复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_07 随机信号通过线性系统

2014-06-18 例5求随机相位正弦波x(0=4in(ay+G的功率谱密 解:例3中已计算出 ~2m间均匀分布的 R,(r) 中已计算出 R(r)=-A coso, r 自相关函数可以视为 S()=z[o(o+b)+o(-m0) R2(r)=R1(r)+R2(r) +(( 例6试求二元随机波形的功率谱密度,其中信号取值 是二值的(0或4,每毎隔时间间隔T取值变I次,但 (0÷凡(-(1)(G 每次的具体取值是随机且互相独立的,取0、A的 d- 概率各为1/2。 R,(r) 当S1() R((-(G) A- sino S2()= 4- 421 nato)-[& o) dr L (r)- 4T(-ja)2 A sino+A-I (-jo)24T(-jo)2 4 IT 421 2m+4c--4厂 A22A21 A sinor-Asin oT+AI-(-cosoT 2c2 4- So)=Ss(0)+s(0)=xf6(0)+fsm(om2 随机信号x(0和y(0)正交 对x(门的任一时剡和的任一时刻2,均有 随机信号独立、不相关和正交的含义: E(x2)=0即:Rn()=0 实际中常将正交理解为:对x(和y0的任一时刻,有 机信号x(1)和y)独立 对x()的任一时刻和y)的任一时刻2均有 E(x)=0即:R2(O)=0 p(x1,y2)=p(x)p(y2) p(x1,y2)=P(x1)p(2)→E(x1y2)=E(x)E(y2) 随机信号x(和y(0)不相 例7随机相位正弦波x(O=Asin(a+6,其中和a为 对x()的任一时刻1和v)的任一时刻2,均有 常数,的0~2间均匀分布的随机变量:二元 E(x y2)=E(r)E(2) 随机波形()的取值是0或4,每隔T取值变1次 推论:R2()=mm 但每次具体取值是随机且互相独立的,取0、A f m,=0 and/or m,=0=R(r)=0 的概率各为1/2。设(0和y0)是统计独立的,求 z(0)=x(a)y(的自相关函数和功率谱密度

2014-06-18 1 例5 求随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+) 的功率谱密 度，其中A和0为常数，为0～2间均匀分布的 随机变量 解： 例2中已计算出：    0 2 cos 2 1 Rx ( )  A 1 54 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 0 0 2  Sx   A       例6 试求二元随机波形的功率谱密度，其中信号取值 是二值的(0或A)，每隔时间间隔T取值变1次，但 每次的具体取值是随机且互相独立的，取0、A的 概率各为1/2。 解： 例3中已计算出：        A A  | | ( ) ( ) ( ) 2 2                   else 4 | | 2 | | 1 2 ( ) 2 2 A T T A Rx    自相关函数可以视为： 54 2                                 T rect T A R A R T rect T A A R R R x x x x x 2 | | 1 4 , ( ) 4 ( ) 2 | | 1 4 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2          ( ) 2 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 2 1 2 1        A A S A Rx   x                                                                    T j j T j T T j T T j T T j j x x x d A d A A e d T A e d A e d T A S R e d T rect T A R 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 | | 4 4 | | 1 4 ( ) ( ) 2 | | 1 4 ( ) 54 3                                                      T j T j T j T j j T j T j e d T j A e T j A e d T j A e T j A j T j A e d T e d T e j 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 1 1 4 1 4 1 1 4 1 4 ( 2 sin ) 1 4 4 4 4 A A A e T j A T j A e j A T A e T j A e j A e T j A e j A T A S j T j T j T j T T j T j T j T j x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) 4 1 4 1 4 sin 2 ( ) 1 4 1 4 ( ) 1 4 1 4 sin 2 ( )                                                 54 4 T A T T T A T T A T A T A T T A T A j T j A T A T j e T j e j j T j T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( / 2) 2sin ( / 2) 1 2 (1 cos ) 1 2 sin 2 sin 2 2cos 1 4 2 4 (2 sin ) 1 4 sin 2 4 4 ( ) 4 ( )                                        ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 p x y  p x p y  随机信号独立、不相关和正交的含义：  随机信号x(t)和y(t)独立： 对x(t)的任一时刻t1和y(t)的任一时刻t2，均有 T A A T S S S x x x 2 2 2 2 1 2 sin ( / 2) ( ) 2 ( ) ( ) ( )              54 5 ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 p y p p y  随机信号x(t)和y(t)不相关： 对x(t)的任一时刻t1和y(t)的任一时刻t2，均有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 E x y  E x E y if 0 and / or 0 ( ) 0 ( )        x y xy xy x y m m R 推论：R m m  随机信号x(t)和y(t)正交： 对x(t)的任一时刻t1和y(t)的任一时刻t2，均有 实际中常将正交理解为：对x(t)和y(t)的任一时刻t1，有 ( ) 0 ( ) 0 E x1 y2  即：Rxy   ( ) 0 (0) 0 E x1 y1  即：Rxy  ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 p x y  p x p y  E x y  E x E y 54 6 例7 随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+)，其中A和0为 常数，为0～2间均匀分布的随机变量；二元 随机波形y(t)的取值是0或A，每隔T取值变1次， 但每次具体取值是随机且互相独立的，取0、A 的概率各为1/2。设x(t)和y(t)是统计独立的，求 z(t)=x(t)y(t)的自相关函数和功率谱密度

2014-06-18 解:例2中已计算出 二()=x()y(1)→ R, (r)=E=o=(t-r)]= Elx(oyo)x(t-ry(r-r)I 例5中已计算出: x(和y(n)统计独立,则有 S2(o)=zfo(+a0)+o(o-0) R()=hx()x(-r)t)(-o)=R(r)R,(r) 例3中已计算出 Dor rkr ( COSOpt 例6中已计算出 R (r)=R(T)R,(T) A sin(oT/2) S(o)=S()*S(o) S()=S2()*S,(o) §23典型的随机信号 1元42 A sin(oT/2) 2(a+a)+-6(0)+-a2T 高斯随机信号 1 A b)+-()+ A sin(oT/ ·通信系统的三类噪声:单频噪声、脉冲噪声、起伏躁声 4T ·单频噪声:时间上连续,频谱集中在某个频率附近很窄范围 T A8(0+0.)+A sin l(o+ @)7/21 脉冲噪声:时恫间上持续很短、间隔较长且无规则,频谱很宽 A (a-c0)+ sin2[(o-on)7/2] 三类噪声以叠加形式干扰信号,称为加性噪声 54 起伏噪声主要有:热噪声、散粒噪声、宇宙噪声 起伏噪声的均值一般为0(a-0),此时的槨率密度函数为: ·热噪声:导体中大量自由电子热运动产生的 p(n)= ·散粒噪声:有源电子器件电子发射不均匀所引起的 此时噪声的方差为 ·宇宙噪声:天体的电磁辐射所引起的 2=En()]=R(0)=P方差等于平均功率 起伏噪声是高斯随机过程,又称为高斯噪声 高斯信号经线性运算(加、减、积分、微分)后,其结果仍 高斯噪声m(n的概率密度函数表示为 是高斯信号 p(n)= 、白噪声 其中n为信号的均值,G为信号的方差 s(

2014-06-18 2 解： 例2中已计算出：    0 2 cos 2 1 Rx ( )  A [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 0 0 2 Sx   A       例5中已计算出： 例3中已计算出：   | | 2 A  54 7                 else 4 | | 2 | | 1 2 ( ) 2 A T T A Ry    例6中已计算出： T A A T Sy 2 2 2 2 sin ( / 2) ( ) 2 ( )         ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )         R E z t z t E x t y t x t y t z t x t y t z x(t)和y(t)统计独立，则有：             cos | | 2 | | 1 4 ( ) 0 4     T T A ( ) [ ( ) (  )] [ ( ) (  )] ( ) ( ) z Rx Ry R  E x t x t  E y t y t   54 8          cos else 8 4 2 ( ) 0 4    A T Rz ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )        z x y z x y S S S R R R     2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 sin ( / 2) ( ) 2 ( ) 2 2 1 sin ( / 2) ( ) 2 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( )                                                T A A A T T A A A T Sz Sx Sy 54 9 2 0 0 4 2 0 4 2 0 0 4 2 0 4 ( ) sin [( ) / 2] 4 ( ) 8 ( ) sin [( ) / 2] 4 ( ) 8 2 2 2                               T T A A T T A A T §2.3 典型的随机信号 一、高斯随机信号  通信系统的三类噪声：单频噪声、脉冲噪声、起伏噪声  单频噪声：时间上连续 频谱集中在某个频率附近很窄范围 54 10  单频噪声：时间上连续，频谱集中在某个频率附近很窄范围  脉冲噪声：时间上持续很短、间隔较长且无规则，频谱很宽  起伏噪声：时间上连续、无规则，普遍存在  三类噪声以叠加形式干扰信号，称为加性噪声  起伏噪声主要有：热噪声、散粒噪声、宇宙噪声  热噪声：导体中大量自由电子热运动产生的  散粒噪声：有源电子器件电子发射不均匀所引起的  宇宙噪声：天体的电磁辐射所引起的  起伏噪声是高斯随机过程，又称为高斯噪声 54 11  高斯噪声n(t)的概率密度函数表示为：          2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) n n n a p n   其中a为信号的均值， 为信号的方差 2  n  起伏噪声的均值一般为0 (a=0)，此时的概率密度函数为：           2 2 2 exp 2 1 ( ) n n n p n    此时噪声的方差为： n Rn Pn  E[| n(t) | ]  (0)  2 2  方差等于平均功率  高斯信号经线性运算(加、减、积分、微分) 后，其结果仍 54 12 高斯信号经线性运算(加、减、积分、微分) 后，其结果仍 是高斯信号 二、白噪声  白噪声(white noise)：功率谱密度函数为常数的噪声 2 ( ) N0 Sn  

2014-06-18 ·白噪声的自相关函数为: =s(o=C2"d=20 2C5.()C如→ 不同时刻的白噪声取值总不相关 白噪声实际不存在,常又称为理想白噪声 ·理想白噪声经过实际系统时,其频带受到系统带宽的限制→ 定频带内功率谱密度为常数、此频带外功率谱密度为0的随 机噪声(带限白噪声) ·带限白噪声主要有两类:理想低通白噪声、理想带通白噪声 1、理想低通白噪声 理想低通白噪声的功率谱密度函数为 S() 其中a为理想低通白噪声的带宽 理想低通白噪声的平均功率为 LS 分 其中B为单位为Hn的带宽 2、理想带通白噪声 相隔时间r=nΔr=—的理想低通白噪声的取值不相关 理想带通白噪声的功率谱密度函数为 Sfa a为理想带通白噪声的带宽 x卩a2r 54 0=2tB R,(T)= .-ef(+l2)r- +e-+er-e1-%-2r 2jsin[(oo-@c/2)r] )=,厂 [2 cos orin(or/2) ee do+ 0-0/22 do o@s 2r 2, ireloleana +2 2o, ireo -aw, l2

2014-06-18 3  白噪声的自相关函数为： ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 0           N e d N R S e d j j n  n         不同时刻的白噪声取值总不相关 Sn() Rn() 54 13  N0/2  N0 ()/2  白噪声的平均功率为：                d N P S d n n 2 2 1 ( ) 2 1 0 白噪声实际不存在，常又称为理想白噪声  理想白噪声经过实际系统时，其频带受到系统带宽的限制 一定频带内功率谱密度为常数、此频带外功率谱密度为0的随 机噪声 带限白噪声 54 14 ( )  带限白噪声主要有两类：理想低通白噪声、理想带通白噪声 1、理想低通白噪声  理想低通白噪声的功率谱密度函数为：          c n rect N S    2 2 ( ) 0 其中c为理想低通白噪声的带宽  理想低通白噪声的自相关函数为： ( ) 2 sin 1 2 1 (2 sin ) 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 0 0 0 0                              c c c c c c j j j n n N N Sa j j N e j N e d N R S e d c c c c   ＝              54 15 相隔时间 的理想低通白噪声的取值不相关 c n n       0  -c c=2B Sn() N0/2 0  /c 2/c -/c -2/c Rn() N0c/2  理想低通白噪声的平均功率为： 0 0 0 2 2 2 1 ( ) 2 1 d N BN N P S d c n n c c                  其中B为单位为Hz的带宽 2、理想带通白噪声  理想带通白噪声的功率谱密度函数为： 54 16                    c c n rect N rect N S        0 0 0 0 2 2 ( ) 其中0为理想带通白噪声的中心频率 c为理想带通白噪声的带宽  理想带通白噪声的自相关函数为： 1 -0  Sn() 0 c=2B N0/2 2 0 c   54 17 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) c c c c c c c c j j j j j n n e j N e j N e d N e d N R S e d                                                                                   0 0 0 ( / 2) ( / 2) 0 ( / 2) ( / 2) 2 sin[( / 2) ]} {2 sin[( / 2) ] 1 2 2 1 ] [ 1 2 2 1 ( ) 0 0 0 0                    c c j j j j n j j j N e e e e j N R c c c c 54 18                     0 0 0 0 0 0 cos 2 2 1 cos / 2 sin( / 2) 2 1 [2cos sin( / 2)] 2 1           c c c c c c N Sa N N ＝

2014-06-18 三、高斯一马尔可夫( Markov)信号 元 其中为信号的均方值a2=R(0)=Em)P] 高斯-马尔可夫信号的功率谱密度函数为 S,(o)=R,(rJe dr=la Pir,-jor ·理想带通白噪声的自相关函数与 cost相同间隔出现零点 dr+ere jedi ,相隔时闻:=(2n+1)或r=nAz=2x理想带通白噪声的 取值不相 2oB 四、窄带高斯噪声 ·窄带系统:带宽B远小于中心频率的带通系统 ·窄带高斯噪声的频谱分量集中在频率附近,其样本函数 54 n(t)=p,(t)cos, (t)cos@.(t)sino (t)sine n(0)=p(t)coso(t) 窄带高斯嶸声m(的同相分量:n( 它们均为随机信号,变化比c0sa慢得多 表示为:n(1)=pn()cos[eo+qn(1) 其中a(为包络,()为相位 它们均为随机信号,变化比c0sa慢得多 9,()=g2 (1)

2014-06-18 4  Rn() 3/20 4/c 2/c N0c/2 54 19 /20 0  理想带通白噪声的自相关函数以Sa(c/2)为包络  理想带通白噪声的自相关函数与cos0 相同间隔出现零点  相隔时间 或 理想带通白噪声的 取值不相关 2 0 (2 1)      n c n n     2    三、高斯－马尔可夫(Markov)信号  高斯－马尔可夫信号：自相关函数为指数型的平稳高斯信号 (0) [| ( ) | ] 2 2 R E n t   n  2 | | ( )      R  e n 其中2为信号的均方值  高斯－马尔可夫信号的功率谱密度函数为： 54 20                                         0 0 2 0 0 2 2 | | 1 1 ( ) ( )                          j j j j j j n n e e j e e j e e d e e d S R e d e e d 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) 0                          j j Sn Sn() 22/ Rn() 2 54 21   四、窄带高斯噪声  窄带系统：带宽B远小于中心频率f0的带通系统  窄带高斯噪声：高斯白噪声经过窄带系统的输出 Sn() 2B 54 22  0 -0  窄带高斯噪声的频谱分量集中在频率f0附近，其样本函数 很像一个包络和相位随时间缓慢变换的正弦波 t n(t) 54 23  窄带高斯噪声可以表示为： ( ) ( ) cos[ ( )] 0 n t t t t   n  n 其中n(t)为包络， (t)为相位 它们均为随机信号，变化比cos0t缓慢得多 ( ) ( )sin ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( )sin ( ) ( ) cos ( )cos ( )sin ( )sin 0 0 0 0 n t t t n t t t n t t n t t n t t t t t t t s n n c n n c s n n n n                     窄带高斯噪声n(t)的同相分量：nc(t) 54 24  窄带高斯噪声n(t)的正交分量：ns(t) 它们均为随机信号，变化比cos0t缓慢得多 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 n t n t t tg t n t n t c s n n c s      

2014-06-18 ·设窄带高斯噪声m(n)是平稳的随机信号,其均值为0,方差为 Rn(r)=Emt)n(t-r)=E{lt()cosobt-n2()sinan 2,则振幅分布为 In(t-t)coso(I-r)-n, (I-r)sin@o(I-r)l) p(m)= EIn(o)n(t-t)]cost cosmo(I-r) Eln, (on(t-r)sin @,t coso(I-r) ·下面讨论同相分量n(0与正交分量n(的统计特性 -En(tn (t-r)]cos@tsin @o(t-r) +EIn (on, (t-r)]sin @osino(t-r) Ent]=EIn(t)cosoot-n, (t)sin@) Re(t, I-r)cos@ot cosmo(t-r) En (nIcosoof-EIn, (t)]sin@ot Run(t, t-r)sin@t coso(t-r) n(是平稳的,均值为0→对任何时刻,E()=0 R.(t, t-r)cos@ sin @(t-r) EIn(D]= EIn 0=0 +R (L, I-r)sin@tsino(I-r) sm(是平稳的→Rn(与无关→取0,则有 R, (T)=R(LI-T)cosopT+Rm (t,t-t)sinor R, (r)=R(r)cosoot+Rm(r)sinor 显然要求Rn(和R(均与无关,则有 and R(r)=R ()cosor-R.(r)sinor 它们对阬有r均成立,则有 (r)=Rn(,1-r) R, (r)=R(r) R(r)=-Rm(r R(r)=R(r)cost+Run(r)sin oor ()=En(),(t-)=Eln,(t-t)n() 同理取2吗,则有 =En, (nn(r+r)=Run(r) R, (T)=R, (,t-T)cosooT-Ru (t,I-r)sinor Rn(-)=-R(r) R,(T)=R,, (r)cos @or-Rnn (r)sinor R4r是r的奇函数 = R(r)=R(, t-T) t-T) 同理得:Ran(0)=0 54 n(0和n,(n)在同一时刻的取值互不相关 n(o=n(r)@t-n ()sino.t →m(1)=n2(1 R, (r)=Rn, (r)cos@t+Rm, (r)sin@t =R(O)=R (O) R,(r)=R, (T)cosogr-Rm(r)sinOr R,(O)=R, (O) En(OJ=En (0]= En(0]=0 n是平稳的→m(1)和m(2高斯分布→n(1)和n2)高斯分布 E2()=En2()]=En2()]=a2 n(0)和n、(也是平稳的 P(n2)= n(0和n(的自相关函数与元关 n0和n,(0)是平稳的 √2za(2σ2 5

2014-06-18 5           2 2 2 exp 2 1 ( )   n p n  设窄带高斯噪声n(t)是平稳的随机信号，其均值为0，方差为 2，则振幅分布为：  下面讨论同相分量nc(t)与正交分量ns(t)的统计特性 54 25 E n t t E n t t E n t E n t t n t t c s c s 0 0 0 0 [ ( )]cos [ ( )]sin [ ( )] [ ( ) cos ( )sin ]         n(t)是平稳的，均值为0  对任何时刻t，E[n(t)]=0  E[n (t)]  E[n (t)]  0 c s [ ( ) ( )]sin sin ( ) [ ( ) ( )]cos sin ( ) [ ( ) ( )]sin cos ( ) [ ( ) ( )]cos cos ( ) [ ( ) cos ( ) ( )sin ( )]} ( ) [ ( ) ( )] {[ ( ) cos ( )sin ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                                 E n t n t t t E n t n t t t E n t n t t t E n t n t t t n t t n t t R E n t n t E n t t n t t c s s c c c c s n c s 54 n(t)是平稳的  Rn()与t 无关  取t=0，则有： 26 ( , )sin sin ( ) ( , ) cos sin ( ) ( , )sin cos ( ) ( , ) cos cos ( ) [ ( ) ( )]sin sin ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                  R t t t t R t t t t R t t t t R t t t t E n t n t t t s c s s c c n n n n n n s s 显然要求 Rnc ()和Rns ()均与t 无关，则有：        0 0 R ( )  R (t,t  ) cos  R (t,t  )sin c c s n n n n ( ) ( , ) ( ) ( , )         R R t t R R t t c s c s c c n n n n n n        0 0 ( ) ( ) cos ( )sin c c s  Rn  Rn  Rn n 54 27 c c s 同理取t=/20，则有：        0 0 R ( )  R (t,t  ) cos  R (t,t  )sin s s c n n n n ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) cos 0 ( )sin 0            s s s c s c s s c n n n n n n n n n n R R t t R t t R R R R        它们对所有 均成立，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) c s c s s c Rn  Rn Rn n  Rn n               0 0 0 0 and ( ) ( ) cos ( )sin ( ) ( ) cos ( )sin s s c c c s n n n n n n n n R R R R R R     ( )  [ ( ) (  )] [ (  ) ( )] n n c s s c R E n t n t E n t n t 54 28 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]       s c c s s c n n n n c s s c E n t n t R (  ) ( ) nsnc nsnc  R   R Rnsnc ( )是 的奇函数  (0)  0 nsnc R 同理得： (0)  0 ncns R 当 =0 nc(t)和ns(t)在同一时刻的取值互不相关 ( ) ( ) cos ( )sin (0) (0) ( ) ( ) cos ( )sin (0) (0) 0 0 0 0 s s c s c c s c n n n n n n n n n n n n R R R R R R R R R R                        E[nc (t)]  E[ns (t)]  E[n(t)]  0 54 29 nc(t)和ns(t)的自相关函数与t无关 2 2 2 2  E[nc (t)]  E[ns (t)]  E[n (t)]  nc(t)和ns(t)的方差均为 2 nc(t)和ns(t)是平稳的 n(t)是平稳的  n(t1)和n(t2)高斯分布  nc(t1)和ns(t2)高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin 2 2 2 3 1 1 0 0 0 0 2 1 n t n t n t n t n t n t t n t t s t c t c s             54 30 nc(t)和ns(t)也是平稳的                      2 2 2 2 2 exp 2 1 ( ) 2 exp 2 1 ( )     s s c c n p n n p n

2014-06-18 ·n()和n、均值均为0,方差均为a2,同时刻取值不相关 n((=p, (t)cos (O), n (O=p,(tsin(n) P(n2,n,)=P(n2)P(n,) ap, ap coSer singn ane an,IPn sing. P, cosp oo. op Pn cos u+, sin n=Pn anan 根据概率论联合概率密度的关系:|an P(Pn, , ) anan pn,9)= in. p(ne, ", ag, ap ≥0,0≤qn≤2 ·包络p(的一维概率密度边缘分布为 风2)2广2m(分 p(on)=L p(Pm,pn)dpm p 2+) p 包络是瑞利分布 相位是均匀分布 54 P(Pn,)=p(ep(o) ·随机信号不能作傅里叶变换→不能直接套用上述公式 对随机信号X的一个祥本函数x(而言,其通过线性时不变 (0和g(n互相独立 y(1)=h()*x( h(r)x(t-rdr §24随机信号通过线性时不变系统 、输出信号的数字特征 Y()=h()*x(1)=(r)X(t-r)r 确定性信号通过线性时不变系统 当随机信号X(0平稳时,输出信号的集均值为: r(t) ElY(OJ h(r)X(-rX h(rElX(t-r)dr )H(o) h(r)ElX(Odr=ElX(ol h(rr y(0)=x(0)*h(1)=x(rM(t-r)dr, Y(o)=X(o)H(o) H(o)=上 h(redr→H(ox。=⊥Mr 6

2014-06-18 6  nc(t)和ns(t)均值均为0，方差均为 2，同一时刻取值不相关                         2 2 2 2 2 2 1 2 exp 2 1 2 exp 2 1 ( , ) ( ) ( )     c s c s c s n n n n p n n p n p n nc(t)和ns(t)互相独立 54 31  根据概率论联合概率密度的关系：            2 2 2 exp 2 1   c s n n ( , ) ( , ) c s n s n c n s n c n n p n n n n n n p                n n n n n n n n n n n n s n c n s n c n n n n                              2 2 cos sin sin cos cos sin n (t) (t)cos (t), n (t) (t)sin (t)  c  n n s  n n 54 32                 , 0, 0 2 2 exp 2 2 exp 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2                                   n n n n n c s c s n s n c n s n c n n n n p n n n n n n p  包络n(t)的一维概率密度(边缘分布)为：                        2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 exp 2 exp 2 ( ) ( , )                n n n n n n n n n p p d d p( ) 54 33 包络是瑞利分布 n 0 p(n)  相位n(t)的一维概率密度(边缘分布)为：                1 1 2 2 exp 2 1 2 exp 2 ( ) ( , ) 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0                                           n n n n n n n n n d p p d d 54 34 相位是均匀分布     2 1 2 exp 2 1 0 2             n n 0 1/2 p(n) 2 ( , ) ( ) ( ) n n n n  p    p  p  n(t)和n(t)互相独立 §2.4 随机信号通过线性时不变系统 一、输出信号的数字特征 54 35  确定性信号通过线性时不变系统 y(t)  x(t)*h(t)  x( )h(t  )d , Y()  X ()H()     随机信号不能作傅里叶变换  不能直接套用上述公式  对随机信号X(t)的一个样本函数x(t)而言，其通过线性时不变 系统的输出是Y(t)的一个样本函数y(t)，则有：       Y t h t X t h X t d y t h t x t h x t d              ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) 54 36  当随机信号X(t)平稳时，输出信号的集均值为：           h E X t d E X t h d E Y t E h X t d h E X t d                       ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )]         H h e d H h d j         ( )  ( )  ( )  ( ) 0

2014-06-18 EY(O)=EX(O)H(a儿 R(1-)=CMh(m)R(r-+dhh 输出信号的集均值与时间无关 輪出随机信号Y(的自相关函数与时间无关,则有 当随机信号X平稳时,输出信号的自相关函数为: h(uh (v)r(r-l+v)dudu Rr(t, I-r)=ElY(o)r(I-r) 令,则有: R, (r)= h(uh(u-DR(r-D)dudI h(u)x(t-u)du. h(v)X(-t-vkdv ECImah'()x(-upr'u-r-pydudry R()=⊥M)h(-)d冲激响应的自相关函 CIh)h(v)ELX(-u)x(-T-v)]dud R(r)=R4(D)R32(r-dl=R4(r)*R2(r) 输出随机信号Y(的均方为: EY(f1=E(()=R1(0)=R(O)R1(-d R,()=huh(u-)du=h(u)[-(l-u) 输出信号的均方与时间无关 =h(D)°h(-1 轴出随机信号Y(的方差也与时间无关,且为 =a[=+=a DY()=EY(t)]-{EY()]}2 结论:广义平稳随机信号通过线性时不变系统,其出也 R,(r)=r(r)*Rr(r) S,()=H(o)H(o)=H(o)P R1(r)←→+S1(m)Rx()(→+Sx(O) ifR(x)←→S(o)→S1(a)=Sx(m)S6(O) 输出信号的功率谱等于输入信号的功率谱和系统幅频 54 二、输出与输入随机信号间的互相关 当输入随机信号为白噪声时 Sx(a)=-0,R1(r)=-6(r) Rx(o)=Etox(t-D=ELh(u)X(t-uydux(-r) Sx(o)=S(oH(o)=H( h(u)X(-uX(t-r)du Rx()=Rx()*h(x)=()*h(r)=-h(r) = h(u)EX(-ur(t-r)]du 测定未知系统冲激响应和频率函数的方法框图 h(uR(r-udu=r(r)hr HIo 输出随机信号和输入随机信号的互功率谱密度函数为: Sx(o)=S(oH(o) 7

2014-06-18 7 0 [ ( )] [ ( )] ( )     E Y t E X t H  输出信号的集均值与时间t 无关  当随机信号X(t)平稳时，输出信号的自相关函数为：                      E h u X t u du h v X t v dv R t t E Y t Y t Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] * *    54   37                                                h u h v E X t u X t v dudv E h u h v X t u X t v dudv E h u X t u du h v X t v dv ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * *     输出随机信号Y(t)的自相关函数与时间t 无关，则有：        R t t   h u h v R u  v dudv Y X ( , ) ( ) ( ) ( ) *         R  h u h v R u  v dudv Y X ( ) ( ) ( ) ( ) *    令v=u-l，则有：     R  h u h u l R l dudl Y X ( ) ( ) ( ) ( ) *   54 38                 h u h u l du R l dl R h u h u l R l dudl X Y X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *       Rh (l)  h(u)h (u l)du *  ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) Y h X dl Rh RX  R  R l R l     冲激响应的自相关函数  输出随机信号Y(t)的均方为：    E Y t  E Y t Y t  R  R l R l dl Y h X [| ( )| ] [ ( ) ( )] (0) ( ) ( ) 2 * 2 2 D[Y(t)]  E[|Y(t)| ]{E[Y(t)]} 输出信号的均方与时间t 无关  输出随机信号Y(t)的方差也与时间t 无关，且为：  结论：广义平稳随机信号通过线性时不变系统，其输出也 54 39 结论 广义平稳随机信号通过线性时不变系统 其输出 是广义平稳的 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )        X F Y X F Y Y h X R S R S R R R     if ( ) () () () () h Y X h F Rh S  S  S S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] * * * ( ) * * * * *      h u e du H h l e dl h l e dl h l e dl h l h l R l h u h u l du h u h l u du j u j l j l j l h                                                 54 40 ( ) ( )    * 2 S () H()H () | H()|  h   2 S () S ()| H()|  Y  X 输出信号的功率谱等于输入信号的功率谱和系统幅频 响应平方的乘积 二、输出与输入随机信号间的互相关  输出随机信号和输入随机信号的互相关函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) * * *     E h u X t u X t du R E Y t X t E h u X t u du X t YX                        54 41 ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) [ ( ) ( )] *     h u R u du R h h u E X t u X t du  X   X           输出随机信号和输入随机信号的互功率谱密度函数为： S () S ()H() YX  X  当输入随机信号为白噪声时： ( ) 2 , ( ) 2 ( ) 0 0     N R N SX  X  ( ) 2 ( )* ( ) 2 ( ) ( )* ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 0            h N h N R R h H N S S H YX X YX X       54 42 2 2  测定未知系统冲激响应和频率函数的方法框图： h(t) ? H() ? 互 相 关 器 h(t) H() FT y(t) x(t) 白噪声x(t) Sx()=N0/2

2014-06-18 例1求白噪声通过RC低通电路的输出信号的自相关 函数和功率谱 I H(o=H(O)H(o)=a+jo a-Jo a+o- 解:RC电路的冲激响 S(o)=s(0)(o022 S1(o)= →R1(r)=-e 其中a= 自相关函数还可以从卷积计算得到 白噪声的功率谱密度和自相关函数为: S(o) No. Rx( R, (r)= h(v)h(v-r)dv= ae"u(v)ae-artlu(v-r)dv whenr20, R,(r=aer ==ae ·例1中输出随机信号的功率谱为 2a2+2 ·例l引出:功率谱般可表示为两个有理多项式的分式 P(o) R,(r)=-ae-arl 实信号的功率谱是实偶函数→多项式只含a的偶次项 →R(x)=R(x)*R2(x)=D()2e:N S1()(o3)=aso+a2x=2o++a2o+a Q(a2) 6,o+b 输出信号的平均功率为: ·代λs-j→多项式只含s的偶次项 EY(1)]=R1(0)=-4 S1(s)=x2 54 ·功率谱的零极点分布有如下特点: 对于P和Q的实根 在s平面成对出现在实轴上,且关于虚轴对称 ◆对于P和Q的复根 =A+2=,= (-) 例2自相关函数R1(r)=a2e叫,B>0的随机信号 在s平面四个构成一组,相互共轭对称 通过RC低通电路,求输出信号的自相关函数和 功率谱

2014-06-18 8 例1 求白噪声通过RC低通电路的输出信号的自相关 函数和功率谱。 解：RC电路的冲激响 应和频率函数为： X(t) Y(t) R C h(t) ae u(t) at  54 43   a j a H  ( )  RC 1 其中 a  白噪声的功率谱密度和自相关函数为： ( ) 2 , ( ) 2 ( ) 0 0     N R N S X  X  2 2 2 2 0 2 ( ) ( )| ( )|          a N a SY SX H 2 2 2 2 * | ( )| ( ) ( )              a a a j a a j a H H H 2 2 | | 2   a a e F a t  0 | | 2 0 ( ) ( ) aN a R N a S  54 44 0 | | 2 2 0 4 ( ) 2 ( )     a Y Y R e a S       自相关函数还可以从卷积计算得到 h(t) ae u(t) at            R  h v h v  dv  ae u v ae u v dv av a v h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )                          a av a av h e a R a e e dv a e 2 2 2 2 2 1 when 0, ( )     a a a h e ae a R a e            2 1 2 1 ( ) 2 2       a a a av a av h ae a a e e a R a e e dv a e 2 1 2 1 2 1 when 0, ( ) 2 0 2 2 0 2 2                   54 45 | | 2 1 ( )   a h R ae   0 | | 0 | | 2 4 1 ( )* 2 ( ) ( )* ( )        a a Y h X e aN ae N R R R       输出信号的平均功率为： 4 [| ( )| ] (0) 2 aN0 E Y t  RY   例1中输出随机信号的功率谱为：  例1引申出：功率谱一般可表示为两个有理多项式的分式 ( ) ( ) ( )    Q P SY  2 2 2 0 2 ( )      a N a SY 54 46  实信号的功率谱是实偶函数  多项式只含的偶次项 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b b b b a a a a Q P S M M M M N N N N Y                           代入s =j  多项式只含s 的偶次项 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q s P s S s Y   功率谱的零极点分布有如下特点：  对于P和Q的实根： s  K  s1  K s2   K 2 , 在s平面成对出现在实轴上，且关于虚轴对称  对于P和Q的复根：     54 47                               2 4 2 3 2 2 2 1 2 , , , j j j j j s Ae s Ae s Ae s Ae s Ae 在s平面四个构成一组，相互共轭对称  j  /2 54 48 例2 自相关函数 的随机信号 通过RC低通电路，求输出信号的自相关函数和 功率谱。 ( ) , 0 2 | |         R e X

2014-06-18 S(小2a2Ba2_2a2k2(1 h(n)=ae u(t) H(o) a(2pa 2Ba IH(o)p-a a2-B2B2+a2a2+03 2B 输入信号的功率谱密度为: R1()=a2e,B>0→Sx(a) R1(r) Sy(o)=S(o)lH(o)F B 本例若用时域卷积法计算自相关函数,推导过程比较复杂 例3输入到线性时不变系统的平稳随机信号的功率谱 和相应的输出信号的功率谱为 H(o)PGs)=S-9=(-3Xs+3 Sx(o)=+4 S1(o)=1 系统稳定且为最小相位,求该系统的频率函数。 系统稳定→传递函数的极点在左半平面 系统为最小相位→传递函数的零点在左半平面 根据:S/(O)=S(O)|H(O) H(s)=s+3 1H(o)P=5(o)= Sx(a)a2+4o2+4 令jm则有 3H(o)=1+3 9(jo)2-9 jo+2 H(o)|= 0)2-4 54 例4线性时不变系统是一微分器:y() 傅里叶变换性质: 平稳随机信号Ⅺ()经过该系统,求输出信号的自 d"x( 相关函数、输出信号和输入信号的互相关函数 drm f?()"r(o) (1) dr> Y(o)=jor(o) S(o)=-(1o)Sx(o)→()s、d2R1(r) dr2 H(o)=ro 类似地推导: X(o) Sxx(o)=s(oH(o)=jas(o) Sy(o)=s(o)IH(o)f=s(o)lol @s(o)=-(jo)s(o) Rr (r)- drr (t) d

2014-06-18 9 解： RC电路的冲激响应和频率函数为： h(t) ae u(t) at    a j a H  ( )  RC 1 其中 a  2 2 2 2 | ( )|      a a H | | 2   a e F a t  54 49 输入信号的功率谱密度为： 2 2 | |  a  e 2 2 2 2 | | 2 ( ) , 0 ( )                 X X R e S 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )| ( )|               a a SY SX H                                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )                           a a a a a a a a a a a a a a a SY 54 50   | | | | 2 2 2 ( )        a Y ae e a a R       a      a   2 2 | | 2   a a e F a t  本例若用时域卷积法计算自相关函数，推导过程比较复杂 例3 输入到线性时不变系统的平稳随机信号的功率谱 和相应的输出信号的功率谱为： 解： 根据： 2 S () S () | H() | Y  X 系统稳定且为最小相位，求该系统的频率函数。 , ( ) 1 9 4 ( ) 2 2        S X  SY 54 51 4 9 9 4 1 ( ) ( ) | ( )| 2 2 2 2 2                X Y S S H 令s=j：则有： ( ) 4 ( ) 9 4 9 | ( )| 2 2 2 2 2              j j H ( 2)( 2) ( 3)( 3) 4 9 | ( )| ( ) 2 2 2           s s s s s s H  G s 系统稳定  传递函数的极点在左半平面 系统为最小相位  传递函数的零点在左半平面 s  3 54 52 2 3 ( )     s s H s 令s=j：则有： 2 3 ( )        j j H 例4 线性时不变系统是一微分器： 解：    Y Y j X dt dx t y t    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 平稳随机信号X(t)经过该系统，求输出信号的自 相关函数、输出信号和输入信号的互相关函数。 dt dx t y t ( ) ( )  54 53     j X Y  H   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| ( ) | ( )| | 2 2 2 2          X X Y X X S j S S S H S j       傅里叶变换性质： 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       d d R S j S R X Y   X  Y   ( ) ( ) ( ) j X  dt d x t n F n n  54 54 () () ()  () YX X S X S  S H  j    d dR R X YX ( )  ( )  类似地推导：