复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_11 匹配滤波器.pdf_大学文库

2014-06-18 1 3、奈奎斯特滤波器  为实现等效低通滤波器，只要在理想低通滤波特性的截止频率c=/Ts 处加上一个对c奇对称的特性即可对系统的传输特性H()以2/Ts为宽度进行分割，若各段在 [-/Ts，/Ts]区间能叠加成一个矩形频率特性(等效低通滤波特性)  该系统以速率fs传输基带信号时，无码间串扰 51 1 其中H1()对c奇对称：              0 else ( ) | | 2 1 ( ) | | ( ) 1 1 c c c s H T H H          H c   H c      c ( - ) ( ) | | 1 1 0 c 0.5 1 -c -2c 2c  HL()  0.5 0 H1() 51 2 -0.5  c 2c -c -2c H() 1 0.5 0 c -c -2c 2c   为简单起见，设滤波器的相移为0(若滤波器为线性相位，则输出产生相应的延时)          H T H H F c c c s               0 else ( ) | | 2 1 ( ) | | ( ) 1 1 51 3         h t h t H e d t t h t j t c c c         ( ) 2 1 ( ), ( ) sin ( ) 1 1 1      h t H t d c   2 0 1 1 ( ) cos 1 ( )  H1()为的偶函数，>2c时，H1()=0             h t H t d H t d c c c      2 1 0 1 1 ( ) cos 1 ( ) cos 1 ( ) 令=c-x 令=c+x h t H x x t dx c    c  c       0 1 1 ( ) cos[( ) ]( ) 1 ( ) 51 4 t H x xt dx H x x t x t dx H x x t dx c c c c c c c c c c                           0 1 0 1 0 1 sin ( )sin 2 ( ){cos[( ) ] cos[( ) ]} 1 ( ) cos[( ) ] 1 关于c奇对称 h t t H x xt dx c   c  c      0 1 1 sin ( )sin 2 ( ) 相隔Ts=/c的各点等于0 ( ) sin ( ) 1 h t t t h t c c c        51 5 相隔Ts=/c的各点等于0  符合无码间串扰的条件：      m为其他整数 m h mTs 0 1 0 ( )  常见：正弦滚降频率特性                               0 | | (1 ) (1 ) | | (1 ) 2 1 sin 2 1 1 | | ( ) (1 ) | ( ) | r r r r r H c c c c c c c               其中r=/ 称为滚降因子 51 6  r的取值范围为0～1  r=0：零滚降，即理想低通滤波器  r=1：单位滚降，即升余弦频率特性其中r /c称为滚降因子                 0 else | | 2 2 1 cos 2 1 | ( ) | c c H     

2014-06-18 3  设系统发1和0的概率分别为P(1)和P(0)，发1错判为0和发0错判为1的条件概率分别为P(0/1)和P(1/0)，则总的误码率为：  若收到的信号加噪声的抽样值为V，判决电平为b，则有： P P(0 /1)P(1) P(1/ 0)P(0) e   P P[(V b) /1]P(1) P[(V b) / 0]P(0) e      设发1和0时收到信号加噪声的抽样值的概率密度函数分别为 51 13       b b e P P(1) p1 (V )dV P(0) p0 (V )dV  设发1和0时收到信号加噪声的抽样值的概率密度函数分别为 p1(V)和p0(V)，则有：  一般情况下，P(1)=P(0)=0.5，于是有：           b b Pe p (V )dV p (V )dV 2 1 1 0  设b0为最佳判决电平，则有： 0 (1) ( ) (0) ( ) P p1 b P p0 b b Pe       P(1) p1 (b0 )  P(0) p0 (b0 )  0  总的误码率Pe和p1(V)、p0(V)及b有关  当p1(V)、p0(V)一定，总存在一b(最佳判决电平)，使Pe最小 51 14  若P(1)=P(0)=0.5，有： ( ) ( ) 1 0 0 0 p b  p b 在二进制等概率情况下，最佳判决电平为p1(V)和p0(V)曲线交点所对应的V值  若信道噪声是零均值的平稳高斯噪声，因接收滤波器为线性系统，则它的输出nR(t)也为均值为0的低频高斯噪声  对单极性信号，设发1时的信号抽样值为A，则有：           2 2 2 exp 2 1 ( ) R R V p V       ( ) 1 发 A n t 发 V R  nR(t)的概率密度函数设为： 51 15   n (t) 发0 V R                    2 2 0 2 2 1 2 exp 2 1 ( ) 2 ( ) exp 2 1 ( ) b b b b V p V V A p V       p0(V) p1(V) 51 16  高斯分布的对称性，两曲线交点即最佳判决电平b0=A/2  阴影部分为两种误码的条件概率  总的误码率为：           / 2 0 / 2 1 ( ) ( ) 2 1 A A Pe p V dV p V dV V 0 A/2 A  高斯分布的对称性  P(1/0)=P(0/1)                                 / 2 2 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 / 2 0 / 2 0 / 2 1 exp 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 A A A A A A e dV V p V dV p V dV p V dV P p V dV p V dV p V dV 51 17  令：        0 2 2 p 2 2  R  R V u dV du V u R R R    , 2 , 2 2                R R A A R R e u du P u du       2 2 0 2 2 2 0 2 exp( ) 1 2 1 exp( ) 2 2 1 2 1  Erf(x)称为误差函数：            R A Pe u du   2 2 0 2 exp( ) 2 1 2 1    x x u du 0 2 exp( ) 2 Erf ( )   Erfc(x)称为互补误差函数： Erfc ( x)  1  Erf ( x)                    A A P Erfc 1 1 Erf 1 51 18                       R R Pe  2 2 Erfc 2 2 2 1 Erf 2  设信号的峰值功率S和噪声的平均功率N分别表示为： N S S A , N R SNR 10 lg 2 2                        2 10 2 1 Erfc 2 1 2 2 1 Erfc 2 1 SNR /10 e N S P

2014-06-18 4 Pe 10-2 1.0 10-4 10-6 10-8 A/R=11.2 SNR=21.0 dB 51 19 6 10 14 18 22 10 10-10 SNR/dB SNR=17.4 dB A/R=7.4  若每秒传送105个码元  SNR=17.4 dB，Pe=10-4  每0.1秒发生一个错码  SNR=21.0 dB，Pe=10-8  每1000秒(约16分)发生一个错码  阀效应：存在一狭窄范围，在此信噪比以上误码率很小；在其下，误码现象频繁发生  阀电平：出现阀效应的这个信噪比  对二进码传输，阀电平选为16~18 dB(对应A/R：6~8)之间 §3.6 匹配滤波器  接收信号的抽样值r(kT )为： 51 20  接收信号的抽样值r(kTs)为： r(kTs )  信号取值＋码间串扰＋随机噪声判决依据无码间串扰传输  设计一线性滤波器，使抽样时刻的信噪比最大  减小Pe 这种最佳滤波器称为匹配滤波器一、匹配滤波器的传递函数  设线性滤波器传递函数为H()，输入的为信号与噪声之和：信号与噪声互不相关噪声的功率谱密度为Pn()，信号的傅里叶变换为Si ()  线性滤波器  滤波器的输出也包含信号与噪声两部分 x(t) s (t) n (t)  i  i 51 21 y(t) s (t) n (t)  o  o y(t)=so(t)+no x(t)=s (t) i (t)+ni (t) H() 抽样判决  求线性滤波器H()，使抽样时刻t0的信噪比最大  信号经过滤波器的输出为：  输出噪声的平均功率为：         S H S s t H S e d j t o i o  i      ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) No   H  Pn   1 ( ) | ( )| ( ) 2 51 22     N n t H P d o o  n     | ( )| ( ) 2 1 ( ) 2 2  抽样时刻t0输出信号的瞬时功率和噪声的平均功率之比r为：                  H P d H S e d N S t r n j t i o o | ( )| ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 | ( )| 2 2 2 0 0  施瓦茨不等式：若F1()和F2()为复变函数，则有  令： F  F  d F  d F  d            2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) | ( ) | | ( ) | 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 j t n i n e P S F P H F             H S d j t ( ) ( ) 1 2 0 只有当F1()=kF2*() (k为任意常数)时，等号成立 51  23                                      H P d d P S e P H d H P d H S e d r n n j t i n n j t i | ( ) | ( ) 2 1 ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | 4 1 | ( ) | ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * j t n i j t n i n e P S e H k P S P H k                              d P S r n i ( ) | ( ) | 2 1 2  只有当下式成立时，不等式为等号：匹配滤波器的含义 51 24  匹配滤波器：在抽样时刻获得最大信噪比的最佳滤波器  若噪声为白噪声：匹配滤波器的含义 ( ) / 2 0 P n n   0 ( ) ( ) * j t i H kS e      0 0 2 max 2 / 2 | ( ) | 2 1 n E n S d r i         信号能量

2014-06-18 5 二、匹配滤波器的冲激响应  匹配滤波器的冲激响应h(t)为： ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) * * 0 0 k s e d e e d h t H e d kS e e d j j t j t i j t j t i j t                                       51 25  对于实信号si (t)，有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 * 0 * ( 0 ) * k s t t d ks t t k e d s d i i i j t t                                     ( ) ( ) 0 h t ks t t  i   为保证匹配滤波器的物理可实现性，h(t)应为因果信号：  h(t)为输入信号si *(t)的镜像si *(-t)在时间轴上平移t0          0 0 0 0 ( ) ( ) 0 * t t h t ks t t i 0 * h(t) 0, t 0 s (t) 0, t t    i   若输入信号的持续时间为的持续时间以 51 26  若输入信号si *(t)的持续时间为(0，Ts)  h(t)的持续时间可以为(t0-Ts，t0)  t0Ts，匹配滤波器才是物理可实现的  一般希望t0尽量小，故常取：t0=Ts 三、匹配滤波器的输出信号  信号si (t)经过匹配滤波器h(t)的输出为：  令：       s t ks t d s t h t s t s t h d i i o i i              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 *    t     t  , d  d  ( ) ( ) [ ( )]( ) 0 * s t k s s t t d o i i              51 27 ( ) ( ) ( ) 0 0 * kR t t k s s t t d is i i               匹配滤波器的输出信号就是输入信号的自相关函数  当t=t0， s t kR t t kR kE i i o ( 0 )  s ( 0 0 )  s (0)  h(t) 0 Tb t si (t) 1 0 Tb 2Tb t kE so(t) 51 28 0 Tb t k si (t) so(t) 例1 图为一矩形波调制信号，试求接收该信号的匹配滤波器的冲激响应和输出波形。 0 A 1/fc 51 29 解：       0 else cos 0 ( ) A t t T s t c i  其中 c T Tc  8  4  矩形波调制信号可表示为： 0 T -A          0 else cos ( ) 0 ( ) ( ) kA T t t T h t ks T t c i   取t0=T，匹配滤波器的冲激响应为： kA T t kA T t kA t kA t c c c  c c cos (  )  cos(  )  cos(8  )  cos ( ) 0 else cos 0 ( ) ks t kA t t T h t i c          51 30  0 else 0 T -kA 0 kA 1/fc

2014-06-18 7  矩形脉冲与相应的h(t) (也为矩形脉冲) 卷积  持续时间为 2Tb的三角形脉冲  t=Tb时有最大值kTb si (t) 积分器 k/j 延迟器 Tb ＋－ so(t) 抽样在进行的输出用处会对信号产 51 37  抽样在t=Tb进行，t>Tb的输出无用处，且会对下一码元信号产生串扰，必须清除掉  延迟器没有作用 si (t) 积分器 k/j so(t) t=Tb时抽样 t=Tb＋时清除五、匹配滤波器的相关实现  输入值为信号和噪声的叠加：  匹配滤波器的冲激响应为： ( ) 0 if [0, ] ( ) ( ) ( ) i b i s t t T x t s t n t     51 38 ( ) 0 if [0, ] ( ) ( ) * b i b h t t T h t ks T t      输入值经过匹配滤波器的输出为：    y(t)  h(t  )x( )d 理想积分器 r(T) x(t) t=T时抽样             Tb i b b i ks x d y T h T x d ks x d 0 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          51 39 si *(t) 积分器抽样抽样脉冲  si *(t)需与输入信号同步 §3.7 纠错编码  采用差错控制编码技术(纠错编码)可以减小信道噪声对判决错误的影响  三类信道  随机信道：错码随机出现，且统计独立(高斯白噪声引起的错码具有该性质) 突发信道错码成串集中出现各种脉冲的干扰 51 40  突发信道：错码成串集中出现(各种脉冲的干扰)  混合信道：既存在随机错码，又存在突发错码  不同类型信道，采用不同的纠错编码技术  下面仅讨论随机错码情况一、常用的差错控制方法 1、反馈校验法  四种常用的差错控制方法：  将收到信码再发回发信端，与原码进行比较，出现错误就再发一次原信号  设备简单，但需双向信道，效率较低 51 41 2、检错重发法  收信端检测收到的信码，发现错误时通知发信端再发一次，直到正确为止  检测有错码指：发现接收码元中有一个或多个码元是错的，但不知错码的具体位置  需双向信道 3、前向纠错法 4、纠检结合法  结合检错重发和前向纠错技术：错码个数在纠错能力内就纠错否则就采用检错重发  收信端在收到的信码中不仅能发现错码，而且能纠正错码  二进制码系统，能确定错码的位置  纠正错码  只需单向信道，实时性好，但纠错设备比检错设备复杂 51 42 错，否则就采用检错重发  需双向信道二、纠错编码的基本原理  3位二进制的码组  8种组合 000 001 010 011 100 101 110 111  任一码组若发生一个或多个错码  另一码组  接收端无法发现错码

2014-06-18 00lII0l110 8种组合中只使用2种:00011,可用于检测个错码或纸正接收端可发现任一码组只出现一个错码的情况,不能发现出 1个错码现两个错码的情况 3bi码组可视为:第一位为信息码元,后两位为监督码元结论:附加监督码元可使码组有一定的检错甚至纠错能力 ◆000→0ll101110(可用码组两个基本概念:码距和最小码距 ·只能发现一个错码,但不能纠正错码码距d:码集码组集合中任意两个码组间对应位上数字 000→100101→10010→100 不同的个数,称为这两个码组的汉明距离,简称码 ·要纠正错码,需增加码位高余度 000,1113;0ll,101-2;100,10l ◆最小码距山:码集中,各码组间汉明距离的最小值可以发现出现1个或2个错码的情况 {000,001,010,0,100,101,10,l1}-d ◆000→100001001,000→110100ll 需有适当的假设:检测到错码,便认为只发生 {000,ll-d4-3 个错码概率比出现个或3个错码的概率大得多了码集中任意两个码组间的最小差别 ◆最小码距越大,某一码组错为另一码组的可能性越小,检错或纠错能力越强 ◆若最小码距满足d≥e+1,则具有检测c个错码的能力(最小 ·(7,4码是一种汉明码,4bi信息码元+3bi监督码元7个鸸元码距比错码个数少大1时,不可能变成另1个许可码组 ·设未采用纠错编码时传输速率为 R bit/s→每个码元所占时间 000,001,010.01l,100,10l,l0,l→d=1→c0 为1/Rs→每个码组(4个码元所占时间 T-d/R bit 0,0ll,10l,10}→d=2-c 设每个码元的错误概率为 000lld3-A=2 采用(7,4)码,在T时间内需传输7个码元→每个码元所占时间若最小码距满足d22+1,则具有纠正个错码的能力某为47Rbit→传输带宽增加到7/4 错码后,形成的错误码组比另一许可码组错r 个码后的距离至少大1,两种错误不会混淆) H Et TR Bs {000001,01001l,100.101,10,l1→d=1-0 UR s 若最小码距满足d≥He+1(e>n,则具有纠正/个错码、同时检测个错码的能力 {00011d4=2,P10001-0000011→? 未采用纠错编码时,传输1个码组错1个码元的概率为但此时错1个码元会被纠正,错2个码元的概率为 P=ClP2(1-P33→P1≈4P1 P=CP(1-P)3→P≈21P2 ·此时错2个码元的概率为错3个码元的概率为 P2=CP(1-P)2→P2 P1≈P1 P=CP:(1-P) P<<2lP≈P 错3个或4个码元的概率更小→总的错误概率为错4个至7个码元的概率更小→总的错误概率为 P 采用(7,4)码,传输带宽增加若白噪声的功率谱密度以单极性信号为例,若P=10-相当信噪比18.63dB 大到4倍信号功率不变→信噪比下降243dB→每个码元的误码率P。增加纠错编码后,信噪比下降2.43dB→16.20dB→P"6、3×104 51 8

2014-06-18 8  只能发现一个错码，但不能纠正错码  000  100 101  100 110100  8种组合中只使用4种： 000 011 101 110 (奇数个0)  接收端可发现任一码组只出现一个错码的情况，不能发现出现两个错码的情况  000  100 001 001 (禁用码：不使用的码组)  000  011 101 110 (可用码组)  要纠正错码，需增加码位富余度 51 43  8种组合中只使用2种：000 111  可以发现出现1个或2个错码的情况  000  100 001 001， 000  110 101 011  要纠正错码，需有适当的假设：检测到错码，便认为只发生 1个错码(概率比出现2个或3个错码的概率大得多)  000  100  000  8种组合中只使用2种：000 111，可用于检测2个错码或纠正 1个错码  3 bit码组可视为：第一位为信息码元，后两位为监督码元结论：附加监督码元可使码组有一定的检错甚至纠错能力  两个基本概念：码距和最小码距  码距d：码集(码组集合)中任意两个码组间对应位上数字不同的个数，称为这两个码组的汉明距离，简称码距  000,111d=3；011,101d=2；100,101d=1 51 44  最小码距d0：码集中，各码组间汉明距离的最小值  {000,001,010,011,100,101,110,111}d0=1  {000,011,101,110}d0=2  {000,111}d0=3  码距反映了码组间的差别  最小码距反映了码集中任意两个码组间的最小差别  最小码距越大，某一码组错为另一码组的可能性越小，检错或纠错能力越强  最小码距是衡量纠错编码检错、纠错能力的指标  若最小码距满足d0e+1，则具有检测e个错码的能力(最小码距比错码个数e至少大1时，不可能变成另1个许可码组)  {000,001,010,011,100,101,110,111}d0=1e=0  {000,011,101,110}d0=2e=1  {000,111}d0=3e=2  若最小码距满足d02t+1，则具有纠正t个错码的能力(某码组发生t个错码后，形成的错误码组比另一许可码组错t 个码后的距离至少大两种错误不会混淆) 51 45 1，两种错误不会混淆)  {000,001,010,011,100,101,110,111}d0=1t=0  {000,011,101,110}d0=2t=0  {000,111}d0=3t=1  若最小码距满足d0t+e+1(e>t)，则具有纠正t个错码、同时检测e个错码的能力  {000,111}d0=3e=1，t=0  {0000,1111}d0=4e=2，t=1 00010000 0011？  (7,4)码是一种汉明码，4 bit信息码元+3 bit监督码元=7个码元  设未采用纠错编码时传输速率为R bit/s  每个码元所占时间为1/R s  每个码组(4个码元)所占时间T=4/R bit  设每个码元的错误概率为Pe1 采用(7,4)码，在T 时间内需传输7个码元每个码元所占时间为4/7R bit传输带宽增加到7/4 二进制纠错 51 46 信源 R bit/s 编码器 7R/4 bit/s 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 t t 1/R s 4/7R s T T  未采用纠错编码时，传输1个码组错1个码元的概率为： 1 1 1 3 1 1 1 1 4 (1 ) 4 1 e P P C Pe Pe P P e       此时错2个码元的概率为： 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 4 (1 ) 6 4 1 P C P P P Pe Pe P P e e e         错3个或4个码元的概率更小  总的错误概率为： 51 47  错3个或4个码元的概率更小  总的错误概率为： 1 1 4 Pe  P  Pe  采用(7,4)码，传输带宽增加到7/4倍，若白噪声的功率谱密度不变  噪声功率(=功率谱密度带宽)增大到7/4倍  信号功率不变  信噪比下降到4/7，即下降2.43 dB  每个码元的误码率P'e1增加  但此时错1个码元会被纠正，错2个码元的概率为： 2 2 1 1 5 1 2 1 2 2 7 (1 ) 21 1 e P P C Pe Pe P P e             错4个至7个码元的概率更小  总的错误概率为：  错3个码元的概率为： 2 2 1 3 3 1 1 4 1 3 1 3 3 7 (1 ) 35 21 1 P C P P P Pe Pe P P e e e                51 48 错个至个码元的概率更小总的错误概率为 2 Pe P2 21Pe1       以单极性信号为例，若Pe1=10-5  相当于信噪比18.63 dB 5 1 4 4 10 Pe  Pe    纠错编码后，信噪比下降2.43 dB  16.20 dB  P'e1=6.310-4