 1 P Ck  Ck   k d       | |  | | (  ) 0 2 2  根据周期信号的帕塞瓦尔定理： 设周期信号的功率谱密度函数为P()，则有：        k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 54 12               C k d C k d k k k k k k k k                             2 | | ( ) 2 1 | | ( ) | | | | ( ) 0 2 0 2 0       k k P( ) 2 |C | ( k )0 2     

2014-06-18 时不变系统( Time-invariant System) §17确定信号通过线性时不变系统 、系统的时间一频率表示法 线性系统( Linear System) 1) 连续系统 连续系统 ax1()+6x1 连续系统()+G) x()=∑ax()=y()=∑ay(n 线性时不变系统: x(1)=…+x(0)Ua(D)-a(t-△)+x(△a(-△)-a(-2△)+ ()=∑ax(-1)→y(0)=∑ay(1-1) k 提示:若一个信号可以分解为一系列信号的线性组合,而 且这一系列信号通过线性时不变系统的输出已知,则很容 +xk)(-k)-A△△+… 易推导出该信号通过系统的输出 任一连续信号x()均可分解为冲激函数的线性组合 =∑xA)0(-0)(-6-△ 当4咐时,k4→r,4dr,且 x(1)=x(r)6(t-r)dr=x()*o() 连续信号表示为冲激信号的选加 结论:若已知冲激函数&通过线性时不变系统的输出,则 Fo()=1 任一信号通过该系统的输出均可得到 冲激函数a0等价于所有可能频率的等幅度正弦信号的叠加 定义:冲激函数通过线性时不变系统的输出h(为该系 冲激函数a作为线性时不变系统的输入,等价于同时用所 统的冲激响应 有可能频率的等幅度正弦信号测试该系统 G),连续系统 Fho]=H(o) 线性时不变系统的冲激响应h(确定,任一信号通过该系统 定义:冲激响应h(0)的傅里叶变换为系统的频率响应H(a 的输出均可得到 H(a)=如d H(a反映系统对输入信号不同频率分量的传输特性 线性时不变系统在时间域上可唯一地用冲激响应h()来描述 系统受单一频率言号激励时,响应与激励之比定 54义为H(o在该频率a处的值

2014-06-18 3 §1.7 确定信号通过线性时不变系统 一、系统的时间－频率表示法  线性系统(Linear System)： 54 13      i i i i i i x(t) a x (t) y(t) a y (t)  时不变系统(Time-invariant System)： x(t)  y(t) ( ) ( ) 0 0  x t  t  y t  t 54 14  线性时不变系统：        i i i i i i i i x(t) a x (t t ) y(t) a y (t t ) 提示：若一个信号可以分解为一系列信号的线性组合，而 且这一系列信号通过线性时不变系统的输出已知，则很容 易推导出该信号通过系统的输出 任 连续信号 均可分解为冲激函数的线性组合 54 15  任一连续信号x(t)均可分解为冲激函数的线性组合                                                                 u t k u t k x k u t k u t k x k u t u t x u t u t x x k u t k u t k x t x u t u t x u t u t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (0) ( )[ ( ) ( )] ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )]       54 16 当0时，k，d，且  x(t)  x( ) (t  )d  x(t)* (t)        k x(k ) ( ) ( ) ( )           t u t k u t k 结论：若已知冲激函数(t)通过线性时不变系统的输出，则 任一信号通过该系统的输出均可得到 定义：冲激函数(t)通过线性时不变系统的输出h(t)为该系 统的冲激响应 54 17  线性时不变系统的冲激响应h(t)确定，任一信号通过该系统 的输出均可得到  线性时不变系统在时间域上可唯一地用冲激响应h(t)来描述  F[ (t)] 1 F[h(t)]  H()  冲激函数(t)等价于所有可能频率的等幅度正弦信号的叠加 冲激函数(t)作为线性时不变系统的输入，等价于同时用所 有可能频率的等幅度正弦信号测试该系统 54 18 定义：冲激响应h(t)的傅里叶变换为系统的频率响应H() H h t e dt jt     ( )  ( ) H()的物理意义： H()反映系统对输入信号不同频率分量的传输特性 系统受单一频率信号激励时，响应与激励之比定 义为H()在该频率处的值

2014-06-18 H(o)=H(o)le 两边作傅里叶变换: 系统的幅频特性 系统的相频特性 8(n= dh0+(=I=RC joH(o)+H(o) 线性时不变系统在频率城 地用频率响应H(o来描述 H(a)= 例1试求图示的RC低通电路系统的h(0)和H(a 厂 I+JoRC 解:RC电路的微分方程为: o(0-h(=c dh(o) =60)=RChO+M(0 H()=a+j0 a+/31H(o)-a 二、时间域求解法 任一信号x(可分解为a的组合 低通滤波器 x(o= x(r)o(t-r)dr=x(o)*8(n) 实际应用 当求解信号通过系统产生的响应时,只需求解冲激信号通过 该系统产生的响应(,然后利用线性时不变系统的特性 进行选加和延时即可求得信号x(n产生的响应 随着频率增加,系统的幅频响应H(甽不断减小,说明信号 (1)→h() 频率越高,信号通过该系统的损耗也就越大 因H(a)0.707,将四m1/R(称为该系统的3dB截频 (-2)→h(t-r)x(r)6(t-r)→x(r)h(t-r) 54 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 x(t) cT→ht Definition CT LTI Time invarance CT LTI tme invarance CT LTI Scaling x(kI 8(t-k I T→x/)htk Scaling CT LTI Superpostor∑xk)6t-k CTn一→∑xhtk CT LTI

2014-06-18 4 j ( ) ( ) | ( ) |   H   H  e 系统的幅频特性 系统的相频特性  线性时不变系统在频率域上可唯一地用频率响应H()来描述 例1 试求图示的RC低通电路系统的h(t)和H() 解 电路的微 为 54 19  (t) h(t) R C 解：RC电路的微分方程为： t t h t h t d d ( ) C R ( ) ( )    ( ) d d ( ) ( ) RC h t t h t   t   两边作傅里叶变换： 1 RC 1 ( )   j H    ( ) 1 RC ( ) ( ) d d ( )  ( ) RC h t jH  H  t h t t      1 RC 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) e d j h t H e d j t j t                   54 20 ( ) RC 1 2 2 1 RC RC e u t j t       若令： RC 1 a    a j a H  ( )  h(t) ae u(t) at  RC电路系统的幅频响应 低通滤波器 2 2 ( ) | ( ) |          a a H a j a H 54 21 随着频率增加，系统的幅频响应|H()|不断减小，说明信号 频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大 因|H(a)|=0.707，将c=a=1/RC称为该系统的3 dB截频 实际应用： 当求解信号通过系统产生的响应时 只需求解冲激信号通过  任一信号x(t)可分解为(t)的组合 二、时间域求解法 x(t)  x( ) (t  )d  x(t)* (t)    54 22 当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过 该系统产生的响应h(t)，然后利用线性时不变系统的特性， 进行迭加和延时即可求得信号x(t)产生的响应  (t)  h(t)  (t   )  h(t   ) x( ) (t  )  x( )h(t  ) 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 54 23  求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 54 24

2014-06-18 例2试求图示方波通过RC低通电路系统的输出 x(1)=∑xkA) ∑x(kA)64(-AA)△ 例1中已求出RC电路系统的冲激 h(t=ae u(0,a= t 确定性信号通过线性时不变系统 y(1)=x(1)*h(1) 当40时,k4→r,Adr,且610-A)→B(-t),h(t-k)→h-r y()=x(r)h(t-r)dr=x(1)*h() 当tT 当t>T时, y0)=⊥x)-ur [Aae--edr=Ae 54 频率域求解法 (t)=x(1)h1() y(1)=x(1)°h(1) y()=(1)*h2(1)=x(1)°h(m)*h2(1) 两边作傅里叶变换 Y()=X(o)H() 根据卷积积分的结合律性质,有 确定性信号通过线性时不变系统 y(1)=x()*h1(1)*h2(1)=x()*[h1(1)h2(1)=x(n)*h() 时域卷积、频域相乘 h()=h()*h2(1) 结论 1.级联系统的冲激响应 1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积 5

2014-06-18 5                        k k x k t k u t k u t k x t x k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  54 25           k y(t) x(k )h (t k ) y(t)  x( )h(t  )d  x(t) h(t)       当0时，k，d，且 (  )   (  ), (  )  (  )   t k t h t k h t 例2 试求图示方波通过RC低通电路系统的输出 解： 例1中已求出RC电路系统的冲激 响应为： 0 T t x(t) A RC 1 ( )  ( ),   h t ae u t a at h(t) a 确定性信号通过线性时不变系统 54 26 0 t        x  h t  d y t x t h t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 确定性信号通过线性时不变系统 输入与输出的时域关系为： 0  h(-) a 当t T 时， 0  a A T t             T at a T a t Aae d Ae ae d y t x h t d 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )        ( 1) 0     at aT T at a Ae e Ae e                 A e e t T A e t T t y t aT at at ( 1) (1 ) 0 0 0 ( ) y(t) 54 28 0 T y( ) A t A(1-e- aT) Y ()  X ()H () y(t)  x(t)*h(t) 两边作傅里叶变换： 三、频率域求解法 确定性信号通过线性时不变系统： 时域卷积 频域相乘 54 29 、 1. 级联系统的冲激响应 ( ) ( )* ( ) 1 z t  x t h t ( ) ( )* ( ) ( )* ( )* ( ) 2 1 2 y t  z t h t  x t h t h t 根据卷积积分的结合律性质，有 ( ) ( )* ( )* ( ) ( )*[ ( )* ( )] ( )* ( ) 1 2 1 2 y t  x t h t h t  x t h t h t  x t h t 54 30 h(t) 结论: 1) 级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积 ( ) ( )* ( ) 1 2 h t  h t h t

2014-06-18 2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应 y()=x()°h(n (t)=y1(1)+y2(1)=x()h1()+x(1)h2(1) h()=h1(t)*h2(1)=h2(1)*h2() 应用卷积积分的分配律性质,有 1)=x(1)+[1(1)+h2()]=x(1)*h) 2.并联系统的冲激响应 结论 h()=h1(1)+h2() 并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和 h,(0) h(=h1(+2() 例3用频率法求解方波通过RC低通电路系统的输出 解例1中已求出RC电路系统的频率响应为 (a+jo)jo (e) ←→y1(D) H(o) d Jo (1)=Areca ←→y(D)=y1(D)-y1(-7) Aa a+je) 确定性信号通过线性时不变系统输入与输出的频域关系为 (a+ jo)jo e 2 o→8gm) →e"l() atyo y(n==Sgn(0)-Ae u(n) -A12t0 4/2 「-A/2 IT -Ae+4121>0(-7)= Ae--)+A/2 I>T D)=y(D)-y1(-7)=(-A/2)-(-4/2)=0 y()=y()-y(-7)={4(1-e)0s1≤T 当0tT时, 1>7 y()=y()-y1(-7)=(-Ae+A/2)-(-4/2) 当>T时 ()=y(1)-y1(-T)=(-Ae+4/2)-[-e-n+A/2] y()=141-e-)0≤r≤7 A(e-I)e t>T

2014-06-18 6 2) 交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应 ( ) ( )* ( ) ( )* ( ) 1 2 2 1 h t  h t h t  h t h t 2 并联系统的冲激响应 54 31 . ( ) ( )* ( ) 1 1 y t  x t h t ( ) ( )* ( ) 2 2 y t  x t h t ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( )* ( ) 1 2 1 2 y t  y t  y t  x t h t  x t h t 应用卷积积分的分配律性质，有 ( ) ( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) 1 2 y t  x t h t  h t  x t h t h(t) 54 32 h(t) ( ) ( ) ( ) 1 2 h t  h t  h t 结论: 并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和 例3 用频率法求解方波通过RC低通电路系统的输出 解：例1中已求出RC电路系统的频率响应为： 0 T t x(t) A RC 1 ( ) ,    a a j a H   2 ( ) 2 ( ) T j e T X ATSa T t x t Arect                 54 33 / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) 2 1 ( ) 2 / 2 sin( / 2) ( ) ( ) ( ) j T j T j T j T e e e a j j Aa e T T AT a j a Y X H                       确定性信号通过线性时不变系统输入与输出的频域关系为： 2 2 ( ) 2 ( ) X ATSa e T x t Arect                 则： (1 ) ( ) j T e a j j Aa         令： ( ) ( ) ( ) 1 F 1 y t a j j Aa Y       ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( ) 1 1 F 1 1 1 y t y t y t T Y Y e Y Y e j T j T                 54 34 ( ) ( ) ( ) 1 1 y y y ( ) 1 ( ), 2 1 1 ( ) ( ) F F 1 e u t a j Sgn t j j a j A a j j Aa Y  at                                      / 2 0 / 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) 1 Ae A t A t Sgn t Ae u t A y t at at y(t)  y1(t)  y1(t T)  (A/ 2) (A/ 2)  0              Ae A t T A t T y t T a t T / 2 / 2 ( ) 1 ( ) 当t T 时， a t T at aT at at a t T Ae Ae A e e y t y t y t T Ae A Ae A                     ( 1) ( ) ( ) ( ) ( / 2) [ / 2] ( ) ( ) 1 1                A e e t T A e t T t y t aT at at ( 1) (1 ) 0 0 0 ( )                  A e e t T A e t T t y t y t y t T aT at at ( 1) (1 ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1           / 2 0 / 2 0 ( ) 1 Ae A t A t y t at             Ae A t T A t T y t T a t T / 2 / 2 ( ) 1 ( ) A A(1-e-aT) 54 36 0 T y(t) A t A(1 e ) -A/2 A/2 -y1(t-T) y1(t)

2014-06-18 例4求解斜坡信号通过RC低通电路系统的输出 解:例1中已求出RC电略系统的冲激 h(1=aeu(n),a (二)、频率域求解法 r(o)=X(o)H(a)=--+r(a 例中求出RC电路系统的频率响应为:H(a)°a+Je x(1)=a(1)→X(a)=--2+Jz(o) B C BO )jo+C(a+jo) y()=x().h()=ru(r )e-at-nu(I-r)dr -Ao*-Bajo+ B-+Ca+go a redt=e (a+ jojo) e A+B=0 A=1 B=1/a Y()= jo(o) d'(e) a(a+jo) jro(@)--d(o ,12 1a(a) -z+jt(o) uta+ d b(0)=-0(o) +≈61)=,xNa+/a)-/1 y()=-ea(1)--n(1)+t(t) x(a+/)(a)- u()t--+-e Ja8(o)+ @d(o) 两种方法结论完全一致 d(a)=j6'(a)--d(0) ato 54 本例频率域求解法比较复杂 四、无失真传输与理想滤波器 无失真传输系统的幅度和相位响应 1、无失真传输系统 定义 若无失真传输系统的输入信号为x(,则输出信号y(应为 其中为常数,L是输入信号通过系统后的延迟时间 无失真传输系统的频域特性 Mo)=Kxt-1,)= Y(o)=KX(o)e-4 无失真传输系统应满足两个条件 H(o)=Y(o)=K.g-iou (1)系统幅频响应H(ω在整个频率范围内为常数K,即系统 其幅度响应和相位响应分别为 (2)系统相位响应m在整个频率范围内应与减成正比,即线

2014-06-18 7 例4 求解斜坡信号通过RC低通电路系统的输出 解： 例1中求出RC电路系统的频率响应为：   a j a H  ( )  例1中已求出RC电路系统的冲激 响应为： RC 1 ( )  ( ),   h t ae u t a at 54 37 (一)、时间域求解法： j ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2    x t  tu t  X     j                             0 0 0 ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) a e d e e e d t t y t x t h t u ae u t d t a t at a t at a a t             (二)、频率域求解法：                                at at at at t at at a e a a u t t a e a e u t e te a u t e te 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 0  1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2                    a j a Y X H j 54 38 ( ) ( ) 1 2            a j a j a j j a 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )                  a j j a a j j A Baj B Ca Cj a j j A B a j j C a j j C j B a j A                    解出： ( ) [( ) ] ( )       a j j j a j                  Ca a Ba C A B 0 0         1 1 / 1 / C B a A a 2 2 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 a j j a a j aj  j a       ( ) ( ) '       54 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( )                                     a j a j j a j j a j j j a j a j j a j j j j a j j                                                          ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2                       j a a j a j a j a a j aj j a j a j a j j a Y 1 t 1 54 40                at at e a a u t t u t tu t a e u t a y t 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 两种方法结论完全一致 本例频率域求解法比较复杂 1、无失真传输系统 若无失真传输系统的输入信号为x(t)，则输出信号y(t)应为 ( ) ( ) d y t  K  x t  t 其中K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间 四、无失真传输与理想滤波器  定义： 54 41 其中 为常数， d是输入信号通过系统后的延迟时间  无失真传输系统的频域特性 dt K e X Y H     j ( ) ( ) ( )      其幅度响应和相位响应分别为 | H() | K d ()   t d j t d y t K x t t Y KX e     ( )   (  )  ( )  ( ) 无失真传输系统的幅度和相位响应 54 42  无失真传输系统应满足两个条件： (1)系统幅频响应|H()|在整个频率范围内为常数K，即系统 的带宽为无穷大 (2)系统相位响应()在整个频率范围内应与成正比，即线 性相位

2014-06-18 ·无失真传输系统的时域特性 所以系统的幅度响应和相位响应分别为 H(a)=Kem→h)=K·(-) H(o)=1(a)=-2tn(a) 例5已知-LI系统的频率响应为H(a)=1- 系统的帽度响应H(为常数 位响应ω不是a的线 性函数,所以系统不是无失真传输系统 度响应H(和相位响应叫,并判断系统 是否为无失真传输系统 2、理想滤波器 餐:因为H(o)1+/1+a je(1-ja)21-2-2ja 定义:系统输出信号的频谱和输入信号的频谱将有不同 系统的这种对输入信号频谱改变的作用,称为滤波 l-220 能使信号的一部分频率通过,而使另一部分频 率不通过(或通过很少)的系统 这里利用une=etan2 理想滤波器:在滤波器的通带内所有频率成分均可无失真 通过,而通带外的频率成分则被完全衰减掉 理想滤波器的频响特性 理想低通滤波器 理想低通Low- Pass filter)理想高通(High- Pass filter) H(o)=Je lols oc ▲。) 理想带通( Band-Pass Filter)理想带阻 Band-Stop Filter 幅频响应Hω在通带0-a恒为1,在通带之外为0 相频响应ω在通带内与a成线性关系 3、理想低通滤波器的冲激响应 理想低通滤波器冲激响应分析 1 H( 1)h()的波形是一个取样函数,不同于输入信号a =M0=-1s|a- 原因:理想低通滤波器是一个带限系统,而冲潋信号 6的频带宽度为无穷大 减小失真方法:增加理想低通截频a h(的主瓣宽度为27a a越小,失真越大 当a→∞时,理想低通变为无失真传输系统,h(0也 ≈4 变为冲激函数 (2)h(主峰出现时刻冖比输入信号8作用时刻=0 延迟了一段时间 是理想低通滤波器相位特性的斜率

2014-06-18 8 已知一LTI系统的频率响应为    j j H    1 1 ( ) 求系统的幅度响应|H()|和相位响应()，并判断系统 是否为无失真传输系统  无失真传输系统的时域特性 ( ) ( ) ( ) d j t H Ke h t K t t d          例5 54 43 因为 1 2tan ( ) 2 tan 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 (1 ) 1 1 ( )                                            j j j e e j j j j H 解： 这里利用 2 2 2 2 2 2 1 2 1 tan 2 tan 1 sin / cos 2sin / cos cos sin 2sin cos cos 2 sin 2 tan tan 2                             系统的幅度响应|H()|为常数，但相位响应()不是的线 性函数，所以系统不是无失真传输系统 所以系统的幅度响应和相位响应分别为 ( ) 1 ( ) 2 tan ( ) 1      H    2、理想滤波器 54 44  定义：系统输出信号的频谱和输入信号的频谱将有不同， 系统的这种对输入信号频谱改变的作用，称为滤波 滤波器是指：能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频 率不通过(或通过很少)的系统  理想滤波器：在滤波器的通带内所有频率成分均可无失真 通过，而通带外的频率成分则被完全衰减掉 理想滤波器的频响特性 理想低通(Low-Pass Filter) 理想高通(High-Pass Filter) 54 45 理想带通(Band-Pass Filter) 理想带阻(Band-Stop Filter) 理想低通滤波器 d d t c c c ωt e e H         j -j 2 rect 0 | | | | ( )                 () c t d 54 46 0 c c c t d 截止角频率 幅频响应|H()|在通带0~c 恒为1，在通带之外为0 相频响应()在通带内与成线性关系 h t H e dt jωt ( ) 2 1 ( )       e e dt e dt C C d C C d ωt ωt ω t t             -j j j ( ) 2 1 2 1 Sa[ ( )] ( ) sin[ ( )] ( ) c d c c d c c d t t t t t t h t              3、理想低通滤波器的冲激响应 54 47 理想低通滤波器冲激响应分析 (1) h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号(t) 的波形，有失真 原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号 (t)的频带宽度为无穷大 减小失真方法：增加理想低通截频c 54 48 减小失真方法 增加 想低通截频 h(t)的主瓣宽度为2/c c越小，失真越大 当c 时，理想低通变为无失真传输系统， h(t)也 变为冲激函数 (2) h(t) 主峰出现时刻t=td比输入信号(t) 作用时刻t=0 延迟了一段时间td td是理想低通滤波器相位特性的斜率

2014-06-18 (3)h(在r0时也存在输出,可见理想低通滤波器是一 个非因果系统,因而它是一个物理不可实现的系统 2 L s(oyo+2 cos to- do+2 'sin e-l de 4、理想低通滤波器的阶跃响应 Hu(1)=(a)+ cOso(,) H(o) o为奇函数 一为o的奇函数 coso为偶函数}→{0 sin o(t-l) sin为奇函 为o的偶函数 Y(oe/do eMue/e do do(t-L) 2·“xh=号“(xh 定义:正弦积分可用数值方法制成标准函数表 理想低通滤波器的阶跃响应 Si(x)= Sa(rdr Se2(-) mny)=1+1x=1 lim y(n) 54 理想低通滤被器阶跃响应分析 (3)存在 Gibbs现象,即在间断点前后出现振荡,其振 (1)阶跃响应y()比输入阶跃信号u(延迟t 荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右,且不随滤 皮器带宽的增加而减小 是理想低通滤波器相位特性的斜率 (2)阶跃响应的建立需要一段时间 H(王) 阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为 阶跃响应的上升时间 上升时间/与理想低通截止频率a成反比 x(t) 当a→)∞(无失真传输系统时,→0 上升时间也可定义为:输出最终值的10%到90% 所需的时间 此时有:t=0.44y

2014-06-18 9 (3) h(t)在t<0时也存在输出，可见理想低通滤波器是一 个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统 4、理想低通滤波器的阶跃响应    j u t 1 F[ ( )]  ( )  d d t c c c ωt e e H         j -j 2 rect 0 | | | | ( )                     54 49 dt c e j Y X H          j 2 rect 1 ( ) ( ) ( ) ( )                                                e e d j e e d e e d j y t Y e d j t j t j t j t j t j t j t c c d c c d c c d                        1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )            为 的偶函数 为 的奇函数 为偶函数 为奇函数       sin ( ) cos ( ) cos d d t t t t                              d t t d t t j d j j t t d j t t d c c c c c c c c c c d d d d                     sin ( ) 2 cos ( ) 1 2 1 2 1 sin ( ) 2 cos ( ) 1 2 1 ( ) 2 1 54 50     为奇函数 为的偶函数    sin ( ) sin d t t dx Sa x dx x x d t t t t t t d t t y t c d c d c c t t t t d d d d                    ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 1 2 1 sin 1 2 1 [ ( )] ( ) 1 sin ( ) 2 1 1 sin ( ) 2 1 ( )                    2 ( )  Si Si x Sa  d x   0 ( ) ( ) [ ( )] 1 2 1 ( ) c d  y t   Si  t  t   定义：正弦积分(可用数值方法制成标准函数表) 54 51                               0 2 1 2 1 lim ( ) 1 2 1 2 1 lim ( ) 2 ( ) 2      y t y t Si t t  理想低通滤波器的阶跃响应 54 52 理想低通滤波器阶跃响应分析 (1) 阶跃响应y(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td td是理想低通滤波器相位特性的斜率 (2) 阶跃响应的建立需要一段时间 阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为 阶跃响应的上升时间tr 54 53 阶 应 升 tr=2/c=1/fc 上升时间tr与理想低通截止频率c成反比 c越大，上升时间tr越短 当c(无失真传输系统)时，tr 0 上升时间也可定义为：输出最终值的10％到90％ 所需的时间 此时有：tr=0.44/fc (3) 存在 Gibbs现象，即在间断点前后出现振荡，其振 荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤 波器带宽的增加而减小 54 54