复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_03 傅里叶变换

2014-06-18 二、典型基本运算 1.尺度变换x(1)→x(a 2.僧号的翻转x(0→x(4 将x()以纵轴为中心作翻转 x(-t) 着0<a1,则xan是x()的扩展 若a1,则x(a是x(0)的压缩 3.时移(平移)x()→x(-) 4.信号的相加x(0=x(+x()+……x0 x2() (t)表示信号右移 x(r+t)表示信号左移 5.信号的相乘x(O)=x1(0)x40)…x(0 6.信号的微分y(0=dx(ar=x( y(1) 59

2014-06-18 1 1. 尺度变换 x(t)  x(at) a0 二、 典型基本运算 59 1 若01， 则x(at)是x(t)的压缩 2. 信号的翻转 x(t)  x(t) 将x(t)以纵轴为中心作翻转 59 2 3. 时移（平移） x(t)  x(tt0) t0>0 59 3 x(tt0)表示信号右移 x(t+t0)表示信号左移 4. 信号的相加 x(t)=x1(t)+ x2(t)+ ……xn(t) 59 4 5. 信号的相乘 x(t)=x1(t) x2(t) ……xn(t) 59 5 6 . 信号的微分 y(t)=dx(t)/dt=x'(t) 59 6 y(t) t 1 1 1 2  2 1

2014-06-18 注意:对不连续点的微分 7.信号的积分y()=x(r)dr () y(1) 8.信号的卷积 例1计算x(n)*y(1),其中x(t)=u(r),y(t)=eu(r) x()和y(的卷积定义为 4x()x(r) 1)(r ()*y(1)=Lx()(t-r)dr 卷积的计算步骤 1)将x(0)和y()中的自变量由r改为r x()y(-z) 2)把其中一个信号翻转、平移 )-型,y7)-平B,y(x-0)=)(-) = 3)将x(n与(相乘,对乘积以τ积分 f<0x(0*y()=0f20x0*y(0=-e-r=e“=1-5i 例2计算y(0=p1()P1(0 0<t< c)0≤<1 解:p(O)P() P1()P1(t-r) y(1)= d)1 st<oo P(r)P(-) a)-0r≤-1yn=0 P1(t)P1(t-) b)-1≤t<0 y(1) =1+t 05+1 59

2014-06-18 2  注意：对不连续点的微分 59 7 7. 信号的积分    t y(t) x( ) d 59 8  x(t)和y(t)的卷积定义为：    x(t) y(t)  x( ) y(t  )d 1）将 (t)和 (t)中的自变量由t 改为  卷积的计算步骤： 8. 信号的卷积 59 9 y( )   y( )   y((  t))  y(t  ) 翻转 平移t 1）将x(t)和y(t)中的自变量由t 改为 2）把其中一个信号翻转、平移 3）将x() 与y(t-)相乘，对乘积以 积分 x(t)* y(t), x(t) u(t), y(t) e u(t) t 计算 其中   x( ) y( )   例1 解： 59 10 t t t t t t t x t y t t x t y t e d e e x t y t x y t d u e u t d                         if 0, ( )* ( ) 0; if 0, ( )* ( ) 1 ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )           计算y(t) = p1(t) p1(t)  ( ) ( ) 1 1 p  p t    0.5  t 0.5  t 0.5    t  1 1 ( ) 1 p t -0.5 0.5 1 t ( ) 1 p   例2 解： 59 11   0.5  t 0.5  t ( ) ( ) 1 1 p  p t    1  t  0 1 a) t  1 b)  t < 0 y t dt t t       ( ) 1 0.5 0.5 y(t)=0 t  1 p (t)  p (t) c) 0  t < 1 y t dt t t      ( ) 1 0.5 0.5 d) 1  t < (t) 0 59 12   0.5  t 0.5  t ( ) ( ) 1 1 p  p t   1 1 -1 1 ( ) ( ) 1 1 p t  p t t y(t)=0

2014-06-18 卷积的性质 位移特性证明: 1)交换律( Communitive):x1(0*x2(=x2(0x1(0 x(t-4)*x2(-12)=x1(r-4)x2(-r-12)dr =Cx(x1(-4-4-x2 2分配律 Distributive:r1(0+x2Ox(0=x1(0x)+x2)*x3(D )结合律( Associative): x1(0x2)x3(=x(0+x2(O*xfO 4位移特性( Delay accumulation 已知x1(0x0=y(0)则:x1(-1)x1-t2)=y(-1-2) x, (at)*x2 (at)=x, (ar)x2 a(t-r) 5展缩特性 已知x1(°x2(O=y x,(ar)*x2(at)=ny( C x,x)x(at-x)dr=sylar) 奇异信号的卷积 x(1)=xc()+xc(1)xc(t) x()di 1)延迟特性x()°at-n=x(t-n x-t+5(-)=2x(-4-h2) -1)461-4)=6 微分特性x(06'=x'(n 直流 x(n)=xpc()+xa(n) 3积分特性 ()+u()=fx(r)u(t-T)dr =lr(r)dr 三、信号的分解 交流 1.信号分解为直流分量与交流分量 2.信号分解为奇分量与偶分量之和 x(t)=x(1)+x() 偶分量奇分量 x(0)=1[x()+x-m)x(0)=5[x()-x- x()=-x(-1) 例3画出x(的奇、偶两个分量 59

2014-06-18 3  卷积的性质 1)交换律(Communitive)： x1(t)*x2(t) =x2(t)*x1(t) 2)分配律(Distributive)： [x1(t)+x2(t)]*x3(t)=x1(t)*x3(t)+x2(t)*x3(t) 3)结合律(Associative)： [x1(t)*x2(t)]*x3(t)=x1(t)*[x2(t)*x3(t)] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 x t  x t  x x t  d  x x t  d  x t  x t             59 13 3)结合律(Associative)： [x1(t) x2(t)] x3(t) x1(t) [x2(t) x3(t)] 4)位移特性(Delay accumulation)： 已知 x1(t)*x2(t)=y(t) 则: x1(t - t1)*x2(t - t2)=y(t - t1 - t2) 5)展缩特性 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 y at a 已知 x1(t)*x2(t)=y(t)  x at  x at  x1(t t 1) x2 (t  t2 )     x (  t )x (t   t )d 1 1 2 2       x x x t  t  t  x dx t x ( ) ( ) 1 2 1 2 1  ( ) 1 2  y t  t  t 位移特性证明： 59 14 x1(at) x2 (at)       x x x at  x dx a a x ( ) ( ) 1 1 2  ( ) 1 y at a  展缩特性证明：    x (a )x [a(t  )]d 1 2  奇异信号的卷积 1)延迟特性 x(t)*(t -T)=x(t -T) 2)微分特性 x(t)* '(t)=x'(t) 3)积分特性 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 x t  t  t  t  x t  t  t ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2  t  t  t  t   t  t  t 59 15 )积分特性         t x(t) u (t) x( )u (t  )d x( )d 三、 信号的分解 1．信号分解为直流分量与交流分量    b a DC x t dt b a x t ( ) 1 ( ) 直流 x(t) x (t) x (t)  DC  AC x(t) x (t) x (t)  DC  AC 59 16 交流 2. 信号分解为奇分量与偶分量之和 x(t) x (t) x (t)  e  o [ ( ) ( )] 2 1 x (t) x t x t e    [ ( ) ( )] 2 1 x (t) x t x t o    偶分量 奇分量 59 17 x (t) x ( t) e  e  x (t) x ( t) o   o  例3 画出x(t)的奇、偶两个分量 解： 59 18

2014-06-18 3,信号分解为实部分量与虚部分量 ()=x,()-jx(n) x,()=[x()+x() x(D)=[x()-x*() 续信号表示为冲激信号的选加 4.连续信号分解为冲激函数的线性组合 +x(k△u(t-kA)-a x(0)=…+x(0))-a(-△)△+x△)2(=△) §14常见信号的傅里叶变换 -k△)-l(-k△ 1、单边指数信号 (t)a>0 当A小0时,k4→,4dr,且 x(o)=L r(t)e"je'dt=[e"a'ejodt= ato M(t-k△)-l(t-k-△ 幅度频谱为roy=~ (1)=x(r)6(t-)dr=x(t)*() 相位频谱为o)= 单边指数信号及其帽度频谱与相位频谱 2、单位冲激信号6(0) Cel- s(xdt=ls(dt= (a) 59

2014-06-18 4 3．信号分解为实部分量与虚部分量 x(t) x (t) j x (t) r i    实部分量 虚部分量 x*(t) x (t) j x (t) r i    1 59 19 [ ( ) *( )] 2 1 x (t) x t x t r   [ ( ) * ( )] 2 j 1 x (t) x t x t i   4. 连续信号分解为冲激函数的线性组合 59 20                           ( )[ ( ) ( )] ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )] x k u t k u t k x t x u t u t x u t u t                                            k u t k u t k x k u t k u t k x k u t u t x u t u t x t x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0)    59 21 当0时，k，d，且  x(t)  x( ) (t  )d  x(t)* (t)    ( ) ( ) ( )           t u t k u t k 1、单边指数信号 ( )  ( )  0   x t e  t u t ， X x t e dt t       j ( ) ( ) e e dt  t  jt       e t      1 ( j ) §1.4 常见信号的傅里叶变换 59 22 X x t e dt    j ( ) ( ) 幅度频谱为 2 2 1 ( )     X  相位频谱为           () arctg e e dt j 0   j   j     ( ) 0 单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱 59 23 2、单位冲激信号δ(t) 单位冲激信号及其频谱 F[ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 0                 t t e dt e t dt t dt t j t j t       59 24 0 t  (t) (1)

2014-06-18 3、直流信号 直流信号及其频谱 FLA=2T AS(o) F[A]= Ae e dr a()=2rcdb3o)-2[ 对照冲激、直流时频曲线可看出: 时垣持续越宽的信号,其频垣的频谱越 时持续越窄的信号,其频域的频谱越宽 4、符号函数信号 符号函数的幅度频谱和相位频谱 符号函数定义为:sgn1)={0t=0 Fsgn(r) ∫(-l"md+ a+Jo o-yo a+Jo 112 FIsgn(D)-=lim Fisgn(te -ow )==jo jo jo 5、单位阶跃信号u() 6、复简谐信号e(-∞<t<∞) ()=1((o+a(-)}+1(--)}=2+sgo 26() Hu(1)=(o) ∫e ·阶跃信号及其频谱 同理:He-=h=2(+mo) 59 5

2014-06-18 5 3、直流信号 F[A]  2 A () A Ae dt j t        F[ ] 59 25 F[ ] 2  ()  A A e dt A j t        t e d e dt j t j t                    2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 t 1 直流信号及其频谱 59 26  对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽 4、符号函数信号 符号函数定义为：           1 0 0 0 1 0 sgn( ) t t t t                 0 ( 1) F[sgn( ) ] sgn( ) e e dt e e dt t e t e e dt t j t t j t t t j t        对 >0，有： 59 27        j j j t t e t 1 1 2 F[sgn( )] lim F[sgn( ) ] 0           0 ( )            0 ( ) 0 ( ) t j t t j t j e j e          j   j     1 1 符号函数的幅度频谱和相位频谱 j t 2 F[sgn( )]  59 28   / 2  / 2 () 0 5、单位阶跃信号u(t) { ( ) ( )} 2 1 { ( ) ( )} 2 1 u(t)  u t  u t  u t  u t sgn( ) 2 1 2 1   t    j u t 1  F[ ( )]  ( )   阶跃信号及其频谱 59 29 0 t u(t) 1   / 2  / 2 () 0  阶跃信号及其频谱 ( ) 0 j e   t    t 1 2 ( ) j          e dt 由 t F[ ] 2 ( )0 j j( ) 0 0               e e dt 得 t t 6、复简谐信号 同理：F[ ] 2 ( ) -j j( ) 0 0            e e dt t t 59 30 同理：F[ ] 2 ( )0 j j( ) 0  0      e e dt

2014-06-18 7、余弦、正弦信号 cys、\-e)+→-rlo(o-Cb)-6(a+a0) )←→mo(a-0)+6(+0) 正弦信号及其频谱函数 ·余弦信号及其频谱函数 (z) (z) §15频谱密度函数的性质 3互易对称特性 duality 1.线性特性( linearity) 若x(1)←→X(o)则X()←→2xx(-0) X(o)e do 则ax()+bx2()→a1(o)+bk2( 其中a和b任意常数 代替t 2.函数下的面积 x(-1)= X(o)e -edo 代替a: 0工o0工xo Y(o)=x(t)e"edt X(O)=ro)dr o代替r,代替s x( o)= x(t)e" dt 4.展缩特性 若x()←F,X(o)则x(ar)1),则频域展宽 X()←→2rx(-o) 时域展宽a<1),则频域压缩 59

2014-06-18 6 7、余弦、正弦信号 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 cos 0 0 0  0 0                j t  j t t e e t  余弦信号及其频谱函数 59 31 t t0 cos 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 sin 0 0 0  0 0                  e e j j t j t j t t 0 sin 1  正弦信号及其频谱函数 59 32 t  0 ()  / 2  / 2 1. 线性特性(linearity) ( ) ( ), ( ) ( ) 2 F 1 2 F 若x1 t  X  x t  X  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 F 则 ax1 t  bx2 t aX   bX  其中a和b为任意常数 §1.5 频谱密度函数的性质 59 33 其中 和 为任 常数 2. 函数下的面积         x t X e d j t ( ) 2 1 ( )    x X d      ( ) 2 1 (0)     X  x t e dt j t () ( )     X (0)  x(t)dt 3.互易对称特性(duality) ( ) ( ) F 若x t  X  ( ) 2 ( ) F 则 X t   x  证：         x t X e d j t ( ) 2 1 ( )      d j t ( ) ( ) -t'代替t： 59 34          x t X e d j t 2 ( ) ( )     x t  X s e ds jst' 2 ( ') ( ) s代替： 代替t'，t代替s：     x   X t e dt jt 2 ( ) ( ) 59 35 ( ) 2 ( ) F X t   x  4. 展缩特性 ( ) ( ) F 若x t  X  , 0 1 ( ) F         a a X a x at  则 令 =at，则d =adt ，代入上式可得 证：             a x at x e d X a     1 ( ) 1 0 F[ ( )] -j /    x at  x at e dt -jt F[ ( )] ( ) 59 36 时域压缩(a>1)，则频域展宽 时域展宽(a<1)，则频域压缩     a  a a [ ( )] ( )                   a X a x e d a x e d a a x at a a        1 ( ) 1 ( ) 1 0 F[ ( )] -j / -j /

2014-06-18 1→x(-1) 推论:若x()是偶函数:x()=x(-0 则其傅里叶变换X(也是偶函数:X(o=X(-a 共轭对称特性 ( symmetry) [ x()eia'dn] 为复 X(o)=X(o)le/ete)= X(o)+jX,(o) 当x()为实信号时 x(1)=x°(1) 若x()4X(o)则x(t-l)←F→,X(oy)e 其中为任意实数 证 2X()=X2(-)偶函数 Flx(t-to) x(t-to)edr x1(o)=-X1(-m)奇函数 令r=t,则dr=d,代入上式可得 X(o)=X(-o)偶函数 Fx(t-to]= x(r) d)=-m)奇函数 e"% x(rje'o dr=e'ioboX(@) 时移特性 (time shift 信号时移,其频谱函数在频坷产生附加相移 而幅度频谱保持不变 例1试求图示延时矩形脉冲信号x1(的频谱函数X1(a 7.频移特性( frequency shift) 则x()e-←→X(a-a) 其中o为任意实数 无延时且宽度为矩形脉冲信号x( 证 由傅里叶变换定义有 对应的频谱函数为 X(O=At F[x(0) w]=x( x(e 由延时特性可得 2

2014-06-18 7 59 37 5.共轭对称特性(symmetry) ( ) ( ) F 若 x t  X  *( ) *( ) F 则x t  X  a =-1  ( ) ( ) F x t  X  推论： 若x(t)是偶函数：x(t)=x(-t) 则其傅里叶变换X()也是偶函数：X()=X(-) 证     59 38 ( ) | ( ) | ( ) ( ) ( )       R I j X  X e  X  jX 证： [ ( ) ]* *( ) F[ *( )] *( ) [ ( ) ]* ( )                      x t e dt X x t x t e dt x t e dt j t j t j t  X(为复数，可以表示为：  当x(t)为实信号时， ( ) ( ) ( ) ( )           I I R R X X X X  X ()  X *() x(t)  x*(t) 偶函数 奇函数 59 39  |X()|=|X(-)| )=) 偶函数 奇函数 6．时移特性(time shift) ( ) ( ) F 若x t  X  0 F -j 0 ( ) ( ) t x t t X e  则     其中t0为任意实数    x t  t  x t  t e dt -jt 0 0 F[ ( )] ( ) 令 = t-t0，则d =dt，代入上式可得： 证： 59 40 令 0，则 ，代入 式可得 ( ) ( ) F[ ( )] ( ) 0 0 0 -j -j -j -j ( ) 0           e x e d e X x t t x e d t t t            信号时移，其频谱函数在频域产生附加相移， 而幅度频谱保持不变 试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数X1 例1 () 解：无延时且宽度为的矩形脉冲信号x(t) 59 41         2 ( )  X  A Sa - T X X e    j 1( )  ( ) ( ) ( ) x1 t  x t T T A Sa e    -j 2         因为 由延时特性可得： 对应的频谱函数为 无延时且宽度为的矩形脉冲信号x(t) 7. 频移特性(frequency shift ) 若 则 ( ) ( ) F x t  X  ( ) ( ) 0 j 0 F    x t  e  X  t 其中ω0为任意实数 由傅里叶变换定义有： 证： 59 42    x t e  x t e e dt j t j t -jt 0 0 F[ ( ) ] ( ) 由傅里叶变换定义有：      x t e dt - j( - )t 0 ( )   ( )  X  0

2014-06-18 FIx(coso ]==FLx(t)e]+-Fx(oe"] 例2求矩形脉冲信号x(0)与余弦信号c0sa相乘后 信号的频谱函数 X(o-c)+X(+0) 解:已知宽度为τ的矩形脉冲信号对应的频谱函数为 调制:信号x(与余弦信号cosa相乘后,其频谱是 X(o=Ar 原来信号频谱向左右搬移a,幅度减半 应用频移特性可得: EOsin@ =F[x(n)e]--F[x(t)e ev FLx(ocos==X(o-0)+=X(o+0. X(o-o)-X(a 例3计算图示升余弦脉冲信号的频谱函数 解m…÷-(…]-() (ey 由频移特性可得 连续信号高频成分少 an÷x 不连续信号高频成分多 rler) 2(1+xlr)a I-eriar 59

2014-06-18 8 F[ ( ) cos ] 0 x t  t F[ ( ) ] 2 1 F[ ( ) ] 2 1 0 0 j t -j t x t e x t e     调制：信号x(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半 ( ) 2 1 ( ) 2 1  X  0  X  0 59 43 F[ ( )sin ] 0 x t  t ( ) 2 1 ( ) 2 1  0  X 0 j X j 同理 F[ ( ) ] 2 1 F[ ( ) ] 2 1 0 0 j t -j t x t e j x t e j     求矩形脉冲信号x(t)与余弦信号cos0 t相乘后 信号的频谱函数         2 ( )  X  A Sa 应用频移特性可得： 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为 例2 解： 59 44 F[ ( ) cos ] 0 x t  t ( ) 2 1 ( ) 2 1  X  0  X  0 应用频移特性可得：                      2 ( 2 ( 2 1 ) 0 ) 0       A Sa Sa 59 45 A x(t)                          0 | | 1 cos | | ( ) 2 t t A t x t 例3 计算图示升余弦脉冲信号的频谱函数 59 46 - 0  t 解：                                                                                  2 2 4 2 4 2 2 2 1 1 2 2 1 cos 2 ( ) t e rect t A e rect t A rect A t e e rect t A rect A t x t t j t j t j t j  2 ( ) 2 F    Sa t rect         由频移特性可得： 59 47 2 2 F 1 ( / ) 1 ( ) 1 ( / ) sin 1 2(1 / ) 1 2(1 / ) 1 1 sin / sin / 2 sin 2 sin( ) sin 2 sin( ) 2 sin 2 4 2 4 2 ( ) 2 ( )                                                                                                         A Sa A A A A A A A A Sa A Sa A Sa A x t 由频移特性可得： A X() x(t) - -/2 /2  t 0 A 连续信号高频成分少 59 48 -4/ -2/ 0 2/ 4/  连续信号高频成分少 不连续信号高频成分多 主瓣宽度 频谱带宽： (Hz) 1  B     2 b 

2014-06-18 8时域卷积特性 Convolution in time) 9频域卷积特性 Convolution in frequency) 若x1()→X1(o)x2(1)←→x2(a) 若x1(1)>K1(o)x2(1)X2(o) 则x()*x()∈>x1(o)·X2(a) 则x(1)x2()←)[x1(a)*x2(o 证:Hx(xO)=⊥x()x(-)na Fx,0-x(0=[[x,().,(0Je'iodt x()x(--r x0k-2 厂x1(x(o)emdr LX,(@2),()ei"/e2 =X1(o)X2() =1Cx(a)x:(-k2=1x(o)+x:(o) 时域卷积→频域相乘 时城相乘→频域卷积 例4求 cosa f-l(0)和 sin@f-ll()的频谱函数 10.时域微分特性 Differentiate in time) n))mo(m)+cosc←丌[o(-a)+Da+a 若x()←→)X()且a存在 则dt(n n(a)+ 26(o)ba-4)+a(a+a)+2b(a-a)+a(o+叫)月 两边对求微分 6(a-a)+5(0+a 类似: sin oor,a(n)←→[B(0-a) )]+ /若在 d(o)2.X(o) 例5试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数 11.频域微分特性 Differentiate in frequency) )>X(m)则tx()←>j dx(o) r"x(1)←1>y dr"(o) X(o)= x(o)e [(itor(O)Jedi 利用时域微分特性:Fx(m)=(o)x(o) 将上式两边同乘以j得 因此有: 叫(=)=as(=) dX(o) [tx()]

2014-06-18 9 8.时域卷积特性(Convolution in time) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 F 1 2 F 若x1 t  X  x t  X  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 F 则x1 t  x2 t  X   X         x t  x t  x x t  d e dt j t 1 2 1 2 F[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ]  证：    56 49                 x ( )[ x (t )e dt]d j t 1 2 ( ) ( )  X1   X2          x X e d -j 1 2 ( ) ( ) 时域卷积  频域相乘 9.频域卷积特性(Convolution in frequency) [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) 1 2 F 1 2    则x t  x t  X  X 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 F 1 2 F 若x1 t  X  x t  X  证： x t x t x t x t e dt t       -j 1 2 1 2 F[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 59 50          x t e X  e d dt t t ( ) ] 2 1 ( ) [ j 1 j 2              X x t e dt d t ( ) [ ( ) ] 2 1 -j( - ) 1 2       X ()X ( )d 2 1 1 2   [ ( ) ( )] 2 1 1  2    X  X 时域相乘  频域卷积 求cos0 tu(t)和sin0tu(t)的频谱函数 应用频域卷积特性可得： 例4 解： cos [ ( ) ( )] 1 ( ) ( ) 0 0 F 0 F             t    j u t       0 0 F 0 * ( ) ( ) 1 1 ( )* ( ) ( ) * ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 cos ( )                                                   j t u t 59 51     2 2 0 0 0 0 F 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] 2 sin ( ) [ ( ) ( )] 2 ( ) 1 ( ) 1 2 1 [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2                                                                                   j t u t j j j j 类似： 10.时域微分特性(Differentiate in time) 若 则 ( ) ( ) F x t  X  ( ) ( ) ( ) F j X  dt dx t   且 存在 dt dx(t)     x t X e d j t     ( ) 2 1 证： ( ) 59 52 ( ) ( ) ( ) F j X  dt d x t n n n 若 存在                        j X e d dt d X e d dt dx t j t j t ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 两边对t求微分： n n dt d x(t) 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数         '( )      x t A t A t 例5 解： 59 53            2 2 x (t) A t A t 2 j 2 j F[ '( )]     - x t  Ae  Ae               2 2 sin 2 ( )      A Sa A X 利用时域微分特性：         2 2 sin  A j 因此有： F[x'(t)]  ( j)X () 11.频域微分特性(Differentiate in frequency) 若 ( ) ( ) F x t  X  n n n n d dX t x t j  () ( ) F     d dX t x t j ( ) ( ) F 则    证： X x t e dt t      -j ( ) ( ) 59 54 e dt jt x t e dt d d x t d dX t t    -j -j ( ) [( ) ( )] ( )          tx t e dt d dX j t   -j [ ( )] ( )      将上式两边同乘以j得： 

2014-06-18 例6试求单位斜坡信号m(的傅里叶变换 12积分特性( integral) 解:已知单位阶跃信号傅里叶变换为: 若x(1)←f,x(o) Fu(1)=m6(o)+ 则∫x(r)dr→X(o)+xX(0)(o) 利用频域微分特性可得: 证:⊥x(rr=x(rM(-r)r=x()*( F[(t)]=j,[mo(o)+ rtrdreXomo(o)+1=I jro(o) o」J(o)+zX(0)6(a) 若信号不存在直流分量即X(0)=0 FIcu(n]=j"ro(o)+(-j)nlo 则「x(r)d 13.非周期信号的能量谱密度 帕塞瓦尔能量守恒定理 能量型信号的能量为 E=[|x(0d=上x)x(ot E=Lix(r dr=ix(o)p do [au 2-I. x(oye"dol 表明: 言号能量也可由X(u在整个频率范围的积 分乘以12x来计算 X'(a)·X(o)do 物理意义 非周期能量信号的归一化能量在时域中与在 LIY(o)r do 频垃中相等,保持能量守恒 傅里叶变换主要性质 线性特性 ax(1)+bx2(1)4ax1(e)+bl2(a) 对称互易特性 X(1)←→2rx(-e) 展缩特性 x(ar)←→ x(t-t)←f→x(a)-e 频移特性 x(n)-e→x(a-m 时域卷积待性 ()*x2(1)+→X1(e)·X2() 频域卷积特性 x(x()→方[x1(o)*x:(o) d川e)°·x(a) 频域微分特性 积分特性 Carydre= X(o)+r X(o)(e)ss 10

2014-06-18 10 试求单位斜坡信号tu(t)的傅里叶变换    j u t 1 F[ ( )]  ( )  d 1 已知单位阶跃信号傅里叶变换为： 利用频域微分特性可得： 例6 解： 59 55 ] 1 F[ ( )] [ ( )    d j d tu t  j  2 1 ( )   j    ( ) 1 ( 1) F[ ( )] ( ) ( ) !       n n n n n t u t j   j n  12.积分特性(integral) ( ) ( ) F 若 x t  X  ( ) (0) ( ) 1 ( ) F        X X j x d t    则 证： x( )d x( )u(t )d x(t)*u(t) t              59 56 若信号不存在直流分量即X(0)=0 ( ) 1 ( ) F     X j x d t    则   ( ) (0) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) F            X X j j x d X t            13.非周期信号的能量谱密度       E  | x(t) | dt  x(t)x (t)dt 2 *              x t X e d dt * j t ( ) 2 1 ( )       1 能量型信号的能量为： 59 57                 X d X X d 2 * | ( ) | 2 1 ( ) ( ) 2 1                X x t e dt d * -j t ( ) ( ) 2 1 表明： 信号能量也可由|X( )|2在整个频率范围的积            E x t dt X d 2 2 | ( ) | 2 1 | ( ) | 帕塞瓦尔能量守恒定理 59 58 信号能量也可由|X(ω)|2在整个频率范围的积 分乘以1/2 来计算 物理意义： 非周期能量信号的归一化能量在时域中与在 频域中相等，保持能量守恒 线性特性 对称互易特性 展缩特性 时移特性 频移特性 傅里叶变换主要性质 ( ) 2 ( ) F X t   x         a X a x at 1  ( ) F 0 F -j 0 ( ) ( ) t x t t X e      ( ) ( ) j 0 F   x t  e    X t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 F ax1 t  bx2 t aX   bX  59 59 频移特性 时域卷积特性 频域卷积特性 时域微分特性 频域微分特性 积分特性 ( ) ( )   0 x t  e X ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 F x1 t  x2 t  X   X  [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) 1 2 F 1 2    x t  x t  X  X ( ) ( ) ( ) F j X  dt d x t n n n   ( ) (0) ( ) 1 ( ) F        X X j x d t    n n n n d dX t x t j  () ( ) F  