10.已知二次型f(x1,x2,x3)=4x2-3x3+4r1x2-4x1x3+8x1x3 (1)写出二次型的矩阵表达式 (2)用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.(1995年) 1.设二次型f=x12+n2+3+2ax1x2+2x2x3+2x1x3经正交变换X=PY化成f=+2,其 中X=(X1,X2,X3)和Y=(Y1,Y2,Y3)是三维列向量,P是三阶正交矩阵,试求常数a,B.(1993年) 12.考虑二次型 f=x12+42+4n3+2Ax1x2-2x1x3+4x2x3 问λ取何值时,f为正定二次型?(1991年) 四.证明题 1.设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(1x1+b2x2+b3x3)2,记a=a2,B=b2 b3 (1)证明二次型f对应的矩阵为2a+BBr; (2)若a,B正交且均为单位向量,证明二次型f在正交变换下的标准形为二次型2v2+v2.(2013年) 2.设A为m×n实矩阵E为n阶单位矩阵.已知B=AE+AA,证明:当X>0时,B为正定矩阵(1999年) (吕洪波方珍程潘红林鹭整理)10. Æg.f(x1, x2, x3) = 4x 2 2 − 3x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x1x3. (1) —g.› Là™; (2) ^CÜrg.zèIO., ø—ÉA› . (1995c) 11. g.f = x1 2 + x 2 2 + x 2 3 + 2αx1x2 + 2βx2x3 + 2x1x3 ²CÜX = P Y z§f = y 2 2 + 2y 2 3 , Ÿ •X = (X1, X2, X3) T⁄Y = (Y1, Y2, Y3) T¥nëï˛, P¥n› , £¶~Íα, β. (1993c) 12. ƒg. f = x1 2 + 4x 2 2 + 4x 2 3 + 2λx1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 Øλ¤äû, fè½g.? (1991c) o. y²K 1. g.f(x1, x2, x3) = 2(a1x1 + a2x2 + a3x3) 2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3) 2 , Pα =   a1 a2 a3  , β =   b1 b2 b3  . (1) y²g.fÈA› è2ααT + ββT ; (2) eα, βÖ˛è¸†ï˛, y²g.f3CÜeIO/èg.2y 2 1 +y 2 2 . (2013c) 2. Aèm×n¢› ,Eèn¸†› . ÆB = λE +AT A, y²: λ > 0û, Bè½› . (1999c) (½ˆÅ ê˚ ߢ ˘ n) 3