2.设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数 (1)求f(x1,x2,x3)=0的解 (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.(2018年) 3.设二次型f(x1,x2,x3)=2r-2+an3+2x1x2-8x1x3+2x2x3,在正交变换x=Qy下的标准型 为入12+v2.求a的值及一个正交矩阵Q.(2017年) 4.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a11+a2x2+a3x3)2+(2x1+b2x2+b3x3)2,记a=a2|,B=b2 b3 (1)证明二次型f对应的矩阵为2a+BBr; (2)若a,B正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+2.(2013年) 101 5矩阵A=011,4为矩阵的转置,已知44)=2.且二次型f=TA (1)求 (2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程.(2012年) 6.设二次型f(x1,x2,x3)=ax2+ax2+(a-1)3+2x1x3-2x2x3 (1)求二次型f的矩阵的所有特征值 (2)若二次型f的规范型是驴+v2,求a的值.(20090年) 7.设二次型f(x1,x2,x3)=X7AX=ax2+2x2-2x3+2bx1x3(b>0)其中二次型的矩阵的特征值之和 为1,之积为-12 (1)求ab的值; (2)利用正交变换将二次型化为标准型,并写出所用的正交变换和正交矩阵 8.设A为m阶实对称矩阵,秩(4)=n,A是A=(a)mxn中元素的代数余子式(j=1,2,…,n),二次 型f(x1,x2 (1)记X=(x1,x2,…,x),把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(X)的矩阵为A-1; (2)二次型g(X)=XAX与f(X)的标准型是否相同?说明理由.(2001年) 9.设有n元实二次型,f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x23)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+ anx1)2其中a1(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f为正定二次型.2. ¢g.f(x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , Ÿ•a¥ÎÍ. (1) ¶f(x1, x2, x3) = 0); (2) ¶f(x1, x2, x3)5â/. (2018c) 3. g.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 − x 2 2 + ax2 3 + 2x1x2 − 8x1x3 + 2x2x3, 3CÜx = QyeIO. èλ1y 2 1 + λ2y 2 2 . ¶aä9òá› Q. (2017c) 4. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα =   a1 a2 a3  , β =   b1 b2 b3  . (1) y²g.fÈA› è2ααT + ββT ; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛, y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 5. › A =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , ATè› A=ò, Ær(AT A) = 2, Ög.f = x T AT Ax. (1) ¶a; (2) ¶g.ÈAg.› , øÚg.zèIO., —CÜLß. (2012c) 6. g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) ¶g.f› §kAä; (2) eg.f5â.¥y 2 1 + y 2 2 , ¶aä. (2009c) 7. g.f(x1, x2, x3) = XT AX = ax2 1 + 2x 2 2 − 2x 2 3 + 2bx1x3(b > 0) Ÿ•g.› AäÉ⁄ è1, É»è−12. (1) ¶a, bä; (2) |^CÜÚg.zèIO., ø—§^CÜ⁄› . (2003c) 8. Aèn¢È°› , ù(A) = n, Aij¥A = (aij )n×n•ÉìÍ{f™(i, j = 1, 2, · · · , n), g .f(x1, x2, · · · , xn) = P i=1 nP j=1 n Aij |A| xixj . (1) PX = (x1, x2, · · · , xn) T , rf(x1, x2, · · · , xn)§› /™, øy²g.f(X)› èA−1 ; (2) g.g(X) = XT AXÜf(X)IO.¥ƒÉ”? `²nd. (2001c) 9. kn¢g., f(x1, x2, · · · , xn) = (x1 + a1x2) 2 + (x2 + a2x3) 2 + · · · + (xn−1 + an−1xn) 2 + (xn + anx1) 2 Ÿ•ai(i = 1, 2, · · · , n)è¢Í. £Ø: a1, a2, · · · , an˜v¤´^áû, g.fè½g.. (2000c) 2