2014-06-18 窄带信号 H换:H()=-S8m(o) x(o=a(o)(@f+0)>x(0=a(osin(of +e) ()4→x()=14a+a)-1A(a-a) 0=2xod0=4a+)-4-y“如 (m)·[ro(a-c)+r6(a+b) 42、4a+%kda-4(o-akd 存在区城2a,0),xo2存在区端0,2a) =我(+a)+A(-0) 存在区域(-2a,0) xoy存在区城o,2a "鸟些 M 当6非零常数时: (o")edo-e y x(t)=a()cos(@n +6)=a(r)cos @,f cos6-a()sin@,tsinG (ev-elv)A( [a(r)cos e]cos@[(r)sin e]sin@ot H(o) i(=[a(t)cose]sin@of+[a(t)sin @]cos oor (-2jsinoo A(@)ejido a(o)sin@of cos 0+a(n)cos@ e a(t)sin(@or+o) 当8n相对c0sa是慢变化信号时: a(n)cose(OJcosof-la(nsin e(o)js x(t=a(t)sin ool 只要频谱限制在asa 同样可以推导出 A(n=a(t)cose(O)Jsin@ f +[a(n)sine(oJcos@ol a(r)sin @fcose(r)+a(r)cos@ sine(n) x(r)=a(r)sin@of i(o)=-a(r)cost =a(t)sn{a【+( ·随机信号未来值随时间推移,是随机变化的,只能用橛率分 第二章随机信号分析 语音信号、生物电信号、地震信号等均为隨机信号 随机信号( Stochastic Signals) §21随机信号的统计分布描述 也称为不确定信号,不是时间的确定函数 ↑随机信号的一个样本 给定某一时 是随机的 相同的条件 确地重现信号
2014-06-18 1 窄带信号的H变换只需对快变化的载波进行H变换 ( ) ( ) cos( ) ˆ( ) ( )sin( ) x t a t 0t x t a t 0t 为简便起见，令： 窄带信号： 证： ( )*[ ( ) ( )] 2 1 ( ) 0 0 X A x t a t t0 0 ( ) ( ) cos 52 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 A 0 A 0 0 -0 -0-c |X()| -0+c 0-c 0+c 存在区域(0，20 存在区域 ) (-20，0) H变换： 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) 4 [ ( ) ( )] 2 1 2 1 ( ) 2 1 ˆ( ) A e d A e d j x t X e d j A A e d j t j t j t j t H ( ) 2 1 ( ) 2 1 ˆ( ) ( ) 0 0 F x t X H jA jA H() jSgn() |X( )| 存在区域(0，20 存在区域 ) ( 2 0) 52 2 第一项令： 0 d d 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ˆ( ) A e d A e d j x t j t j t 第二项令： 0 d d 0 -0 -0-c |X()| -0+c 0-c 0+c 存在区域(0，20 存在区域 ) (-20，0) t A e d j t A e d j e e A e d j e A e d e A e d j j t j t j t j t j t j t j t j t j t 0 ( ) 1 sin ( 2 sin ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - |A()| 52 3 同样可以推导出： c 0 x t a t t0 ˆ( ) ( )sin a t t t A e d 0 0 ( )sin ( ) 2 sin 原因： c c x t a t t x t a t t 0 0 ( ) ( )sin ˆ( ) ( ) cos 当为非零常数时： ( )sin( ) ( )sin cos ( ) cos sin ˆ( ) [ ( ) cos ]sin [ ( )sin ]cos [ ( ) cos ]cos [ ( )sin ]sin ( ) ( ) cos( ) ( ) cos cos ( )sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a t t a t t a t t x t a t t a t t a t t a t t x t a t t a t t a t t 当( )相对 是慢变化信号时 52 4 a t t t a t t t x t a t t t a t t t a t t t 0 0 0 0 0 [ ( ) cos ( )]cos [ ( )sin ( )]sin ( ) ( ) cos[ ( )] ( ) cos cos ( ) ( )sin sin ( ) 当(t)相对cos0t是慢变化信号时： ( )sin[ ( )] ( )sin cos ( ) ( ) cos sin ( ) ˆ( ) [ ( ) cos ( )]sin [ ( )sin ( )]cos 0 0 0 0 0 a t t t a t t t a t t t x t a t t t a t t t 只要频谱限制在||0 第二章 随机信号分析 随机信号(Stochastic Signals)： 也称为不确定信号 不是时间的确定函数 52 5 ， 给定某一时间，信号值是随机的 信号未来值不能用准确的时间函数式来描述 信号未来值无法准确预测 相同的条件下也不能准确地重现信号 随机信号的一个样本 随机信号未来值随时间推移，是随机变化的，只能用概率分 布来描述，或用统计平均值来表征，所以又称统计时间信号 语音信号、生物电信号、地震信号等均为随机信号 §2.1 随机信号的统计分布描述 52 6 t
2014-06-18 、随机信号的一维和二维分布 波形记录称为 A/L 随机信号X(在1时刻 集合” t的状态为X1)(一维随 机变量) 州时事 样本空间中的每 个波形记录称为 洋本函数”或 “实现 ·设Ⅺ1)的取值小于x1的概率为Pt1s1l ·所有可能出现的样本函数组成一个集合:{x,)取u PX1)≤x1是x和1的函数,记为: ·分析集合{x。(0)→随机信号的统计特性 F(x1;1)=P[X(1)≤x] 定义F1(x;t)为随机信号X(在时刻的一維分布函数(one dimension distribution function) 一维分布函数和概率密度函数的关系可表示为 为描述连续随机变量取各个可能值的概率的大小,求落入 与x+A之间的概率Pxs(1)<x+△x是有意义的 F(x,0)=P[Y()<x]= p(n, )dn p (ex, /)=GH(x, D) PI,sX()<x,+Ar] aF(xi;Ln) r,+d 表示随机变量落入极小区间的平均概率,即概率密度函数 probability density function,PDF),简称概率密度 变量穿过 xx1+d狭 因为它是在1时刻观察随机信号所取得的结果,所以又称之为 缝的概率 X的一维概率密度 按连续随机信号定义,在∞ 间存在无穷多个随机变 量,所以随机信号同时是状态x 的函数,常用概率密度 函数px)来描述其统计特性 ·几种常见的一维概率密度函数 ◆高斯( Gaussian分布,又称正态分布 ◆均匀分布:随机变量在区间,b取值的概率相等 (x-H2) P(x)=b a≤x≤b 52
2014-06-18 2 t t X(t) ( ) 1 x t ( ) 2 x t 全部可能观测到 的波形记录称为 “样本空间”或 “集合” 样本空间中的每 52 7 t ( ) 3 x t 所有可能出现的样本函数组成一个集合：{xn(t)}或X(t) 分析集合{xn(t)} 随机信号的统计特性 样本空间中的每 个波形记录称为 “样本函数”或 “实现” X(t1)=xi (t1) 一、随机信号的一维和二维分布 随机信号X(t)在t1时刻 的状态为X(t1)(一维随 机变量) 52 8 t1 设X(t1)的取值小于x1的概率为P[X(t1)x1] ( ; ) [ ( ) ] 1 1 1 1 1 F x t P X t x P[X(t1)x1]是x1和t1的函数，记为： 为描述连续随机变量取各个可能值的概率的大小，求落入x 与x+x之间的概率P[xX(t1)<x+x] 是有意义的 定义 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 [ ( ) ] ( ; ) ( ; ) lim x F x t x P x X t x x p x t x 表示随机变量落入极小区间的平均概率，即概率密度函数 定义F1(x1；t1)为随机信号X(t)在t1时刻的一维分布函数(one dimension distribution function) 52 9 表示随机变量落入极小区间的平均概率，即概率密度函数 (probability density function, PDF)，简称概率密度 因为它是在t1时刻观察随机信号所取得的结果，所以又称之为 X(t)的一维概率密度 按连续随机信号定义，在-<t<+区间存在无穷多个随机变 量，所以随机信号同时是状态x和时间t的函数，常用概率密度 函数p(x,t)来描述其统计特性 一维分布函数和概率密度函数的关系可表示为： x F1(x,t) P[X (t) x] p1(,t)d x F x t p x t ( , ) ( , ) 1 1 x x1+dx p1(x1,t1 物理意义： )dx t1时刻随机 变量穿过 52 10 t t1 x1 变量穿过 x1~x1+dx狭 缝的概率 几种常见的一维概率密度函数： 0 else 1 ( ) a x b p x b a 均匀分布：随机变量在区间[a，b]取值的概率相等 p(x) 52 11 0 x 1/(b-a) a b 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) x x x x p x 高斯(Gaussian)分布，又称正态分布： p(x) 2 x 1 52 12 0 x-x x x+x x x
2014-06-18 瑞利( Ravleigh分布 amx≥0a>0 P(x)=02 ·以上仅在r时刻观察和描述随机信号X(n ·设X(1)的取值小于x1且X(2)的取值小于x2的联合概率为 只用一维分布函数或概率密度函数来表征随机信号的统计 P(1≤x1(12)≤x2l 特性是不全面的,不能反映随机信号在各个时刻的内在联系 PY1)sr1X(2)sxl是x1、x2和1、的函数,记为: 考察随机信号在两个时刻和2的联系 F2(x1,x2,12)=PX(1)≤ t, and X(2)≤x2l 定义F2(x1,x2;12为随机信号Y(在1和2时刻的二维分布 和时刻的状态分 函数( two dimension distribution fu 别为H(1)和 定义 平州品时 P2(x12x21,t2)= Fx1≤X(1)<x+A1andx2≤X(12)<x2+Ax2l 为X(的二维概率密度函数 随机信号的n维分布 ·一般用足够多时刻r12、…L来定义n个随机变量X1) ·用m维联合分布函数 Goint distribution function来描述 PX(1)≤ x,and x(t2)≤x2and…andX(tn)≤xn 随机信号X的m维联合概率密度函数( joint probability density funetion)为 Palrsxxifp. f2)dr dxy a F(x,x, 物理意义:随机变量1时刻穿过xrx1+dr狭且2时刻穿 ·n越大,用n维PDF描述随机信号的统计特性越全面 过x2-x2+dx狭缝的概率 实际中为简便起见,往往只考虑一阶和〓阶概率密度函数
2014-06-18 3 0 else 0 2 exp ( ) 2 2 2 x x x p x 瑞利(Rayleigh)分布： p(x) 52 13 0 x 0 else 0, 0 ( ) ae x a p x ax 指数分布： p(x) 52 14 0 x 以上仅在t1时刻观察和描述随机信号X(t) 只用一维分布函数(或概率密度函数)来表征随机信号的统计 特性是不全面的，不能反映随机信号在各个时刻的内在联系 考察随机信号在两个时刻t1和t2的联系 随机信号X(t)在t1 和t2时刻的状态分 为 52 15 t1 t2 别为X(t1)和X(t2) 设X(t1)的取值小于x1且X(t2)的取值小于x2的联合概率为 P[X(t1)x1,X(t2)x2] ( , ; , ) [ ( ) and ( ) ] 2 1 2 1 2 1 1 2 2 F x x t t P X t x X t x P[X(t1)x1,X(t2)x2]是x1、x2和t1、t2的函数，记为： 定义F2(x1, x2 ; t1, t2)为随机信号X(t)在t1和t2时刻的二维分布 函数(two dimension distribution function) 52 16 定义 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0 2 1 2 1 2 ( , ; , ) [ ( ) and ( ) ] ( , ; , ) lim 1 2 x x F x x t t x x P x X t x x x X t x x p x x t t x x 为X(t)的二维概率密度函数 x1 x1+dx1 x2 x2+dx2 52 17 物理意义：随机变量t1时刻穿过x1~x1+dx1狭缝且t2时刻穿 过x2~x2+dx2狭缝的概率 t t1 x1 p2(x1, x2;t1, t2)dx1dx2 t2 x2 一般用足够多时刻t1、t2、…、tn来定义n个随机变量X(t1)、 X(t2)、…、X(tn) 用n维联合分布函数(joint distribution function)来描述： 二、随机信号的n维分布 [ ( ) and ( ) and and ( ) ] ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n P X t x X t x X t x F x x x t t t 52 18 随机信号X(t)的n维联合概率密度函数 (joint probability density function)为 n越大，用n维PDF描述随机信号的统计特性越全面 实际中为简便起见，往往只考虑一阶和二阶概率密度函数 n n n n n n n n x x x F x x x t t t p x x x t t t 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , )
2014-06-18 三、平稳随机信号 §22随机信号的平均表征 ·随机信号可以分为:平稳 stationary)随机信号和非平稳 随机信号的集平均表征量 ·平稳随机信号:随机信号的统计特性与开始进行统计分析 value):数学期望( mathematical expectation)、 的时刻无关 一阶原点矩( moment about origin) 对于n维联合分布函数和概率密度函数,有 随机信号X(0的所有样本函数在同一时刻的取值xYn是 随机变量,其统计平均值称为集平均,简称均 Fn(x1,x2,…,xn;1,t2;…,Ln) 若x的概率密度函数为p(xn),则随机信号的均值为: Fn(x,x2,…,xn;1+r,12+r,…n+r) ELX(l=xp(s,I)dr=a(0) Pn(x1,x2…,xn,1,12…,n) 若随机信号是平稳的,→x的概率密度函数p(x,n与时间无 =Pn(x1,x2…,xn1+r,12+r,…,tn+r) 关,记为p(x),则随机信号的均值为常数 ELX(O= xp(x)dr=a 着随机信号的幅度是高散的,取值为xn的概率为Pxn1),则 它的均值为 3、方差( vanance):二阶中心矩 EX()=∑xP(x,1)=a() ·方差说明随机信号各可能值对箕平均值的偏离程度,是随 机信号在均值上下起伏程度的一种度量 对平稳随机信号,类似有: 方差定义为可能值偏离其平均值的平方的数竽期望 Ex()=∑xP(x)=a DX)=印x(0)-a(o=1x-a0fp(x,)d 2、均方值( mean square value):二阶原点矩 方差的平方根称为随机信号的标准差( standard deviation), 也称均方差或一阶中心矩 随机信号X(0的所有样本函数在同一时刻的取值的平方 的统计平均位称为均方值 o()=√DX( 对平稳随机信号,有 印Xx()]=|xFPp(x,a DLX(=ELX(-afl=Clx-al' p(r)dr=o2 21 ·物理意义 4、自相关函数( autocorrelation function) 若X(代变1欧爆电阻上的噪产电压,则 自相关函数(二阶混合原点矩):表征一个随机信号在任意 数学期望的平方等效于某一时刻消耗在电阻上的直流功率 两个时刻r1、l2的状态间的相关程度 x214)为相应的二维概率密度函数,则X的自相 均方值表示消耗在电阻上的瞬时功率统计平均值 ◆方差代表消耗在电阻上的瞬时交漉功率统计平均值 R2(1,l2)=Ex(1)X(U2 (方差)为概率分布的高散程度提供一种度量 [上P2(x,:1M山 过程偏高均值的高散程度 为更全面掌握随机信号的统计特性,二阶以上 对平稳随机信号,有 其它方面,如分布函数的对称性(三阶中 线的快慢等来描述随机过程的数字特征 R(14)=R(1-)=R()=厂⊥x2(x,不 其中rtr12 平稳随机信号的自相关函数只与相对 时间间隔r有关,与时间起点无关 4
2014-06-18 4 随机信号可以分为：平稳(stationary)随机信号和非平稳 (non-stationary)随机信号 平稳随机信号：随机信号的统计特性与开始进行统计分析 的时刻无关 对于n维联合分布函数和概率密度函数，有： 三、平稳随机信号 52 19 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n p x x x t t t p x x x t t t F x x x t t t F x x x t t t 1、均值(mean value)：数学期望(mathematical expectation)、 一阶原点矩(moment about origin) §2.2 随机信号的平均表征 一、随机信号的集平均表征量 随机信号X(t)的所有样本函数, 在同一时刻t的取值x=X(t)是 一随机变量，其统计平均值称为集平均，简称均值 若 的概率密度 数为 则 机信 的均值为 52 20 E[X (t)] xp(x,t)dx a(t) 若x的概率密度函数为p(x,t)，则随机信号的均值为： 若随机信号是平稳的，x的概率密度函数p(x,t)与时间无 关，记为p(x)，则随机信号的均值为常数： E X t xp x dx a [ ( )] ( ) 若随机信号的幅度是离散的，取值为xn的概率为P(xn,t)，则 它的均值为： E X t x P x a n [ ( )] n ( n ) 对平稳随机信号，类似有： E[X (t)] x P(x ,t) a(t) n n n 52 21 E[| X (t) | ] | x | p(x,t)dx 2 2 2、均方值(mean square value)：二阶原点矩 随机信号X(t)的所有样本函数, 在同一时刻t的取值x的平方 的统计平均值称为均方值 3、方差(variance)：二阶中心矩 方差说明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度, 是随 机信号在均值上下起伏程度的一种度量 方差定义为可能值偏离其平均值的平方的数学期望： D[X (t)] E[| X (t) a(t)| ] | x a(t)| p(x,t)dx 2 2 方差的平方根称为随机信号的标准差( t d d d i ti ) 52 22 (t) D[X (t)] 方差的平方根称为随机信号的标准差(standard deviation)， 也称均方差或一阶中心矩 对平稳随机信号，有： 2 2 2 [ ( )] [| ( ) | ] | | ( ) D X t E X t a x a p x dx 若X(t)代表1欧姆电阻上的噪声电压，则： 数学期望的平方等效于某一时刻消耗在电阻上的直流功率 均方值表示消耗在电阻上的瞬时功率统计平均值 方差代表消耗在电阻上的瞬时交流功率统计平均值 物理意义： 阶中心矩(方差)为概率分布的离散程度提供 种度量 52 23 二阶中心矩(方差)为概率分布的离散程度提供一种度量， 用来描述随机过程偏离均值的离散程度 可以推想：为更全面掌握随机信号的统计特性，二阶以上 的高阶中心矩则从其它方面，如分布函数的对称性(三阶中 心矩)、分布曲线的快慢等来描述随机过程的数字特征 4、自相关函数(autocorrelation function) * 2 * 1 2 1 ( ; ) ( , ) [ ( ) ( )] x x p x x t t dx dx R t t E X t X t x 自相关函数(二阶混合原点矩) ：表征一个随机信号在任意 两个时刻t1、t2的状态间的相关程度 设p2(x1,x2;t1,t2)为相应的二维概率密度函数，则X(t)的自相 关函数为： 52 24 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x p (x , x ;t ,t )dx dx 对平稳随机信号，有： 2 1 2 1 2 * 1 2 1 2 R (t ,t ) R (t,t ) R ( ) x x p (x , x ; )dx dx x x x 其中 =t1-t2 平稳随机信号的自相关函数只与相对 时间间隔 有关，与时间起点无关
2014-06-18 当r=0时,随机信号的自相关值即其均方值 6、平稳随机倍号与广义平稳随机信号 R,(O)=xp(kr=[xf p(rkx=ELLX(orl (1)平稳随机信号( Stationary random signal) 随机信号X,给定时刻1,随机变量X1)的概率密度函 表示随机信号的平均功率 数为x1):给定时刻、2,随机变量Y1和X(2)的概率密度 函数为px1x2:12 Ln,随机变量 ·互相关函数:表征两个随机信号分别在两个时刻1、2的 若任意移动一个时间△后,各概率密度函数仍保持不变 状态间的相关程度 为两个随机信号的二维联合概率密度函数, p(x1,h1)=p(x1,1+△n 则X(A和 p(x1,x2;t1,2)=P(x1,x2+M,2+△) R(4.)=EX(G()=x2(xy4hh p(x1,…,xn1,…,n)=p(x1…,xn;+△t,…,n+A)(3) 对平稳随机信号,互相关函数只是r的函数: 满足(1)的 满足(2)的 R, (r)=ELY(Y(-x)]=lr'P2(r,),rkdrdcy 满足(3)的 机信号 概率密度函数不随时间平移而变化的一类随机信号,称 对于平稳随机信号,且有 I(OF=DIX(OFELX(OI=0+laF 不满足上式的称为非平稳随机倍号 机信号也称为严格平稳随机信号或狭义平稳随 证:xo)=1x0-a[1x-apxk[(x-0x-0)xkh 时于平稳随机信号,有 wx)+a上 ELX(]= xp( =印X()]-aa-aa+|a11=印X)P}|a ElX(F]=DIX(OlaF=a+laF F】=1xFp(xlh ·平稳随机信号相关函数的主要特征 DLX(]=ELLX(-al']=[lx-af' p(rhdrsd' 1)r=0时的自相关函数具有最大值:R(O)≥R(r R()=x()x(-=厂广x(,x血 R,(r)=ELX(Y(-r)]=Cr'ps(x,,rydudy 对实随机信号,其相关函数为实偶函数 R2(-r)=R2(r),Rx(-r)=R(r) 3)自相关函数的极限值: 例1试求瑞利型概率密度函数的均值、均方和方差 lim r,(r)EXO=al 为实信号,且x)={a R,(O)=El X(OR 随机信号Ⅺ(n的均值为0时,有 w-2) =0+e (2)广义平稳随机信号 广义平稳随机信号:坳值、均方、方差与时间无关,相 o 狭义平稳随机信号一定是广义随机平稳信号 广义平稳随机信号不一定是狭义随机平稳信号 5
2014-06-18 5 当 =0时，随机信号的自相关值即其均方值： (0) ( ) | | ( ) [| ( )| ] * 2 2 R xx p x dx x p x dx E X t x 表示随机信号的平均功率 5、互相关函数(cross-correlation function) 互相关函数 ：表征两个随机信号分别在两个时刻t1、t2的 状态间的相关程度 52 25 R t t E X t Y t xy p x y t t dxdy xy ( , ) [ ( ) ( )] ( , , ; ) 2 1 2 * 2 * 1 2 1 R E X t Y t xy p x y dxdy xy ( ) [ ( ) ( )] ( , , ) 2 * * 状态间的相关程度 设p2(x, y;t1,t2)为两个随机信号的二维联合概率密度函数， 则X(t)和Y(t)的互相关函数为： 对平稳随机信号，互相关函数只是 的函数： (1) 平稳随机信号(Stationary random signal) 对一随机信号X(t)，给定时刻t1，随机变量X(t1)的概率密度函 数为p(x1;t1)；给定时刻t1、t2，随机变量X(t1)和X(t2)的概率密度 函数为p(x1,x2;t1,t2)；…；给定时刻t1、t2、…、tn，随机变量 X(t1)、X(t2)、…、X(tn)的概率密度函数为p(x1,x2,…,xn;t1,t2,…, tn) 若任意移动一个时间t后，各概率密度函数仍保持不变： 6、平稳随机信号与广义平稳随机信号 52 26 满足(1)的，称为一阶平稳 满足(2)的，称为二阶平稳 满足(3)的，称为n阶平稳随机信号 ( , ) ( , ) 1 1 1 1 p x t p x t t ( , ; , ) ( , ; , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 p x x t t p x x t t t t (1) (2) ( , , ; , , ) ( , , ; , , ) (3) 1 1 1 1 p x x t t p x x t t t t n n n n 概率密度函数不随时间平移而变化的一类随机信号，称 为平稳随机信号 不满足上式的称为非平稳随机信号 n阶平稳随机信号也称为严格平稳随机信号或狭义平稳随 机信号 对于平稳随机信号，有： E X t xp x dx a [ ( )] ( ) 52 27 E[| X (t) | ] | x | p(x)dx 2 2 2 2 2 [ ( )] [| ( ) | ] | | ( ) D X t E X t a x a p x dx 2 1 2 1 2 * 1 2 * R ( ) E[X (t)X (t )] x x p (x , x ; )dx dx x R E X t Y t xy p x y dxdy xy ( ) [ ( ) ( )] ( , , ) 2 * * 对于平稳随机信号，且有： 2 2 2 2 2 * * 2 2 2 * * * * [| ( )| ] [ ( )] | | | | [| ( ) | ] | | 1 [| ( )| ] | | ( ) ( ) ( ) ( ) E X t D X t a a E X t a a a a a E X t a xx p x dx a x p x dx a xp x dx aa p x dx 证：D X t E X t a x a p x dx x a x a p x dx [ ( )] [| ( ) | ] | | ( ) ( )( ) ( ) 2 2 * 2 2 2 2 E[| X (t)| ] D[X (t)] | E[X (t)]| | a | 52 28 E[| X (t)| ] D[X (t)] | a | | a | (0) ( ) Rx Rx 平稳随机信号相关函数的主要特征 1) 时的自相关函数具有最大值： 2) 共轭对称性： ( ) ( ), ( ) ( ) * * Rx Rx Ryx Rxy 对实随机信号，其相关函数为实偶函数： ( ) ( ), ( ) ( ) Rx Rx Ryx Rxy (0) [| ( ) | ] lim ( ) | [ ( )]| | | 2 2 2 | | R E X t R E X t a x x 3) 自相关函数的极限值： lim ( ) 0 | | Rx 随机信号X(t)的均值为0时，有： 52 29 | | x (2) 广义平稳随机信号 广义平稳随机信号：均值、均方、方差与时间无关，相 关函数只与时间间隔 有关 狭义平稳随机信号一定是广义随机平稳信号 广义平稳随机信号不一定是狭义随机平稳信号 例1 试求瑞利型概率密度函数的均值、均方和方差 解： 0 0 0 2 exp ( ) 2 2 2 x x x x x为实信号，且 p x 2 exp 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) exp 0 2 2 2 0 2 2 2 2 dx x x dx x x x E x xp x dx 52 30 2 2 1 2 2 exp 2 1 2 1 2 2 exp 2 1 2 2 0 exp 2 ( 1) exp 2 ( )exp 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 dx x dx x dx x dx x x x
2014-06-18 例2试求随机相位正弦波x(=Asin(aM 值 方差和自相关函数,其中4和a c(2-+ 0~2π间均匀分布的随机变量 解 在0-~2m间均匀分布→p(O)= 0≤6<2丌 (-2x)e Ex(o]=[ Asin(0/+0)P(0)de=l Asin(o!+)de + d(-2d)1-2a A(sin@ot cos 8+ cos@ 0)-de D(x)=E(x2)-[E(x)2=2a2 xl2=042 =0+0=0 D(x(0]=LIAsin(@J+0)-of p(0)de=[ dsin (e/ +0)-de R(12)=Asin(a1+sinl(1-r)+p(O)dO Al sin(o, +0)sinoo( -r)+Ode =--20202020 23icos0r-cosloo(21, -1)+20)de (21-r)cos 20-sin @(21-r)sin 2ad8 R(12)=Ex(4)x(2)=xx,x:1,2 0+0=-A[=R, (r) x和x2郁是随机变量的函数,则有: 均值和方差是常数,自相关函数只与r有关→广义平稳 元随机波形的均值、方差和自相关函数 x=0)=P(x=A)= 1次,但每次的具体取值是随机且互相独 E[xo)=0.P(x=0)+4P(x=A=4.1=4 立的,取0、A的概率各为1/2 D[x() 「1 A21A21A2 R (r)=ELx, x,I 只有四种可能性: (1)x=A,xx=A(2).x=A,x-=0 (1).x,=0,x-=A,(2).x1=0,x
2014-06-18 6 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 3 2 2 2 ( 2 ) exp 2 ( ) exp 2 exp 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) exp dx x x x x dx x x x dx x x E x x p x dx 52 31 2 2 2 2 2 2 0.43 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 D x E x E x 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 exp 2 2 2 exp 2 0 2 exp x x d x dx x x 例2 试求随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+)的均值、 方差和自相关函数，其中A和0为常数，为 0～2间均匀分布的随机变量 解： 0 else 0 2 2 1 0 2 ( ) 在 ～ 间均匀分布 p 1 [ ( )] i ( ) ( ) i ( ) 2 E t A t d A t d 52 32 0 0 0 cos sin 2 1 sin cos 2 1 2 1 (sin cos cos sin ) 2 [ ( )] sin( ) ( ) sin( ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 A t d A t d A t t d E x t A t p d A t d sin 2 sin 2 4 cos 2 cos 2 2 4 [cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 ] 2 4 cos(2 2 ) 2 4 4 1 2 1 cos(2 2 ) 2 1 [ ( )] | sin( ) 0 | ( ) sin ( ) 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 t d A t d A A t t d A A t d A d A d t A D x t A t p d A t d 52 33 sin( ), sin( ) sin[ ( ) ] ( , ) [ ( ) ( )] ( , ; , ) 1 0 1 2 0 2 0 1 1 2 1 2 1 2 * 2 1 2 * 1 2 1 x A t x A t A t R t t E x t x t x x p x x t t dx dx x 2 0 0 2 2 2 A A x1和x2都是随机变量的函数，则有： cos 1 1 {cos cos[ (2 ) 2 ]} 2 1 2 1 2 1 sin( )sin[ ( ) ] ( , ) sin( ) sin[ ( ) ] ( ) 2 0 2 0 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 x A d A t d A t t d R t t A t A t p d 52 34 cos ( ) 2 1 cos 0 0 2 1 cos (2 ) cos 2 sin (2 )sin 2 2 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 0 1 0 1 2 0 0 A A Rx A t t d 均值和方差是常数，自相关函数只与 有关 广义平稳 例3 试求二元随机波形的均值、方差和自相关函数， 其中信号取值是二值的(0或A)，每隔时间间隔T 取值变1次，但每次的具体取值是随机且互相独 立的，取0、A的概率各为1/2。 t x(1) T 2T 3T 4T 5T 6T A 52 35 T 2T 3T 4T 5T 6T t x(2) T 2T 3T 4T 5T 6T A t x(N) T 2T 3T 4T 5T 6T A 解： 2 1 P(x 0) P(x A) 2 2 1 [ ( )] 0 ( 0) ( ) A E x t P x A P x A A 1 1 ( ) 2 ( 0) 2 0 2 [ ( )] ( ) 2 2 2 2 2 2 A A A P x A A P x A A A D x t E x t 52 36 4 2 4 2 4 ( ) [ ] * x t t R E x x 只有四种可能性： (1). 0, ; (2). 0, 0 (1). , ; (2). , 0; t t t t t t t t x x A x x x A x A x A x
2014-06-18 R,(r)=E[xx-]=A- A P(x,=A, x-r =A) P(x1=A)= +A0·P(x,=A,x=0)+0·A·P(x,=0,x=A) P(x=A 关键:求P( PO )=1-P(x-=0x,=A) (1)、当rT时 必定处于不同的两个取值区间,因 x和x取值改变应满足两个条件 此取值互相独立, a、它们处于不同的时间间隔,记为事件1,其概率为P1 b、取值发生变化,记为事件2,其概率为P2 P(x,=A,x=A)=P(x,=A)·P(x-=A)== τ=0时,它们一定不处于不同的时间间隔,P=0 R()=4,P(x=A,x-=0。A|t 随着r增大,它们处于不同的时间间隔的概率增大 rT时,它们一定处于不同的时间间隔,P1 (2)、当rT时,有: P P(x,=A,x-r=A)=P(x-r=A* =A)P(x,=A) 根据题意 k(r)=2 A'G-ITlITkT 事件1和事件2互相独立 同时发生的率P1为 Pr=pp=lrl 1 rl 2 P(x-=Ax1=A)=1-P(x-:=0|x,=A) R P(=A,I-A)=IP(x, =Al =4)=Ji-Irl (r rk≤T 二、随机信号的时间平均表征量 3、时间方差 :机僧号趣子类摔孟数的鲁号的损度数 用某一个样本函数来确定时间平均衰征量 1、时间平均值 表示样本函数的交流功率 对不同样本函数,时间方差可能不同 设x(为随机信号的一个样本函数,则时间平均值为 x( (Ox(I-r) x(的直流分量 ·对X(的不同的样本函数,m可能是不同的 5、时间互相关函数 2、时间均方值 =lim x(y(-ryr 4x0把上x0d表示信号的功率
2014-06-18 7 0 0 ( 0, 0) ( , ) 0 ( , 0) 0 ( 0, ) ( ) [ ] ( , ) 2 * P x x A P x A x A A P x A x A P x x A R E x x A A P x A x A t t t t t t t t x t t t t 关键：求 P( x A, x A) t t (1)、当| |>T 时，xt 和xt-必定处于不同的两个取值区间，因 此取值互相独立，则有： 52 37 4 1 2 1 2 1 P( xt A, xt A) P( xt A) P(xt A) T A R A P xt A xt A , | | 4 ( ) ( , ) 2 2 此取值互相独 ，则有 (2)、当| |T 时，有： P( x A, x A) P(x A| x A)P( x A) t t t t t 2 1 P( xt A) P(x A| x A) 1 P(x 0 | x A) t t t t xt 和xt-取值改变应满足两个条件： a、它们处于不同的时间间隔，记为事件1，其概率为P1； ( | ) 2 1 P( xt A, xt A) P xt A xt A 52 38 T P | | 1 、它们处于不同的时间间隔，记为事件 ，其概率为 1； b、取值发生变化，记为事件2，其概率为P2 =0 时，它们一定不处于不同的时间间隔，P1=0 随着| |增大，它们处于不同的时间间隔的概率增大 | |=T 时，它们一定处于不同的时间间隔，P1=1 2 1 P2 P(xt A| xt A) 1 P(xt 0 | xt A) 事件1和事件2互相独立 同时发生的概率P12为： 根据题意： T T P PP 2 | | 2 | | 1 12 1 2 52 39 T T A Rx , | | 2 | | 1 2 ( ) 2 T P t t t t 2 | | 1 1 ( | ) ( | ) 12 T P xt A xt A P xt A xt A 2 | | 1 2 1 ( | ) 2 1 ( , ) else 4 | | 2 | | 1 2 ( ) 2 2 A T T A Rx Rx() 2 52 40 -T T A2/2 A2/4 1、时间平均值 1 T 二、随机信号的时间平均表征量 随机信号集平均表征量均基于信号的概率密度函数 随机信号是各类样本函数的集合 用某一个样本函数来确定时间平均表征量 设x(t)为随机信号的一个样本函数，则时间平均值为： 52 41 T T T x x t dt T m x t ( ) 2 1 ( ) lim mx是x(t)的直流分量 对X(t)的不同的样本函数，mx可能是不同的 2、时间均方值 T T T x t dt T x t 2 2 | ( )| 2 1 | ( ) | lim 表示信号的功率 3、时间方差 T T x T x x x t m dt T x t m 2 2 2 | ( ) | 2 1 | ( ) | lim 表示样本函数的交流功率 对不同样本函数，时间方差可能不同 4、时间自相关函数 52 42 x t x t dt T x t x t T T T ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) lim * * 5、时间互相关函数 x t y t dt T x t y t T T T ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) lim * *
2014-06-18 三、随机信号的各态历经性( Ergodic 2、时间自相关函数以概率1等于其集平均的自相关函数 随机信号的各态历经性(遍历性、埃尔性): 所有样本的统计特征和任何 x0)x(-)>1rxox-r)hExox(= 个单一样本在时间的统计特征是一致的 各态历经的随机信号,一个样本函数好象历经了随机信号 [xx,x;2=R() 其他样本函数的各种可能的状态 根据严格的条件判别广义平稳随机信号是否各态 各态历经的隨机信号,可以用时间平均值代替集平均值 各态历经的广义平稳的随机信号具有: 先假设广义平稳的随机信号是各态历经的,再用 设的合理性 1、时垧间平均值以概率1等于其集均值 X0)=x0)=LXO)-上h 例4验证假设随机相位正弦波x(=4na什具有各 态历经性的合理性,其中4和a为常数,的0~ 2π间均匀分布的随机变量 解:例2中已计算出: e E[x()=0 R,()=-Acosoor 2P- m=>地,0M=2C4m+0 wa-m方w2-+20)边 costar lim -cos(@ r+8) =-,mamn2y-+20-sm2-+20) lim aT lcos(-O.+6)-cos(o/+6) aIAcosar-2d14Te, 2xcos(28-0r)sin(207)=5A coser lim--F2sin Osin(-0T)=0 E[x()=,E[x(nx(t-r)=<x(t)x(t-r) 四、随机信号的功率谱 ·x(是能量信号,由能量信号的帕塞瓦尔定理得 随机信号的能量往往不是有限的,但其功率可以有限 广|xofd=⊥xo)do 对随机信号的一个样本x(n,其平均功率为 EC1-sof d =[axor ·平稳随机信号的平均功率P是{P的集平均值 ===Cx P=E(P) ELx-(o)Pl S(oyo 对平稳随机信号的一个样本(,取长度为r的一段 x()tkT/ S(c定义为平稳随机信号的功率谱密度函数,称功率谐 X,(o)=x,(e jo dt=hx()e e"dr
2014-06-18 8 三、随机信号的各态历经性(Ergodic) 随机信号的各态历经性(遍历性、埃尔性)： 随机信号在固定时刻的所有样本的统计特征和任何一 个单一样本在时间的统计特征是一致的 各态历经的随机信号，一个样本函数好象历经了随机信号 其他样本函数的各种可能的状态 各态历经的随机信号 可以用时间平均值代替集平均值 52 43 ，可以用时间平均值代替集平均值 各态历经的广义平稳的随机信号具有： 1、时间平均值以概率1等于其集均值： x t dt E X t xp x dx T x t T T T ( ) [ ( )] ( ) 2 1 ( ) lim 2、时间自相关函数以概率1等于其集平均的自相关函数： ( , ; ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) lim 1 2 1 2 * 1 2 * * * x T T T x x p x x dx dx R x t x t dt E X t X t T x t x t 一般而言，根据严格的条件判别广义平稳随机信号是否各态 历经是十分困难的 52 44 常用方法：先假设广义平稳的随机信号是各态历经的，再用 实验检验假设的合理性 例4 验证假设随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+)具有各 态历经性的合理性，其中A和0为常数，为0～ 2间均匀分布的随机变量 解：例2中已计算出： 0 2 cos 2 1 Rx ( ) A E[x(t)] 0 sin( ) 2 1 ( ) lim 2 1 ( ) lim 0 A t dt T x t dt T m x t T T T T T T T x 52 45 [ 2sin sin( )] 0 2 1 lim [cos( ) cos( )] 2 1 lim cos( ) 2 1 lim 0 0 0 0 0 0 0 T A T T T A T t A T T T T T T 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 * sin(2 2 ) 1 1 lim 1 cos 1 cos(2 2 ) 2 1 lim 2 1 cos 2 1 cos[2 2 ] 2 1 cos 2 1 cos cos[ (2 ) 2 ] 2 1 ( ) ( ) sin( ) sin[ ( ) ] A A t t dt T A A A A t A t x t x t A t A t T T T T 52 46 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 cos 2 1 2 cos(2 )sin(2 ) 4 1 lim 2 1 cos 2 1 [sin(2 2 ) sin( 2 2 )] 4 1 lim 2 1 cos 2 1 sin(2 2 ) 2 2 lim 2 cos 2 T A T A A T T T A A t T A A T T T T [ ( )] ( ) , [ ( ) ( )] ( ) ( ) * * E x t x t E x t x t x t x t 四、随机信号的功率谱 随机信号的能量往往不是有限的，但其功率可以有限 对随机信号的一个样本x(t)，其平均功率为： 平稳随机信号的平均功率P是{Px}的集平均值： x t dt T P T T T x / 2 / 2 2 | ( )| 1 lim 1 52 47 对平稳随机信号的一个样本x(t)，取长度为T的一段： / 2 / 2 ( ) ( ) ( ) 0 else ( ) | | / 2 ( ) T T j t j t T T T X x t e dt x t e dt x t t T x t x t dt T P E P E T T T x / 2 / 2 2 | ( )| 1 ( ) lim xT(t)是能量信号，由能量信号的帕塞瓦尔定理得： xT t dt XT d 2 2 | ( )| 2 1 | ( )| X d T x t dt E T P E P E T T T T T x 2 / 2 / 2 2 | ( )| 1 2 1 | ( ) | lim 1 ( ) lim / 2 / 2 2 2 2 | ( )| | ( )| | ( )| 2 1 T T T T E X d E x t dt E x t dt 52 48 S()定义为平稳随机信号的功率谱密度函数，简称功率谱 T E X S d S d T E X T T T T X X T T 2 2 | ( ) | ( ) lim ( ) 2 | ( ) | 1 lim 2 1 2
2014-06-18 平稳随机信号功率谱的主要性质: 实随机信号互功率谐的实部是偶函数,虚部是奇函数 功率谱是非负的实函数:Sx(a)20,S()=S(a) Sx(-0)=S(a) 随机僧号各态历经时,S(a)=lmof Sxr(o)=S*r(o) 实随机信号的功率谱是偶函数:Sx(-0)=Sx(a) →Sx()=Sx(-O) 类似定义平稳随机信号的互功率谱密度函数,简称互功率谱 互功率谱不等式:|Sx(o)≤Sx(o)S2( Elx,(o)r(o)] 五、随机信号的功率谱与相关函数的关系 平稳随机信号互功率谱的主要性质 X(oY(o) s(o)=把m EX,(o)Pin Ex 随机信号各态历经时,Sn()= 互功率谱的共轭对称性:Sx(m)=S"(a) Ex(ox(r)Je"eu-ndt'dr Sx(o)= R,(('e eurrdr'dr S(o)=lim (-1r(/T)R, (r)e"m dr=R,(r)e"otdr 维纳一辛钦定理 ∈[-712,T/2]t'∈[-7/2712]→r=t-t'∈[-7,门] 平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换 ==t-r→-T/2-r≤t≤T/2-r S(o)=R,(r)e/edr r∈[-7,0≤0→-7/2≤-712- Isrs12sT/2-r r∈0,T]≥0→-7/2-r≤-712≤rsT12-r≤T/2 R, ( r)=S(okedo 类似可推出 平稳随机信号的互相关函数与其互功率谐密度互为傅里叶变换 回=Ga+n(k-+t-)(xk-a Sn(o)=」R,( r)e"edr =回7-1DRr R,()=LS(oy/edo
2014-06-18 9 平稳随机信号功率谱的主要性质： 功率谱是非负的实函数： T X S T T X 2 | ( )| ( ) lim ( ) 0, ( ) ( ) * S X SX SX 随机信号各态历经时， 实随机信号的功率谱是偶函数： 类似定义平稳随机信号的互功率谱密度函数，简称互功率谱 EX ( )Y ( ) * ( ) () S X S X 52 49 T E X Y S T T T XY ( ) ( ) ( ) lim 平稳随机信号互功率谱的主要性质： 随机信号各态历经时， T X Y S T T T XY ( ) ( ) ( ) lim * 互功率谱的共轭对称性： ( ) ( ) * SXY SYX 互功率谱不等式： | ( )| ( ) ( ) 2 SXY SX SY ( ) ( ) * S XY S XY 实随机信号互功率谱的实部是偶函数，虚部是奇函数： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * XY YX XY XY XY YX S S S S S S 机 谱 52 50 五、随机信号的功率谱与相关函数的关系 E x t x t e dt dt T E x t e dt x t e dt T T E X X T E X S T T T T j t t T T T j t T T j t T T T T T T X / 2 / 2 / 2 / 2 * ( ) / 2 / 2 * / 2 / 2 2 * [ ( ) ( )] 1 lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) lim | ( ) | ( ) lim [ ,0] 0 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 T T T t T T t t t T t T t [T / 2,T / 2] t[T / 2,T / 2] t t[T,T] 令： t t, t t dt dt, d dt R t t e dt dt T S T T T T j t t x T X / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) lim 52 51 [0,T] 0 T / 2 T / 2 t T / 2 T / 2 T R e d T T R e d T R e d T R e dt d R e dt d T S T T j x T T j x T j x T T T T j x T T T j x T X ( | |) ( ) 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 1 ( ) lim 0 0 0 / 2 / 2 0 2/ / 2 R S e d j ( ) 1 ( ) S R e d j X x ( ) ( ) S T R e d R e d j x T T j x T X ( ) lim (1 | | / ) ( ) ( ) 维纳－辛钦定理： 平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换 52 52 R S e d x X ( ) 2 ( ) 类似可推出： 平稳随机信号的互相关函数与其互功率谱密度互为傅里叶变换 R S e d S R e d j xy XY j XY xy ( ) 2 1 ( ) ( ) ( )
