微分流形上微分学—— Riemann流形 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 11 Riemann流形上的内积 Riemann流形本质上就是在TM上引入内积具体可化为对某个坐标卡(m),3{9(x)}=1, 有(o)∈Psym由此定义TM上内积 (.TAM TM X TM 3 (X, Y) +(X, Ym(r or. ria4g9yxr'y? 它满足一般内积的条件: 1.非负性:对ⅤX∈TM,有 非退化性: (X,X)rM=0∈R分X=0∈TM; 2.对称性:对VX,Y∈TM,有 3线性性:对vx,Y,Z∈TM,a,B∈R,有 (ax+BY, ZTM=a(x, ZTM+B(Y, aTM 定理1.1.对(M,g),(TM,(,)rM)成为 Hilbert空间,亦即(M,(,)rM)为完备的内积 证明由于(,}rM为TM上的内积,故其自然诱导TM上的范数为 XIT (x,X) VX∈TM. 以下说明(…,)rM的完备性,即要说明Ⅴ{Xn} EN CTA为基本点列( Cauchy点列),有Xn→ X*∈TM微分流形上微分学 微分流形上微分学——Riemann 流形 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 Riemann 流形上的内积 Riemann 流形本质上就是在 TM 上引入内积, 具体可化为对某个坐标卡 ϕ(x), ∃ {gij (x)} m i,j=1, 有 ( gij) ∈ PSym. 由此, 定义 TM 上内积: ⟨·, ·⟩TM : TM × TM ∋ {X,Y } 7→ ⟨X,Y ⟩TM = ⟨ Xi ∂ ∂xi , Y j ∂ ∂xj ⟩ TM , gijXiY j , 它满足一般内积的条件: 1. 非负性: 对 ∀ X ∈ TM, 有 ⟨X, X⟩TM > 0, 非退化性: ⟨X, X⟩TM = 0 ∈ R ⇔ X = 0 ∈ TM; 2. 对称性: 对 ∀ X,Y ∈ TM, 有 ⟨X,Y ⟩TM = ⟨Y , X⟩TM ; 3. 线性性: 对 ∀ X,Y , Z ∈ TM, ∀ α, β ∈ R, 有 ⟨αX + βY , Z⟩TM = α ⟨X, Z⟩TM + β ⟨Y , Z⟩TM . 定理 1.1. 对 (M, g), (TM,⟨·, ·⟩TM ) 成为 Hilbert 空间, 亦即 (TM,⟨·, ·⟩TM ) 为完备的内积 空间. 证明 由于 ⟨·, ·⟩TM 为 TM 上的内积, 故其自然诱导 TM 上的范数为 |X|TM , √ ⟨X, X⟩TM , ∀ X ∈ TM. 以下说明 ⟨·, ·⟩TM 的完备性, 即要说明 ∀ {Xn}n∈N ⊂ TM 为基本点列 (Cauchy 点列), 有 Xn → X∗ ∈ TM. 1