Chapter 2 定理2.5的证明 插值方法 由插值条件:H2n+1(x)=f(x),H2n+1(x)=f(x),=01…n,则 R2n+1(×)=H2n+1(×)-f(×)=0;R2n+(X)=H2n+1(×)-f(x)=0, 令Rn*(x)=K(×)Ⅷ(x),构造辅助函数并应用Ro‖le定理来证明。 (1)在插值节点X~X1处R2n+1()=0余项公式显然成立 (2)对于[a,b]中异于插值节点XXn的x考虑辅助函数 F()=f()-H2n1(t)-K(x)n2(t)=R2n1(t)-K(x)2() F(×)=F(x1)=F(X2)=…=F(x)=F(x)=0 由Ro1l定理,存在0∈(xoX1),使F(20)=0 类似,共有n+1个互异点50,51,…,使F(t)=0 dw(t =2w()w'()∴F(x0)=F(x1)=F(×2)=…=F(X)=0 F()有2n+2个互异根50,51…5n,x,X1,…,Xn,由Role定理, 则存在ξ∈(ab)使F(5)=八m()-K(x)(2n+2)!=0 所HUsT定理2.5的证明 由插值条件: H2n+1(xi)=f(xi), Hí2n+1(xi)=fí(xi) i=0,1,Ön 则 R2n+1(xi)= H2n+1(xi) -f(xi)=0 Rí2n+1(xi)= Hí2n+1(xi) -fí(xi)=0 令R2n+1(x)=K(x)W2(x),构造辅助函数并应用Rolle定理来证明 1 在插值节点x0~xn处,R2n+1(xi)=0,余项公式显然成立. 2 对于[a,b]中异于插值节点x0~xn的x,考虑辅助函数 Ft ft H t w t R t w t n n Kx Kx 2 2 2 +1 2 +1 ()= ()- ()- ()= ( ( ) ) - ( ) ( ) F(x0)= F(x1)= F(x2)=Ö= F(xn)= F(x)=0 由Rolle定理,存在 0 (x0, x1),使F’( 0)=0 类似,共有n+1个互异点 0 , 1,…, n使Fí(t)=0 2 ( ) = 2 ( ) '( ) dw t wtw t dt Fí(x0)= Fí(x1)= Fí(x2)=Ö= Fí(xn) =0 Fí(t)有2n+2个互异根 0 , 1, …, n x0 , x1 , Ö,xn 由Rolle定理, 则存在 (a,b).使 n n Ff n K x (2 +2) (2 +2) ( )= ( )- (2 + 0. ξ ξ ( ) 2)!=