微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 考虑到 IXp-Xqlfm=gi(Xp- X(xp-Xg) 91m XI-X q Xa ≥A1∑( 此处AAm为()的最小和最大特征值,由于()是对称正定的,因此所有特征值都是正 的.现{X} EN CTA为基本点列,亦即 ve>0,彐N,成立|Xp-XqmM<,Vp,q> 故有估计 -刚∑-xPx-xM 亦即:{X} PEN C R为基本点列,由R的完备性,有 →X∈R当p→∞,i=1,…,m 故有 IXp-XITM=gii(Xp -Xa(Xp-Xa X.-XM,当p→∞,Vq∈N 按点列极限保号性,可有 X,-X9M≤2,Vq>N 亦即有X→X,Xm∈TM 由于(TM,(,)rM)成为 Hilbert空间,则可利用泛函分析中的 F Riesz定理,b∈T*M,!Xe∈ TM满足θ(X)=(X,X)rM,X∈TM.具体计算 (X)=(X,XrM=(Xm,切 riajTM 会93XX 0dx2(X)=BX2,X∈TM, 故有 综上,可有 TM30=idrN Xo=90igETM微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 考虑到 |Xp − Xq| 2 TM = gij (Xi p − Xi q )(Xj p − Xj q ) = ( X1 p − X1 q · · · Xm p − Xm q )   g11 · · · g1m . . . . . . gm1 · · · gmm     X1 p − X1 q . . . Xm p − Xm q   ∼    6 λm [∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 ] , > λ1 [∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 ] . 此处 λ1, λm 为 ( gij) 的最小和最大特征值, 由于 ( gij) 是对称正定的, 因此所有特征值都是正 的. 现 {Xp}p∈N ⊂ TM 为基本点列, 亦即 ∀ ε > 0 , ∃ Nε , 成立|Xp − Xq|TM < ε , ∀ p, q > Nε, 故有估计 |Xi p − Xi q | 6 vuut∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 6 1 √ λ1 |Xp − Xq|TM < 1 √ λ1 ε, 亦即: {Xi p}p∈N ⊂ R 为基本点列, 由 R 的完备性, 有 Xi p → Xi ∗ ∈ R 当p → ∞ , ∀ i = 1, · · · , m. 故有 |Xp − Xq| 2 TM = gij (Xi p − Xi q )(Xj p − Xj q ) → gij (Xi ∗ − Xi q )(Xj ∗ − Xj q ) = |X∗ − Xq| 2 TM , 当p → ∞, ∀ q ∈ N. 按点列极限保号性, 可有 |X∗ − Xq| 2 TM 6 ε 2 , ∀ q > Nε, 亦即有 Xq → X∗ , Xi ∗ ∂ ∂xi ∈ TM. 由于 (TM,⟨·, ·⟩TM ) 成为 Hilbert 空间, 则可利用泛函分析中的 F.Riesz 定理, ∀ θ ∈ T ∗M, ∃ ! Xθ ∈ TM 满足 θ(X) = ⟨X, Xθ⟩TM , ∀ X ∈ TM. 具体计算 θ(X) = ⟨X, Xθ⟩TM = ⟨ Xi ∂ ∂xi , Xj θ ∂ ∂xj ⟩ TM , gijXiX j θ = θidx i (X) = θiXi , ∀ X ∈ TM, 故有 θi = gijX j θ , Xj θ = g jkθk. 综上, 可有 T ∗M ∋ θ = θidx i ∼ Xθ = g ijθi ∂ ∂xj ∈ TM. 2