微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 在实际处理中,有 dzi(x)=(gii VX∈TM 在余切空间TM上,可引入内积 (,)rM:T”MxT”M3{→()rM=(9dx2,vdm3r,M会go∈R 且(TM,…,)rM)成为 Hilbert空间 按 F Riesz定理,有 ve∈(T*M)*=T*M,36,∈TM,满足θ*()=(,0rM,Vφ∈T*M 具体计算 8*(p)=(, 0)TM=(o dr, 0. dr)TM=99:0.j 故有 0“=g4,0,=9k0“ 综上可有 T*M彐6*=0 a1~0,=91,0*d∈TM 实际处理中,有 (d)=(,9d3) T* M 定理12 1.对vφv∈T*M,有 ,v)rM=(Xφ,Xv)rM 2.对Vφ*,*∈TM,有 Ts&M φy,}r-M 证明按内积的定义,计算第(1)式,可有 (, v)TM=(o: dr, v; drem e g pivj TM 8. vig arg TN arp 会gPgy9p=9的 计算第(2)式,可有 φ*,") T**M glow T**M (,v,)rM={gpdn2,gydx)x,M=o”ygp9ny=9"微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 在实际处理中, 有 dx i (X) = ⟨ g ij ∂ ∂xj , X ⟩ TM , ∀ X ∈ TM. 在余切空间 T ∗M 上, 可引入内积 ⟨·, ·⟩T ∗M : T ∗M × T ∗M ∋ {ϕ, ψ} 7→ ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , ψjdx j ⟩ T ∗M , g ijϕiψj ∈ R, 且 (T ∗M,⟨·, ·⟩T ∗M) 成为 Hilbert 空间. 按 F.Riesz 定理, 有 ∀ θ ∗ ∈ (T ∗M) ∗ = T ∗∗M , ∃ θ∗ ∈ T ∗M , 满足θ ∗ (ϕ) = ⟨ϕ, θ∗⟩T ∗M , ∀ ϕ ∈ T ∗M. 具体计算 θ ∗ (ϕ) = ⟨ϕ, θ∗⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , θ∗jdx j ⟩ T ∗M = g ijϕiθ∗j = θ ∗i ∂ ∗ ∂xi (ϕ) = θ ∗iϕi , 故有 θ ∗i = g ijθ∗j , θ∗j = gjkθ ∗k . 综上可有 T ∗∗M ∋ θ ∗ = θ ∗i ∂ ∗ ∂xi ∼ θ∗ = gijθ ∗idx j ∈ T ∗M. 实际处理中, 有 ∂ ∗ ∂xi (ϕ) = ⟨ ϕ, gijdx j ⟩ T ∗M . 定理 1.2. 1. 对 ∀ ϕ, ψ ∈ T ∗M, 有 ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨Xϕ, Xψ⟩ TM ; 2. 对 ∀ ϕ ∗ , ψ ∗ ∈ T ∗∗M, 有 ⟨ϕ ∗ , ψ ∗ ⟩T ∗∗M = ⟨ϕ∗ , ψ∗ ⟩T ∗M . 证明 按内积的定义, 计算第 (1) 式, 可有 ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , ψjdx j ⟩ T ∗M , g ijϕiψj , ⟨Xϕ, Xψ⟩ TM = ⟨ ϕig ip ∂ ∂xp , ψjg jq ∂ ∂xq ⟩ TM , ϕiψjg ipg jqgpq = g ijϕiψj . 计算第 (2) 式, 可有 ⟨ϕ ∗ , ψ ∗ ⟩T ∗∗M = ⟨ ϕ ∗i ∂ ∗ ∂xi , ψ∗j ∂ ∗ ∂xj ⟩ T ∗∗M , gijϕ ∗iψ ∗j , ⟨ϕ∗ , ψ∗ ⟩T ∗M = ⟨ ϕ ∗i gipdx p , ψ∗j gjqdx q ⟩ T ∗M = ϕ ∗iψ ∗j gipgjqg pq = gijϕ ∗iψ ∗j . 3