复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_05 确定信号的相关与Hilbert变换

2014-06-18 r(rsa(cosr 甬过线性相位 Y(o)=H(oX(o) F(cos2n)=z(-2)+ro()+2) X(o)=FISa(t))*F(cos 2rD 2(2 1)当@>3时,输入信号的所有频率分量都能通过系统,即 M(IFx(lla= Sa(I-I,)cos(2(l-1a)),-o0</<oo §18确定信号的相关 2)当a<1时,输入信号的所有频率分量都不能通过系统,即 、相关系数 Y(a)=0 1)=0,-∞<1 两个信号波形是否相同的度量指标:均方差 3)当1<m<3时,只有1~a范围内的频率分量能通过系统,故 以能量信号为例 Q=|x1(1)-x2()dh Y() 缺点:均方差无法反映两波形相似但幅度相差较大 的信号的相似程度 由抽样信号频谱及 Fourier变换的时和频域位移特性可得 为去除幅度相差的影响,对其中一个信号乘以一最 0)=s4"-(-b)-2址(-) 佳常数a 最佳常数a作用:使x1(和ax2(0)的均方差最小 厂x)x(0)+x)x)上x()x(O)+xpxr 仍以能量信号为例 22(0x(h 2」1xOPd p=Cl=,(0)-am,(0P'dr 厂2Rex(0x1)工Rex 厂Lx(0)-aO)Lx(0)-aod 213,(ordt LI [x()-aO0)-a3 [x(n)x()-a'(n)x2()-a;(n)x2(n)+a2x2(t)x2() Q-CAx()x(0-a(0x()-a1()x0)+ax) 使均方差Q最小的a应满足: CIxOPdt-af 2 Relxi (x,(0At+aCls(0)Pde C x()x2(t)-x(n)x2()+2a2()x2()=0 将a代入Q可得到最小的均方差Qa CEi( ()+x(0)x(jdt=2ax2(0)xi(n)dr

2014-06-18 1 求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t ， < t <， 通过线性相位 理想低通滤波器的响应 d j t c H rect e               2 ( ) F(cos 2 ) ( 2) ( 2) F[Sa( )] ( / 2)            t  t rect 例6 解： 50 1                                     2 2 2 2 2 2 * ( 2) 2 2 * ( 2) 2 2 F[ ( )]*F(cos 2 ]) 2 1 ( )               rect rect rect rect X Sa t t                                  2 2 2 2 2 π 2 ( ) ( ) ( ) j         rect e rect rect Y H X dt c 50 2 当c 时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即                        2 2 2 2 2 π ( ) j     Y e rect rect dt y(t)= x(ttd) = Sa(ttd)cos[2(ttd)] ， < t < 当c 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即 Y()  0 y(t)=0， < t < 当1 c 3时，只有c范围内的频率分量能通过系统，故 50 3  当 c 时，只有 c范围内的频率分量能通过系统，故 d j t c c c c Y rect rect e                                                       1 2 1 1 2 1 2 ( ) 由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得                   ( ) 2 1 ( ) cos 2 1 Sa 2 1 ( ) c d c d c y t t t t t    §1.8 确定信号的相关 一、相关系数  两个信号波形是否相同的度量指标：均方差 以能量信号为例 50 4 Q x t x t dt      2 1 2 | ( ) ( ) |  缺点：均方差无法反映两波形相似但幅度相差较大 的信号的相似程度  为去除幅度相差的影响，对其中一个信号乘以一最 佳常数 x t x t x t x t dt x t x t x t x t dt Q x t x t dt                 [ ( ) ( )][ ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )] | ( ) ( ) | * 2 * 1 2 1 * 1 2 1 2 2 1 2      仍以能量信号为例  最佳常数作用：使x1(t)和x2(t)的均方差最小 50 5  使均方差Q最小的应满足：                     x t x t x t x t dt x t x t dt x t x t x t x t x t x t dt Q [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )] 0 * 2 2 * 2 1 2 * 1 * 2 2 * 2 1 2 * 1    x t x t x t x t x t x t x t x t dt x t x t x t x t dt       [ ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )] * 2 2 * 2 2 1 2 * 1 * 1 1 1 2 1 2                                     x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt x t dt x t x t x t x t dt x t x t dt x t x t x t x t dt 2 2 2 * 1 2 2 2 * 1 2 2 * 2 * 2 1 * 1 * 2 2 * 2 1 2 * 1 | ( ) | Re[ ( ) ( )] 2 | ( ) | 2Re[ ( ) ( )] 2 | ( ) | {[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] } 2 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]  50 6  将 代入Q可得到最小的均方差Q x t dt x t x t dt x t dt Q x t x t x t x t x t x t x t x t dt                    2 2 2 2 * 1 2 1 * 2 2 * 2 2 1 2 * 1 * 1 1 | ( )| 2Re[ ( ) ( )] | ( )| [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]      

2014-06-18 厂Rx) Q=Ix(ordr Lir(OPdr 厂2Re(x1( Rer(n)r, (o)pr Cixaor'dr 定义:两个信号的相关系数 广 Relr,()r, (r) =ls(ofdr LIx(,(ordt CIs(opdr [Rel: or,0)I p2(x1,x2) Ix,(ldr ·p(x1,x2)越大,最小的均方差Q越小 两边同除以1x( ·相关系数x1x2)是两个信号相似程度的度量 许瓦兹不等式: 两个相同周期(n的信号,相关系数定义为 IC 3,(0x, (*r Fsix, (0PdtC 1=,(Pdr r(x1,x2)= when x1()=ax2()a为实常数,等号成立 Lr((r,(Mr lp(x1,x2)≤1 (x1,x2)= 以(x1,x2)定义为两个信号的归一化相关系数 Tln/-,)Par. L 1=(Pdr px1,x2)=1表示两个信号波形完全相似 对功率信号,相关系数定义为 有时也使用不归一的相关系数 ,x)=四mRx 八(x,x)=[Rex(x1( 四宁mRx 类似地,归一化和不归一的相关系数的定义可推广 p(r,I,) 到周期信号和功率信号的情况 [=[0把工m 例1求两个信号x1(0=4+B0sa和x()=C+Dco(m+b的相 TL-1 (Pd=L[LA+Bcos/Fdr 解:这是两个周期信号,周期为:T=2r/a0 B2cos2or r(x,x)=了L2Rx(x2() 7IrnLA+ Bcos Of JC+Dcos( oJ+0)lr B--[+cos 2oor la LraaCa AD cos(of+elr BD cos @o(@/+exr +1D2 =AC+ BD -(cos 0+ cos(20n/ +0)r e[x (r, ()pr

2014-06-18 2 x t x t dt x t x t dt x t dt x t dt x t x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt Q x t dt                                             2 * 2 * 2 2 2 2 2 2 2 * 1 2 * 1 2 2 2 * 1 2 1 2 Re[ ( ) ( )] Re[ ( ) ( )] | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] 2Re[ ( ) ( )] | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )|  50 7 x t dt x t x t dt x t dt x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt x t dt                                    2 2 2 2 * 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )| 2 Re[ ( ) ( )] | ( )|  两边同除以 x t dt    2 1 | ( ) | x t dt x t dt x t x t dt x t dt Q                   2 2 2 1 2 2 * 1 2 1 | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] 1 | ( )|  1/ 2 2 * 1 1 2 Re[ ( ) ( )] ( , )           x t x t dt  x x  定义：两个信号的相关系数 50 8 2 2 2 1 | ( )| | ( )|           x t dt x t dt 1 ( , ) | ( )| 1 2 2 2 1 x x x t dt Q          (x1, x2)越大，最小的均方差Q越小  相关系数(x1, x2)是两个信号相似程度的度量  | (x1, x2 ) |1  许瓦兹不等式：  (x1, x2)定义为两个信号的归一化相关系数 x t ax t a为实常数， 等号成立 x t x t dt x t dt x t dt when ( ) ( ), | ( ) ( ) | | ( )| | ( )| * 1 2 2 2 2 1 2 1 2            50 9 r x x x t x t dt    ( , )  Re[ ( ) ( )] 2 * 1 2 1  (x1, x2)=1表示两个信号波形完全相似  类似地，归一化和不归一的相关系数的定义可推广 到周期信号和功率信号的情况  有时也使用不归一的相关系数： x t x t dt T r x x T T  / 2 / 2 2 * 1 2 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )  对两个相同周期(T)的信号，相关系数定义为： 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 | ( )| 1 | ( )| 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )               x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T  50 10 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 | ( ) | 1 | ( ) | lim 1 lim Re[ ( ) ( )] 1 lim ( , )                  x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T T T T   对功率信号，相关系数定义为： x t x t dt T r x x T T  T  / 2 / 2 2 * 1 2 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , ) lim 求两个信号x1(t)=A+Bcos0t和x2(t)=C+Dcos(0t+) 的相 关系数 例1 解：这是两个周期信号，周期为： 0 T  2 /    1 1 [ cos ][ cos( )] 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , ) / 2 / 2 / 2 / 2 0 0 / 2 / 2 2 * 1 2 1 A B t C D t dt T x t x t dt T r x x T T T T T T            50 11           cos 2 1 [cos cos(2 )] 2 1 1 cos cos( ) 1 cos 1 cos( ) 1 1 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 AC BD BD t dt T AC BD t t dt T BC tdt T AD t dt T ACdt T T T T T T T T T T T                       2 2 / 2 / 2 0 2 2 / 2 / 2 0 2 2 0 2 / 2 / 2 2 0 / 2 / 2 2 1 1 [1 cos 2 ] 2 1 1 [ 2 cos cos ] 1 [ cos ] 1 | ( )| 1 A B B t dt T A A AB t B t dt T A B t dt T x t dt T T T T T T T T T                      50 12 2 2 / 2 / 2 2 2 2 1 | ( ) | 1 x t dt C D T T T     类似 2  A  B 2 1 2 2 2 2 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 2 1 2 1 cos 2 1 | ( )| 1 | ( )| 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )                                     A B C D AC BD x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T  

2014-06-18 当4=C=0时 、相关函数 AC+- BCos日 相关系数不足以表示两个信号的相似程度 p(x1,x)= 例中x()= Bose,x2()=Dcos(an+)= Dcose(+b/n) 相关系数与其中一个波形的时间移动有关 频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间 相位差的余弦函数 ·x1(和x2(的互相关函数( cross-correlation)定义为: 进一步,当相位差为:=2+kx,k=0±1+2 对能量信号 P(x,x2)=0两个信号不相关 R2(r)=x,(0xi( 对功率信号 不相关通常称为正交 把C40- 对周期信号 例2求图示两个信号x(和x0的互相关函数 R2(r)=[x()x2(-r)d 当x4(=x1(0=x(0),类似地将x(0的自相关函数auto correlation定义为: 对能量信号 R, (r)=x(t)r(t-r)di 对功率倍号 解 R(r)=Y(0)x2(t-r dr R, (r)=lim- )=x(1)x2(t-r)dt=0 R, (r)==L x(t)x(t-r)di 5 x(-)↑-12时,R2()=[x()2(-r)d=0

2014-06-18 3     cos 2 1 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 cos 2 1 ( , ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2                                           B D BD A B C D AC BD x x 当A=C=0时： 两个频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间 相位差的余弦函数 50 13 (x1, x2 )  0 相位差的余弦函数 进一步，当相位差为： , 0, 1, 2, 2   k k      两个信号不相关 不相关通常称为正交 二、相关函数  相关系数不足以表示两个信号的相似程度         ( , ) cos ( ) cos , ( ) cos( ) cos ( / ) 1 2 1 0 2 0 0 0        x x 例1中 x t B t x t D t D t 相关系数与其中一个波形的时间移动有关  x (t)和x (t)的互相关函数(cross-correlation)定义为： 50 14    R ( )  x (t)x (t  )dt * 12 1 2    x1(t)和x2(t)的互相关函数(cross-correlation)定义为： 对能量信号     / 2 / 2 * 12 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) lim T T T x t x t dt T R   对功率信号   R  x t x t  dt x ( ) ( ) ( ) *      / 2 / 2 * 12 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) T T x t x t dt T R    当x2(t)=x1(t)=x(t)，类似地将x(t)的自相关函数(auto￾correlation)定义为： 对能量信号 对周期信号 50 15  x ( ) ( ) ( )    / 2 / 2 * ( ) ( ) 1 ( ) T T x x t x t dt T R   对功率信号     / 2 / 2 * ( ) ( ) 1 ( ) lim T T T x x t x t dt T R   对周期信号 求图示两个信号x1(t) 和x2 例2 (t)的互相关函数 x1(t) 0 1 2 t 1 2 t x2(t) 0 1 1 50 16 解：    R ( )  x (t)x (t  )dt 12 1 2    t x2(t-) 1+ 0 1  0 当12时， ( ) ( ) ( ) 0 12  1 2      R  x t x t  dt               0 else 4 2 1 2 1 1 1 ( ) 12     R  R12() 50 18 -1 1 2  0 2

2014-06-18 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 对能量信号,着 称E2(a为x1(0和x2(0的互能量谱,简称互谱 Hx()]=X1(O),Hx2()=X2(o,FR12()=E12(o) 推论:FR()=X(o)X(m)=E,(O) →E2(o)=X1(O)X2(O) 维纳辛钦定理 函数的傅里叶变换为信号的能量谱 R2()=x(0x(-M=上x(C 对功率信号,类似地有 C(01x(okm-a=1x(o)广x0)he"如 功率信号x1(0)和x2(的互相关函数的傅里叶变换P2(a 称为功率信号x1(和x2(的互功率谱,也简称互谱 sLxi(e).x,(e)el"de F[R2()=B2( E2(o)=HR2(r)=X1(a)x2(a) 维纳辛钦定理 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 R1(r)≤R(0)=Ex 能量信号自相关函数在τ=0时有最大值,最大值为信号的能量 FIR ( r)=P(o) 互相关函数在r=0时不一定有最大值 2、相关函数的最大值 对能量信号 R2(0)=L x,(r o t=LX, (o).x;(oje lord. don 根据许瓦兹不等式 称R2(0为信号x1(0和x:0的交叉能量 nx()=ax2(n),a为实常数,等号成立 对功率信号,类似地有 ()-x0x-M[xora!x(-r-Ep=E R(r)≤R2(0)=P 功率信号自相关函数在r=0时有最大值,最大值为信号的功率 互相关函数在r=0时不一定有最大值 当x(0)为实信号时,R(是实函数 R2(0)=P(o)do R(r)=r(r)= R(r)=R(r) 实信号的自相关函数是r的偶函数 R12(0)为信号x1(0)和x2(D的交叉功率 对于互相关函数,有 3、共轭对称性 R2(r)=R21(-r) 信号自相关函数具有共轭对称性 仍以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 证:-[+j 令:t=t-r→dt=dh R-)-x(-)x)M-xx(-)=Rr) E(-)=x(r-r)xr=x1(nx2(t-r)d=R2(r) 50

2014-06-18 4 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 ( ) ( ) ( ) F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ) * 12 1 2 1 1 2 2 12 12        E X X x t X x t X R E       对能量信号，若 证： 50 19 ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) * 12 12 1 2 1 * 2 1 * 2 * ( ) 1 2 * ( ) 1 2 * 12 1 2                           E R X X X X e d x t X e d dt X x t e dt e d R x t x t dt x t X e d dt j j t j t j j t                                            E12()具有能量谱的量纲 推论： F[ ( )] ( ) ( ) ( ) * Rx   X  X   Ex  称E12()为x1(t)和x2(t)的互能量谱，简称互谱 维纳-辛钦定理： 能量信号自相关函数的傅里叶变换为信号的能量谱 50 20  对功率信号，类似地有： 功率信号x1(t)和x2(t)的互相关函数的傅里叶变换P12() 称为功率信号x1(t)和x2(t)的互功率谱，也简称互谱 F[ ( )] ( ) R12   P12  维纳-辛钦定理： 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 F[ ( )] () Rx  Px 2、相关函数的最大值  对能量信号 50 21 Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 (0) ( ) ( ) | ( )| | ( )| [ ] x t ax t a为实常数， 等号成立 x t x t dt x t dt x t dt when ( ) ( ), | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | * 1 2 2 2 2 1 2 1 2            根据许瓦兹不等式： Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                  1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 ( ) ( ) (  ) | ( )| | (  )| [ ] 能量信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的能量                    R x t x t dt X X e d j 1 1 ( ) ( ) 2 1 (0) ( ) ( ) * 0 * 1 2 * 12 1 2  Rx  Rx  Ex ( ) (0) 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 50 22                X X d E ( )d 2 1 ( ) ( ) 2 1 12 * 1 2 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉能量 Rx  Rx  Px ( ) (0)  对功率信号，类似地有： 功率信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的功率        R P ( )d 2 1 (0) 12 12 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉功率 信号自相关函数具有共轭对称性 3、共轭对称性 50 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * *     x Rx  R   x t  x t dt  x t x t  dt                    R   x t x t  dt x t x t dt x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * *    以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立 证： 令： t  t  dt  dt ( ) ( ) *    Rx Rx ( ) ( ) ( ) ( ) * R   R   R   R  当x(t)为实信号时，Rx()是实函数 实信号的自相关函数是 的偶函数 对于互相关函数，有： ( ) ( ) * 12 21 R   R  仍以能量信号为例来证明 结论对功率信号也成立 50 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 * 1 1 2 * 2 * 21  R   x t  x t dt  x t x t  dt  R                    R ( )  x (t)x (t  )dt x (t)x (t )dt 1 * 2 * * 2 1 * 21 证：    令： t  t  dt  dt 仍以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立

2014-06-18 4、相关与卷积的关系 再计算第一个信号与第三个信号的共轭信号的卷积 以能量信号为例来说明 x()*x()=上((x-d=[x((-m x()=[x(r2(t-r)dr,(o)=X1(a)x2(a) =x(013(-M=R( 计算结果就是第一个信号与第二个信号的互相关函数 R2(r)=x(i(-rydi, En(o)=X,(o).x'(o) 四、线性系统与相关函数的关系 相同点:时间延迟、相乘、粉分 对能量信号 不同点:卷积信号反转;相关信号共轭 确定性信号通过线性系统 互相关可化为卷积来计算卷积存在快速算法 w(0=r(0*hoU 先将第二个信号时间起上反转,记为第三个信号 Y(o)=X(o)H(o) x3()=x2(-1) HRr)=E,(o)=Y(a)Y(a)=[xo)H(a)x(o)H(o s0=X(o)x'(o)H(o)H'(a)=E,(o)H() FIR, (r)=H(oH(o)=H(oI §1 Hilbert变换 R (r)=R(r)*R,(r) 、 Hilbert变换的基本概念 类似地有 Hilbert变换(希尔伯特变换/变换):移相网络 FR(r)=E(o=Y(ox(o)=[(o)H(o)r(o) X(OX(OH(o=E(oH(o) 0<0 R3(r)=R()°h(r) 对功率信号,同样有 p(o) R,(r)=R2()°R(r) FIR (r)]=P(o)=P(oH(o) R(r)=R(r)h(r) 5 H()= 域:i(1)=x(1)*()=m Hsoj对称性:x)=x(o)n1x)=2x-) 频域:Fi(m)=X(m)H(a)=-jSgm(m)x(a) Hilbert反变换: H(O)=-jSgm()→h() x()的 Hilber变换:i() h1()= H变换 ()=x()*h1(D)=x(1) 5

2014-06-18 5 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x t  x1  x2 t  d X   X1  X2     4、相关与卷积的关系 卷积：  以能量信号为例来说明 相关： ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) * 12 1 2 * R12   x1 t x2 t  dt E   X  X     50 25 ( ) ( ) 3 2 x t  x t  相同点：时间延迟、相乘、积分 不同点：卷积信号反转；相关信号共轭  互相关可化为卷积来计算(卷积存在快速算法) 先将第二个信号时间域上反转，记为第三个信号： 再计算第一个信号与第三个信号的共轭信号的卷积： 计算结果就是第一个信号与第二个信号的互相关函数 四、线性系统与相关函数的关系 ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 12 * 1 2 * 1 3 * 1 3 * 1 3       x t x t dt R x x x t x t dt x t x t dt                  50 26 * * 2 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| ( )| F[ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )                  X X H H E H R E Y Y X H X H Y X H y t x t h t x y y             对能量信号 确定性信号通过线性系统： ( ) ( )* ( )  Ry  Rx Rh ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) * * *                R R h X X H E H R E Y X X H X x yx yx      * 2 F[R ( )] H()H () | H() |  h   类似地有： 50 27 R ( ) R ( )*h( ) yx  x  对功率信号，同样有： ( ) ( )* ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) F[ ( )] ( ) ( ) | ( )| 2               R R h R P P H R R R R P P H yx x yx yx x y x h y y x       §1.9 Hilbert变换 一、Hilbert变换的基本概念  Hilbert变换(希尔伯特变换/H变换)：移相网络          0 0 ( ) 2 2      j j e e H 50 28 |H()|  1   () /2 -/2 F[ ( )] ( ) F[ ( )] 2 ( ) 2 F[ ( )]      x t  X  X t  x  j  Sgn t 对称性： 2 ( ) 2 ( ) 2 F  Sgn   Sgn  jt            ( ) 0 0 0 0 ( ) 2 2         jSgn j j e e H j j                   50 29  x(t)的Hilbert变换：xˆ(t) t H jSgn h t    1 ( )   ( )  ( )  x(t) H变换 x(t)          d x t d t x t x t x t h t x t 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ˆ( ) ( )* ( ) ( )*             F[xˆ(t)]  X ()H()   jSgn()X () 时域： 频域：  Hilbert反变换： 50 30 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2      jSgn j Sgn j H jSgn H       t h t  1 ( )  1   t x t t x t x t h t x t   1 ˆ( )* 1 ( ) ˆ( )* ( ) ˆ( )* 1           

2014-06-18 例1求信号x(=cs0的H变换 从频率域求解 解:从时间域求解 (n=coso>(o-Oo)+IO(@+oo) x()=x() coso,(t-r)]-dr (1)←→X(o)H(a)=-iro(-o)+jrb(a+e0) =cos oud cos oor-dr+=Ls in osin Dor-dr COs@o r cOs Oot (@) H coso为的偶函数: SIn ( oT、t为奇函数 i(=isner sinoo dr=sin r singed(or) n=2aoh=2wo)2m号=如m吗, 常见的 Hilbert变换 二、 Hilbert变换的性质 1、H变换只改变信号的相位谱,振幅谱不变 0()←→1 cOS Ool --sin @ I sin @o/ <>-cos @o 0>0 →-D(1) Hilber变换幼2移相器 ·对能量信号→能量谱不变→能量不变 对功率信号→功率谱不变→功率不变 2、实信号的H变换仍为实信号 6(0=x(0°+h()=x(0°1 e←c ~3) -ye=sin@oI-Jcos@o/ 3、实信号x(0)与其H变换(1)是正交的: →上oiM=2Cxo)roso)do x(ox(xt=0 I 证:对于实信号 对实信号:|X(a)为的偶函数 R2()=x(0x3(-M=⊥x1)(-r)h 2L E(e)e/de=2[,(e)x:(o)je/de →|X(o)|USgn(o)为o的奇函数 令:r=0,x1(1)=x(1),x1()=i R2(0)=x()x2()d x(o)x(n)dt 2rL X(@)F USgn(o)do=0 4、信号x()的H变换x()的H变换为: 2r Jo(o)(F[(ol,do i(t)=-x(t) L[x(o:x(on

2014-06-18 6 求信号x(t)=cos0 例1 t的H变换 解：                         t t t d t d t d t x t x t                   0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos cos sin sin 1 sin sin 1 1 cos cos 1 1 cos[ ( )] 1 1 ˆ( ) ( )* 从时间域求解： 50 31  cos0 为的偶函数；sin0 、为的奇函数             d t d t     0 0 0 0 cos cos sin sin t t Si t Sa x dx t d t d t x t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 2 2sin ( ) 2sin ( ) 2sin ( ) 2sin sin 2sin sin ˆ( )                                    x t t x t X H j j H jSgn x t t 0 0 0 F 0 0 F 0 ˆ( ) sin ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( )                                   从频率域求解： 50 32 X() H()    () () (-j) (j) -j j   ( ) 1 1 ( ) cos sin sin cos 0 0 0 0 t t t t t t t t H H H H              常见的Hilbert变换：  Hilbert变换-/2移相器 50 33 t t t t t t H H 0 0 0 0 0 0 cos 2 sin sin sin 2 cos cos                            e e e e je t j t j t j t j H j t j t 0 0 2 2 sin cos 0 0 0 0                       二、Hilbert变换的性质 1、H变换只改变信号的相位谱，振幅谱不变          0 0 ( ) 2 2      j j e e H  对能量信号 能量谱不变 能量不变 50 34  对功率信号 功率谱不变 功率不变 2、实信号的H变换仍为实信号          d x t d t x t x t x t h t x t 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ˆ( ) ( )* ( ) ( )*             3、实信号x(t)与其H变换 是正交的： xˆ(t) ( )ˆ( )  0    x t x t dt 证：                           E e d X X e d R x t x t dt x t x t dt j j ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 12 1 2 1 2 * 12 1 2 对于实信号： 50 35 令：                           X X jSgn d X x t d R x t x t dt x t x t dt * * 12 1 2 ( ){ ( )[ ( )]} 2 1 ( ){F[ˆ( )]} 2 1 (0) ( ) ( ) ( )ˆ( ) 2  2  0, ( ) ( ), ( ) ˆ( ) 1 2   x t  x t x t  x t                      X jSgn d x t x t dt X X jSgn d | ( ) | [ ( )] 2 1 ( ){ ( )[ ( )]} 2 1 ( )ˆ( ) 2 *  | X ()|[ jSgn()]为的奇函数 对于实信号：| X () | 2 为的偶函数 然而： Sgn()为的奇函数 50 36 4、信号x(t)的H变换 的 xˆ(t) H变换为： | ( )| [ ( )] 0 2 1 ( )ˆ( ) | ( )|[ ( )] 2                  x t x t dt X jSgn d X jSgn － 为 的奇函数 ( ) ( ) ˆ xˆ t  x t

2014-06-18 证:F[()=Hi()-Sgn(a)=x(o)-sgn(o)l-/sgn(o 三、 Hilbert变换的应用 X(o-1)"ISgn(o)=-X(o)Sgn(o) 1、实信号的单边频谱表示一一解析信号 -X(a)×(-1)×(-1)a0 R(oD-jldoD 0 -R(∞D+/1(daDa0 Rel(o)l ImhO) 成(e)+l1()a>0 jRGoD+I(oD 00 解析信号的虚部为其实部的H变换 [R(eD-ji, (oDl+f-R(oDj(eD] a 解析信号的傅里叶变换总是因果的 2R{)+l1(o)=2x(c)e>0 常见实信号x()的解析信号y(0 Y(o) (1)=cos. - v(r)=x(r)+jr(n=cos@+jsin o,I=e ay ()= cos(ol←→o(a-)+xo(a+0) x(n)=sin@f -y(t=x(n)+jx(t)=sin @of-jcosoot 信号只存在a>0的频谱单边频谐) -i(cos@f+jsin @r)=-je=e/ 信号(称为实信号x()的解析信号( analytic signal x(o=sin omff-jro(@-O)+jro(o+Oo) v()=x()+()=x(0)+月x0) ()=-je←+-12zb(a-cb)=-2jni(a-ab)

2014-06-18 7 5、卷积的H变换： 证： ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) ( 1) ( 1) 0 ( ) 1 1 0 ( )( 1) [ ( )] ( )[ ( )] ( )] F[ ˆ( )][ ( )] ( )[ ( )][ ( )] ˆ F[ ˆ 2 2 2 2 x t x t X X X X j Sgn X Sgn x t x t jSgn X jSgn jSgn                                          50 37 5、卷积的H变换： ˆ ( )* ( ) 1 ( )* ˆ ( ) ( )* ( )* 1 ( )* ( )* 1 [ ( )* ( )]* 1 ˆ( ) ( )* 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x t x t t x t x t x t x t t x t x t t x t x t t x t x t                      if ( ) ( )* ( ) ˆ( ) ˆ ( )* ( ) ( )* ˆ ( ) 1 2 1 2 1 2 x t  x t x t  x t  x t x t  x t x t 证： 三、Hilbert变换的应用 1、实信号的单边频谱表示－－解析信号  实信号x(t)的频谱实部关于偶对称，虚部关于奇对称 Re[X()] Im[X()] 50 38  已知实信号>0的频谱部分  实信号的频谱X()  有时只需讨论>0的频谱部分  单边频谱的信号    I1()  R1() 50 39          (| |) (| |) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 F        R jI R jI x t X                       (| |) (| |) 0 ( ) ( ) 0 [ (| |) (| |)] 0 [ ( ) ( )] 0 ˆ( ) ( ) ( )[ ( )] 1 1 1 1 1 1 1 1 F                jR I jR I j R jI j R jI x t X H X jSgn           (| |) (| |) 0 ( ) ( ) 0 ˆ( ) ( ) 1 1 1 1 F        jR I jR I x t X H  Im[XH()]  Re[XH()] 50 40             (| |) (| |) 0 ( ) ( ) 0 ˆ( ) ( ) (| |) (| |) 1 1 1 1 F 1 1        R jI R jI jx t jX j H  Im[jXH()]  Re[jXH()]                          0 0 2[ ( ) ( )] 2 ( ) 0 [ (| |) (| |)] [ (| |) (| |)] 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) ˆ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F                  R jI X R jI R jI R jI R jI t x t jx t Re[ ()] Im[ ()] 50 41    信号 (t)只存在 >0的频谱(单边频谱)  信号 (t)称为实信号x(t)的解析信号(analytic signal)           t t x t jx t x t j x t   1 ( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( )* 解析信号的虚部为其实部的H变换 解析信号的傅里叶变换总是因果的 j t x t t t x t jx t t j t e 0 0 0 0 ( ) cos ( ) ( ) ˆ( ) cos sin             ( ) cos ( ) ( ) F 0 0 F x t  0t        常见实信号x(t)的解析信号 (t) 50 42 ( ) 2 ( )0 F  0        j t t e ( / 2) 0 0 0 0 0 0 0 (cos sin ) ( ) sin ( ) ( ) ˆ( ) sin cos                       j t j t j t j t je e x t t t x t jx t t j t ( ) [2 ( )] 2 ( ) ( ) sin ( ) ( ) 0 0 F 0 0 F 0  0                           t je j j x t t j j j t

2014-06-18 ·实信号x()的解析信号y()也称为x(的预包络( per-envelope 复合包络w(只有a>0的颜谱→ 实信号x(的复合包络( complex-envelope为 v()=I(1)+Q(=I(t)+(t) y()=v(n)e,a>0 ()和Q(0分别称为x(在频率上的同相分量和正交分量 复合包络也是解析信号 实信号x(可用其在频率a上的复合包络来描述 2X(o)a>0 e"←→2m(a-a) x(=Rely(o]= Rely()ee a]= Rely(oe -e] x(也可用其在频率a上的同相分量和正交分量来描述: 92x(-a)> x()=Rev(me]=Re{[I(1)+Q(t)coso-jsinel Rely) Im[ Y(o) ·y(i)或y的幅度称为x()的自然包络( natural envelope) 自然包络A()是正实信号 例2求信号x( cosar的预包络、复合包络和自然包络 2、实因果信号频谱实部与虚部的关系 () and J()≠01>0 x(的预包络为: 其频谱X(为 x(1)←→X(o)=R(o)+(o),I(o)= x(在频率a上的复合包络为: 证:设偶信号0为:0)=(mDo u, (0=y(t) x(的自然包络为:A()=v.()Hv(t)=1 验证:I(t)=cos(+o2,Q(t)=sin(a+o2 os(@+O ) f coso r+sin(o+@ )sino t 5 x(1)=(t)a(r) x(0为因果信号→RO)=⊥x0)sh= r(ocosotdr x(o)={ao),0oy/ao)*a(o)+a(o) aD(o)=2 r(t)cos atdt=2R(o) R(a)+-R(a) a(o)-⊥w0k-d-0)osuh-⊥) sindt 、cosa偶信号;sina为奇信号→ (o)=-R(o)+1 p) cos se为偶信号:d(n)sino为奇信号 b (o)=25 A()cos otdr=2 x()cos antdt 实E 部和虚部不独立,两者为H变换关系 Lx(o)=[r(e dt=L x(O)cos otdr -r(0)sin ordr 例3讨论阶跃信号n(频谱实部与虚部的关系 so =R(o)+jI(o)= R(o)= r(n)cosotdr 解:(0)←→nbo=a(a)+-17

2014-06-18 8 ( )  ( ) , c  0 j t e c  t  t e            c j t e X c         , 2 ( ) 0 0 2 ( ) 0 ( ) F  实信号x(t)的解析信号 (t)也称为x(t)的预包络(per-envelope)  实信号x(t)的复合包络(complex-envelope)为： 复合包络也是解析信号 50 43          c c c e X        0 2 ( ) ( )  Re[e()] c  Im[e()] c ( ) ˆ (t) I(t) jQ(t) I(t) jI t  e     ( ) Re[ ( )] Re[ ( ) ] Re[ ( ) ] j t e j t j t c c c x t t t e e t e            复合包络e(t)只有 >0的频谱  I(t)和Q(t)分别称为x(t)在频率c上的同相分量和正交分量 实信号x(t)可用其在频率c上的复合包络来描述： x(t)也可用其在频率 上的同相分量和正交分量来描述： 50 44 I t t Q t t x t t e I t jQ t t j t c c c c j t e c       ( ) cos ( )sin ( ) Re[ ( ) ] Re{[ ( ) ( )][cos sin ]}        A(t) | (t)| | (t)|     e x(t)也可用其在频率c上的同相分量和正交分量来描述：   (t)或e(t)的幅度称为x(t)的自然包络(natural envelope) 自然包络A(t)是正实信号 cost sint H   j t t x t jx t t j t e   ( )  ( )  ˆ( )  cos  sin  例2 求信号x(t)=cost 的预包络、复合包络和自然包络 解： x(t)的预包络为： x(t)在频率c上的复合包络为： 50 45 j t j t j t j t e c c c t t e e e e ( ) ( ) ( )            x(t)的自然包络为：A(t) | (t) || (t) |1  e  cos[( ) ] cos ( ) cos( ) cos sin( ) sin ( ) cos ( )sin t t t x t t t t t I t t Q t t c c c c c c c c                       验证：I t t Q t t c c ( )  cos(  ) , ( )  sin(  ) 2、实因果信号频谱实部与虚部的关系  对于实因果信号x(t)： 其频谱X()为： 设偶信号(t)为：       1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )* F x t  X  R  jI I  R         ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) and * x t t x t t x t x t     ( ) 0 ( ) x t t 证：  t 50 46 设偶信号(t)为：      ( ) 0 ( ) x t t 证：  t 0 t x(t) 0 t (t) 而                                                      1 ( )* 2 1 ( ) 2 1 1 ( )* 2 1 ( ) 2 1 1 ( )* 2 1 ( )* ( ) 2 1 1 ( )* ( ) 2 1 ( ) j j j j X  x(t)  (t)u(t) t e dt t tdt j t tdt j t                   ( ) ( ) ( ) cos ( )sin 50 47 而 (t)、cos t为偶信号；sin t为奇信号  t tdt x t tdt t s t t t         0 0 ( ) 2 ( ) cos 2 ( ) cos ( ) cos ( )sin       为偶信号；  为奇信号 t e dt t tdt j t tdt    () ( ) ( ) cos ( )sin 而 R jI R x t tdt X x t e dt x t tdt j x t tdt j t                             ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) cos ( )sin x(t) 为因果信号  ( ) 2 ( ) cos 2 ( ) 0     x t tdt  R    R x t tdt x t tdt        0 () ( ) cos ( ) cos          ( ) ( ) 1 ( ) ( )* 1 ( )* 2 1 ( ) 2 1 ( ) R j R R jI X j                        50 48 实因果信号频谱的实部和虚部不独立，两者为H变换关系 讨论阶跃信号u(t)频谱实部与虚部的关系    1  I( )  R( )* 例3 解：                  1 ( ) 1 ( ) ( ) F j j u t

2014-06-18 R(o)=n(o)a)=-1 a是窄带信号的载频,a+窄带信号的相位 R(O)ro --noa*12(or0 ()=-R(O) 3、窄带信号的H变换 x(t)=a(r)cos[o+8] 其中a(相对 cos(ar+b来说,是慢变化的信号 即a(n)的频谱为低通型的 窄带信号x()的H变换为: )←→+A(O)= else i(D)=a()sn(4+6)

2014-06-18 9      1 R( )  ( ) I( )               1 ( ) ( )* 1 1 ( )* 1 ( )* 1 ( )* I R R           3、窄带信号的H变换 50 49 ( ) ( ) cos[ ] x t  a t 0t  3、窄带信号的H变换  窄带信号x(t)的表达式： 其中a(t) 相对cos(0t+)来说，是慢变化的信号 即a(t)的频谱为低通型的：          0 else 0 | | ( ) ( ) 0 F     c a t A t x(t) 0 a(t) 0是窄带信号的载频，0t +是窄带信号的相位 -c c  |A()| |X( )| 50 50 ˆ( ) ( )sin( ) x t  a t 0t   窄带信号x(t)的H变换为： 0 -0  -0-c |X()| -0+c 0-c 0+c