国家精品课程厦门大学高等代数: gdjpkc xmu.edu.cn 国家精品资源共享课高等代数:www.icourses.cn/sCourse/course307html 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1001951004 中国大学MOOC:《高等代数(上》www.icoursel63.org/course/XMU-1002554004 历年硕士研究生入学数学(三)试题 (二次型部分) 选择题 设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A2+A=2E,且|4|=4,则二次型x2Ax的规范形为( (2019年) (A)+v2+ (B)+v2- (C)2-v2-3(D)-2-- 2.设二次型f(x1,x2,x3)=a(n2+n2+x3)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数分别为1,2,则( (2016年) (A)a>1 (B)a< (C)-2<a<1 (D)a=1或a=-2 3.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换为x=Py下的标准形为2+v-弱,其中P=(e1,e2,e3).若Q (e1,-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为().(2015年) (A)2v2-2+3(B)2+-3(C)2--3(D)2++ 二.填空题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=XAX的秩为1,A中行元素之和为3,则f在正交变换X=QY下的标准形为( ).(2011年) 2.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+n1)2的秩为().(2004年) 3.若二次型f(x1,x2,x3)=2x2+n2+3+2x1x2+tx2x3是正定的,则t的取值范围是().(197年) 三.计算题 1.设二次型f(x1,x2)=x21+4x1x2+4n2经正交变换 Q()化为二次型0(,y)=a2 4y1y2+by2,其中a≥b (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵Q.(2020年)I[°¨ëßfÄåÆpìÍ: gdjpkc.xmu.edu.cn I[°¨]
êëpìÍ: www.icourses.cn/sCourse/course 3077.html •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1001951004 •IåÆMOOC:5pìÍ£˛6www.icourse163.org/course/XMU-1002554004 {ca¨Ôƒ)\ÆÍÆ£n§£K (g.‹©) ò. ¿JK 1. A¥3¢È°› , E¥3¸†› . eA2 + A = 2E, Ö|A| = 4, Kg.x T Ax5â/è( ). (2019c) (A) y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 (B) y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) −y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 2. g.f(x1, x2, x3) = a(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ) + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3.5çÍ©Oè1, 2, K( ). (2016c) (A) a > 1 (B) a < −2 (C) −2 < a < 1 (D) a = 1½a = −2 3. g.f(x1, x2, x3)3CÜèx = P yeIO/è2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 , Ÿ•P = (e1, e2, e3). eQ = (e1, −e3, e2), Kf(x1, x2, x3)3CÜx = QyeIO/è( ). (2015c) (A) 2y 2 1 − y 2 2 + y 2 3 (B) 2y 2 1 + y 2 2 − y 2 3 (C) 2y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 (D) 2y 2 1 + y 2 2 + y 2 3 . WòK 1. g.f(x1, x2, x3) = XT AXùè1, A•1ÉÉ⁄è3, Kf3CÜX = QY eIO/è( ). (2011c) 2. g.f(x1, x2, x3) = (x1 + x2) 2 + (x2 − x3) 2 + (x3 + x1) 2ùè( ). (2004c) 3. eg.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + tx2x3¥½, Ktäâå¥( ). (1997c) n. OéK 1. g.f(x1, x2) = x 2 1 + 4x1x2 + 4x 2 2 ²CÜ x1 x2 ! = Q y1 y2 ! zèg.g(y1, y2) = ay2 1 + 4y1y2 + by2 2 , Ÿ•a ≥ b. (1) ¶a, bä; (2) ¶› Q. (2020c) 1