定理1若函数 f(x)在(a,b)内有∫"(x)>0,则曲 线在(a,b)内是凹的，若函数f(x)在(a,内有f"(x)<0 则曲线在(a,b)内是凸的. 定理2设函数f(x)在点x的某邻域内连续，在点 x的某去心邻域内二阶导数存在，若在x,的左右两侧 邻近的二阶导数f"(x)异号，则点M(,f(x)是曲线 y=f(x)的拐点. 例1讨论函数y=ln(1+x的凸凹性及拐点. f x( ) ( , ) a b f x ( ) 0  ( , ) a b f x( ) ( , ) a b f x ( ) 0  ( , ) a b 定理1 若函数 内有 在 内有 ，则曲 线在 内是凹的，若函数 在 则曲线在 内是凸的. 定理2 设函数 在点 的某邻域内连续，在点 的某去心邻域内二阶导数存在，若在 的左右两侧 邻近的二阶导数 异号，则点 是曲线 的拐点. f x( ) 0 x 0 x 0 x f (x) ( , ( )) 0 0 M x f x y = f (x) 例1 讨论函数 2 y x = + ln(1 ) 的凸凹性及拐点