微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 12 Riemann流形上的联络 基于一般的向量从上的 Levi-Civita联络,进一步可定义 Riemann流形(M,g)之切丛TM 上的联络,满足以下条件: 1.挠张量T=0,亦即Vx,Y∈∞(TM),有 T(X,Y)2VxY-VYX-X, Y=0ETM 2.对VX,Y,z∈6(TM),有 Z(X,YTM=VzX,Y)TM +(X,Vzr)TM 由于 a oev art axj- v art Oxk=0∈TM, 故挠张量为零,即对应于第二类 Christoffel符号的协变指标对称性 由 Va dri' ax/TM xi'ark a3 Tki ars' aT3/TM +(a, 有 ax9(2)=r,9y+9 引入第一类 Christoffel符号l;k全gk,F,显然第一类 Christoffel 1号的前两个指标有对称性 由此上式即为 引理1.3.对(M,g)上 Levi-Civita联络有 + 且上式与 091(x TkiitTk axk 为等价表示形式 证明由微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 1.2 Riemann 流形上的联络 基于一般的向量丛上的 Levi-Civita 联络, 进一步可定义 Riemann 流形 (M, g) 之切丛 TM 上的联络, 满足以下条件: 1. 挠张量 T = 0, 亦即 ∀ X,Y ∈ C ∞(TM), 有 T (X,Y ) , ∇XY − ∇Y X − [X,Y ] = 0 ∈ TM; 2. 对 ∀ X,Y , Z ∈ C ∞(TM), 有 Z ⟨X,Y ⟩TM = ⟨∇ZX,Y ⟩TM + ⟨X, ∇ZY ⟩TM . 由于 T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) , ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi − [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi = ( Γ k ij − Γ k ji) ∂ ∂xk = 0 ∈ TM, 故挠张量为零, 即对应于第二类 Christoffel 符号的协变指标对称性. 由 ∂ ∂xk ⟨ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ⟩ TM = ⟨ ∇ ∂ ∂xk ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ⟩ TM + ⟨ ∂ ∂xi , ∇ ∂ ∂xk ∂ ∂xj ⟩ TM = ⟨ Γ s ki ∂ ∂xs , ∂ ∂xj ⟩ TM + ⟨ ∂ ∂xi , Γs kj ∂ ∂xs ⟩ TM , 有 ∂ ∂xk gij (x) = Γ s kigsj + Γ s kjgis. 引入第一类 Christoffel 符号 Γij,k , gksΓ s ij , 显然第一类 Christoffel 符号的前两个指标有对称性. 由此上式即为 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i. 引理 1.3. 对 (M, g) 上 Levi-Civita 联络有 Γij,k = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x), 且上式与 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i 为等价表示形式. 证明 由 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i, 4