a1 0 p 0|,p3=a1 p 综上所述可知原矩阵的特征向量为 (P,n2…,n)=的 5.设矩阵A=-2x-2与A=y相似,求 解:方阵A与A相似,则A与A的特征多项式相同,即 0 A-AE=-E→-2x- 0y-0 1-200-4-A 4 6.设A、B都是n阶矩阵,且4≠0,证明AB与BA相似 证明:|A4≠0,则A可逆 A(AB)A=(A)(B4)=BA则AB与BA相似 7.设3阶矩阵A的特征值为1,0,-1,对应的特征向量依次为 51=(12,2),2=(2,-2)},3=(-2,-1,2),求A 解:根据特征向量的性质知(,23)可逆 得:(51525)A(515253)=2 2-2)(1 12-2 可得A=(525)2(5155=2=2-102-2-1 13 212 -1八(2122 3 1 2 3 1 1 0 0 0 , ,, 0 0 0 n n a a a a a a æ ö - æö æö - - ç ÷ ç÷ ç÷ ç ÷ == = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø èø èø pp p L M M M 㓐Ϟ᠔䗄ৃⶹॳⶽ䰉ⱘ⡍ᕕ৥䞣Ў ( ) 1 2 2 1 1 2 1 0 ,,, 0 n n n aa a a a a a æ ö - - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø pp p L L L MM M L 5ˊ䆒ⶽ䰉 1 24 2 2 4 21 x æ ö - - =- - ç ÷ ç ÷ è ø - - A Ϣ 5 4 y æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø - ȁ ⳌԐˈ∖ xǃy 㾷˖ᮍ䰉 A Ϣ ȁⳌԐˈ߭ A Ϣ ȁⱘ⡍ᕕ໮乍ᓣⳌৠˈे 1 2 45 0 0 2 20 0 4 21 0 0 4 x y l l ll l l l l --- - - = - Þ- - - = - - - - -- A E ȁ E { 4 5 x y = Þ = ˊ 6ˊ䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ⶽ䰉ˈϨ|| 0 A ¹ ˈ䆕ᯢ AB Ϣ BA ⳌԐDŽ 䆕ᯢ˖ A ¹ 0 ˈ߭ A ৃ䗚 1 1 ( ) ( )( ) - - A AB A A A BA BA = = ߭ AB Ϣ BA ⳌԐˊ 7ˊ䆒 3 䰊ⶽ䰉 A ⱘ⡍ᕕؐЎ 1ˈ0ˈ-1ˈᇍᑨⱘ⡍ᕕ৥䞣ձ⃵Ў TT T 12 3 ȟ = = - =- - (1,2,2) (2 2 1) ( 2 1 2) ˈ ˈ ˈˈ ˈ ȟ ȟ ˈ ˈ∖ A 㾷˖ḍ᥂⡍ᕕ৥䞣ⱘᗻ䋼ⶹ 123 (, , ) ȟ ȟ ȟ ৃ䗚, ᕫ: 1 1 123 123 2 3 (, , ) (, , ) l l l - æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ȟȟȟ $ȟ ȟ ȟ ৃᕫ 1 1 1 123 2 123 3 12 2 1 12 2 (, , ) (, , ) 2 2 1 0 2 2 1 21 2 1 21 2 l l l - - æ ö æ öæ öæ ö - - = = -- -- ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè øè ø - è ø A ȟȟȟ ȟȟȟ